Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Размышляем над нестандартными задачами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Размышляем над нестандартными задачами

библиотека
материалов

Н. М. Медведева, В. Ф. Казак




hello_html_31b547d0.png




hello_html_14f73251.gif



МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Волгоградский государственный технический университет»

Камышинский технологический институт (филиал)

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВолгоградскИЙ государственнЫЙ техническИЙ университет»





Н. М. Медведева, В. Ф. Казак




Размышляем над нестандартными задачами



Учебное пособие










hello_html_5ee7c636.png

hello_html_m60e35bd3.gif

Волгоград

2013

УДК 658.52.011.56(075.3)

К 84


Рецензенты: доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ, к. т. н. В. Н. Семенов; коллектив кафедры «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ (зав. кафедрой профессор, д. т. н. В. А. Подчукаев)


Медведева Н.М., Казак В.Ф.. Размышляем над нестандартными задачами учеб. пособие / Н.М. Медведева, . В.Ф. Казак. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2013. – ?? с.


ISBN


Рассматриваются






.

Предназначено






Ил. ?. Табл. ?. Библиогр.: ? назв.


Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета




ISBN Волгоградский

государственный

технический

университет, 2013

ОТ АВТОРОВ

Учитель начальных классов найдет в данном пособии подробно разработанные материалы по решению нестандартных задач, что соответствует удовлетворению познавательных интересов современных школьников. Расширяя базисный курс математики, представленные материалы нацелены на подготовку учащихся к выполнению олимпиадных заданий, к участию в различных математических конкурсах.

Данная методика апробирована при подготовке к олимпиадам с учащимися четвертых классов и оказалась эффективной и результативной.

Об этом говорят итоги городских олимпиад и Всероссийских дистанционных олимпиад по математике.

2000 г. – I место – Неумоина Елена

2004 г. – II место – Жуков Роман

2008 г. – III место – Васенин Владислав

2012 г. – I место – Котов Максим и Тихомирова Василиса во Всероссийской олимпиаде

IV место – Лесников Никита в областной олимпиаде

Наиболее значимым результатом является то, что за годы обучения в начальной школе учащиеся повысили свои исходные показатели интеллектуального и творческого развития, интерес к предмету, увеличилось число участников международных и российских конкурсов «Старт», «Кенгуру», «КИТ», что видно на диаграмме

Результаты диагностики

hello_html_m2c932443.gif

Этому способствовала работа с комплексом нестандартных задач, которые здесь предлагаются.

Книга поможет учителям начальных классов обеспечить подготовку детей к решению нестандартных задач, развивающих логику и смекалку.

Данное пособие будет полезно также и родителям для оказания помощи ребенку при подготовке к олимпиадам.




ВВЕДЕНИЕ

"Ни один наставник не должен забывать, что его главнейшая обязанность состоит в приучении воспитанников к умственному труду и что эта обязанность более важна, нежели передача самого предмета"

К.Д.Ушинский.

"Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями твоей мысли, а не памяти".

Л.Н. Толстой.

Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания не обязательны для него? Во всяком случае, не принуждение! Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.

Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду может послужить интерес. Привлечь внимание детей, вызвать их удивление – это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко. Труднее удержать интерес к математике и сделать его достаточно стойким.

Поддерживая интерес разнообразными заданиями, различными способами, приёмами решения этих заданий, нужно постепенно воспитывать интерес к самой деятельности, интерес к математике, как к науке, который перерастает в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям.

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:

- способ решения занимательных задач неизвестен. Для их решения характерно применение метода проб и ошибок. Эти поисковые пробы могут закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения;

- занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа подачи задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставит их в условия необходимости её решения;

- занимательные задачи составлены на основе знаний законов мышления.

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.)

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

Кроме того, решение нестандартных логических задач способно привить интерес ребенка к изучению «классической» математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и вряд ли сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс. Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивные задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.

Значительное место вопросу обучения младших школьников логическим задачам уделял в своих работах известнейший отечественный педагог В. Сухомлинский. Суть его размышлений сводится к изучению и анализу процесса решения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлял особенности мышления детей. О работе в этом направлении он так пишет в своей прекрасной книге "Сердце отдаю детям": "В окружающем мире – тысячи задач. Их придумал народ, они живут в народном творчестве как рассказы-загадки".

Сухомлинский наблюдал за ходом мышления детей, и наблюдения подтвердили, что "прежде всего надо научить детей охватывать мысленным взором ряд предметов, явлений, событий, осмысливать связи между ними. Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить, например, задачу – следствие неумения абстрагироваться, отвлекаться от конкретного. Надо научить ребят мыслить абстрактными понятиями"

Вот одна из задач, которые дети решали в школе Сухомлинского: "С одного берега на другой надо перевезти волка, козу и капусту. Одновременно нельзя ни перевозить, ни оставлять вместе на берегу волка и козу, козу и капусту. Можно перевозить только волка с капустой или же каждого "пассажира" в отдельности. Можно делать сколько угодно рейсов. Как перевезти волка, козу и капусту, чтобы всё обошлось благополучно?"

Интересно, что задача о волке, козе и капусте подробно проанализирована в книге немецкого ученого А. Ноумана "Принять решение – но как?", где в популярной форме изложены основы теории принятия решений. В книге приведена картинка, на которой изображены волк, коза и капуста на берегу реки, а также графическая схема решения задачи, отражающая состояния "пассажиров" на обоих берегах, а также переезды через реку туда и обратно. Тем самым шуточная задача является первым звеном в построении серьезной математической дисциплины.

Проблемой внедрения в школьный курс математики логических задач занимались и занимаются не только ученые-математики и методисты, но и учителя-практики. С целью решения этого вопроса были подготовлены рекомендации "Совершенствование процесса формирования творческих способностей младших школьников в области математики". Почему именно совершенствование процесса? Да чтобы разрешить вопрос: как организовать систематическую работу по развитию творческого мышления учащихся, которую трудно осуществить на уроках математики в начальной школе, насыщенной учебным материалом.

С какой целью поднимается этот вопрос? Жизненные условия, в которые поставлены современные учащиеся, вступающие в жизнь, выдвигают свои требования: быть мыслящими, инициативными, самостоятельными, вырабатывать свои новые оригинальные решения; быть ориентированными на лучшие конечные результаты. Наличие способных учащихся в начальной школе подчёркивает актуальность и необходимость постановки и разрешения этой проблемы. Чтобы наши ученики были готовы к участию в Международной игре "Кенгуру", успешно выступали в школьных и городских олимпиадах, в мониторингах общеобразовательных достижений для этого одного учебного материала мало.

Работа по программе "Школа 2100" убедила в том, что учебник математики Петерсон Л.Г. содержит богатый материал для развития творческого, поискового, исследовательского мышления: данный курс предлагает решение нестандартных задач, которые требуют особого подхода при решении. На уроке для обсуждения разных способов решения этих задач, их обоснования времени нет. Да и не каждому ученику это посильно. Значит, надо искать другой подход, который бы создал условия для реализации учащимися своих задатков.

Особенно эффективными могут быть занятия во внеурочное время – это факультативы и дополнительные занятия по математике. Сначала была разработана программа факультативного курса по математике "Эврика" (2007 г.). В 2011 году возникла необходимость ввести новый курс более современный, включающий «олимпийскую смесь» (задания по русскому языку, окружающему миру, литературе, математике). Ведущее место в новой программе занимает работа над нестандартными задачами, т.к. это отличный инструмент для развития логического мышления.

Какая задача по математике может называться нестандартной? Хорошее определение приведено в книге «Как научиться решать задачи» авторов Л.М. Фридмана, Е.Н. Турецкого: "Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Не следует путать их с задачами повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности таковы, что позволяют ученикам довольно легко выделить тот математический аппарат, который нужен для решения задачи по математике".

Для решения нестандартных задач учащимся должно хватать знаний, усвоенных ими по программе.

Такие задачи обычно включены в олимпиады. Разнообразие нестандартных задач очень велико. Необходима их классификация. Причём, в начальном курсе математики наиболее удачной классификацией этих задач, является классификация, предложенная доктором психологических наук, профессором Л.К. Максимовым. Он выделяет классификацию по способу действия, осуществляемого в процессе решения.

Но чтобы выйти на способ решения нестандартных задач, необходимо составить анализ задачи и составить план решения.

hello_html_m5cf9aa79.jpg

В авторской программе "Эврика" описана методика работы над нестандартными задачами. Так как большинство задач решалось, используя отрезок, то предлагается алгоритм решения задач через отрезок, как один из способов подхода к решению задач.

hello_html_m6e5ddaf2.jpg

Рассмотрим подробнее методику работы над нестандартными задачами по данному алгоритму.

I серия задач

Если мы установили, что задачу можно решить с помощью отрезков, то строим чертеж (рисунок). По нему определяем необходимость выполнения арифметических действий.

Задача № 1.

Бревно длиной 12 м распилили на 6 равных частей. Сколько распилов сделали?

1. Чтение.

Выделяем: длина 12 м делим на 6 равных частей

2. Краткая запись

hello_html_6cebeee7.gif

3. На чертеже уже видно, сколько распилов можно сделать

Ответ: сделали 5 распилов.

Задача № 2.

Ширина занавески для окна 1 м 20 см. Надо пришить 6 колец на одинаковом расстоянии друг от друга (первое и последнее кольца должны располагаться по краям занавески). Сколько сантиметров надо оставлять между кольцами?

1. Чтение.

На 1 м 20 см пришить 6 колец.

На сколько частей разделить?

2. Краткая запись

hello_html_30c24d75.gif






3. На чертеже видно число частей, на которые 6 колец разделят занавеску

120 см : 5 = 24 см

Ответ: между кольцами нужно оставлять 24см.

Таким образом, учащиеся приходят к следующему выводу: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), так как работа с ним может являться способом решения задачи, а иногда необходимо еще выполнить арифметические действия.

Задача № 3.

Мальчик помогал отцу пилить дрова. Каждое бревно он распилил на 5 частей. Один распил занимал у них 3 минуты. Сколько времени им потребовалось, чтобы распилить 4 бревна?

Задача № 4.

Таня, Оля и Катя ели конфеты. Таня съела на 6 конфет больше, чем Оля, а Катя съела на 4 конфеты меньше, чем Таня. Кто съел больше, Катя или Оля, и на сколько?

Задача № 5.

На день рождения Васи мама испекла два торта. Каждый из них она разделила на четыре части. Потом каждую из получившихся частей разделила ещё на три кусочка. Каждый из гостей получил по кусочку, один кусок съел Вася, и ещё осталось два кусочка. Сколько гостей было на дне рождения у Васи?

Задача № 6.

Аня, Боря, Вика, Гриша, Дима и Егор по одному разу бросили игральный кубик. Все они получили разные результаты (от 1 до 6 очков). У Ани очков вдвое больше, чем у Бори и втрое больше, чем у Вики. У Гриши очков в 4 раза больше, чем у Димы. Сколько очков у Егора?

Задача № 7.

Гоша выше Бориса, но ниже Антона. Вика выше Димы, но ниже Гоши. Кто из мальчиков самый высокий?

Задача № 8.

В деревне Простоквашино на почтовом ящике написано: «Выемка писем 5 раз в день с 7 ч до 19 ч». Первый раз Печкин подходит к ящику в 7 ч утра, а последний – в 7 ч вечера. Через какие интервалы времени он вынимает письма?

II серия задач

Для того, чтобы решить нестандартную задачу, бывает нужно в процессе решения сделать дополнительные построения или перестраивать чертежи с учетом найденных чисел. Это можно сделать при решении следующих задач.

Задача № 1.

Муравей находится на дне колодца глубиной 30 м. За день он поднимается на 18 м, а за ночь сползает вниз на 12 м. Сколько дней нужно муравью, чтобы выбраться из колодца?

1. Чтение

Всего 30 м

Поднимается на 18 м

Опускается на 12 м

Вижу, что поднимается всего на 6 м.

2. Краткая запись с показом положения муравья в каждый день.

hello_html_m49857ca3.jpg

3. На чертеже видно, что в III день поднимется на 18 м и выберется из колодца.

Задача № 2.

В два автобуса сели 123 экскурсанта. Затем из одного автобуса вышли 8 человек. Трое сели в другой автобус, а остальные поехали на машине. После этого в автобусах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе?

1. Чтение

Автобуса 2, пассажиров 123

Выходят 8, но 3 переходят во II автобус, значит

5 выбывают и пассажиров поровну

2. Краткая запись с показом передвижения пассажиров.

hello_html_m447f1b07.jpg

3. Решение.

1) 8 – 3 = 5 (чел.) – поехали на машине.

2) 123 – 5 = 118 (чел.) – остались в 2 автобусах.

3) 118 : 2 = 59 (чел.) – стало в каждом автобусе.

4) 59+ 8 = 67 (чел.) – было в первом автобусе.

5) 59 – 3 = 56 (чел.) – было во втором автобусе.

Проверка: 67 + 56 = 123 (чел.)


Таким образом, найти верный ответ учащимся помогло последовательное построение нескольких чертежей, отражающих те изменения, которые происходили в реальной ситуации, описываемой в задаче.

Задача № 3.

На трех автостоянках было 123 машины. Когда на вторую автостоянку заехало еще 27 машин, а с третьей уехало 12 машин, то на всех автостоянках стало поровну.

Задача № 4.

На двух кустах сидело 16 воробьев. Со второго куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте?

Задача № 5.

18 ручек стоят на 30 рублей больше, чем 30 карандашей. Те же 18 ручек стоят на 10 рублей больше, чем 40 карандашей. Сколько стоят 1 карандаш и 1 ручка?


Задача № 6.

Коля и Петя сорвали всего 40 орехов. Когда они съели поровну, то у Коли осталось 15 орехов, а у Пети – 9 орехов. Сколько орехов сорвал Коля?

Задача № 7.

Для покупки 8 воздушных шариков у Тани не хватит 2 рублей. Если она купит 5 шариков, то у нее останется 10 рублей. Сколько денег у Тани?

Задача № 8.

Если бы Коля купил 3 тетради, то у него осталось бы 11 рублей, а если бы он захотел купить 9 тетрадей (таких же), то ему не хватило бы 7 рублей. Сколько денег было у Коли?

Задача № 9.

Валя, Игорь, Алеша, Федя ловили рыбу. Все вместе поймали 26 пескарей. Валя поймал на 3 больше, чем Игорь. Игорь на 3 больше, чем Алеша. Алеша на 3 больше, чем Федя. Сколько поймал каждый из них?

III серия задач

Часто для того, чтобы решить нестандартную задачу, нужно ввести вспомогательный элемент (часть).

Задача № 1.

Разложи 45 шариков в 4 коробки так, что если число шариков в третьей коробке увеличить в 2 раза, в четвертой уменьшить в 2 раза, а в первой и во второй оставить без изменения, то в каждой коробке будет одинаковое число шариков.

Алгоритм:

1) Читаем задачу и выделяем в тексте: "4 коробки", "45 шариков", "в третьей коробке увеличить в 2 раза" и "в четвертой уменьшить в 2 раза".

2) Делаем краткую запись

hello_html_393ea77c.jpg


3) Фиксируем отношения. Анализируя чертеж, видим, что есть отрезки одинаковой длины, но не все. Необходимо дорисовать чертеж, чтобы все отрезки состояли из одинаковых частей. В таком случае вводится вспомогательный элемент – это часть.

hello_html_m9459891.jpg

Видим: I – 2 ч. II – 2 ч. III – 1 ч. IV – 4 ч.

4) Решение.

1) 2+2+1+4 = 9 (ч.) – составляют 45 шариков.

2) 45 : 9 = 5 (ш.) – содержится в 1 части или число шариков в III коробке.

3) 5 ∙ 2 = 10 (ш.) – число шариков в I или во II коробке.

4) 5 ∙ 4 = 20 (ш.) – число шариков в IV коробке.

Проверка: 10+10+5+20 = 45 (ш.)

В процессе поиска решения таких задач используются несколько приемов: построение и достраивание чертежа, введение вспомогательного элемента, который удобно ввести, когда на чертеже получены отрезки одинаковой длины.

Этот способ удобно применять при решении задач, в которых есть соотношение между числами «в несколько раз больше (меньше)».

Задача № 2.

Карандаш в 6 раз дешевле альбома, а ручка в 2 раза дешевле альбома. Альбом стоит на 20 рублей больше, чем ручка и карандаш вместе. Сколько стоят карандаш, ручка и альбом по отдельности?

Задача № 3.

Фермер, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город 200 рублей золотом и на все деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?

Задача № 4.

В зоопарке Санкт-Петербурга жили 3 кенгуру. А потом родился крошка Ру. Сейчас это семейство съедает 28 кг моркови в неделю, причём Ру съедает вдвое меньше, чем любой из старших кенгуру. Сколько моркови в неделю съедало это семейство до рождения Ру?

Задача № 5. Мама старше дочери в 3 раза, а вместе им 48 лет. Сколько лет маме и сколько дочери?


Задача № 6.

Когда у Пети спросили, сколько лет его папе, он ответил так: "Я втрое моложе папы, но зато втрое старше сестры Маши". В это время вошла Маша и сказала: "Нам с папой вместе уже полсотни лет. Так мне сказал папа". Сколько лет папе?

Задача № 7

В столовую привезли карпов, сазанов, судаков, лещей. Карпов было 46 кг, сазанов – 30 кг, а судаков в 3 раза больше, чем лещей. Когда половину рыбы израсходовали, осталось еще 90 кг. Сколько судаков привезли в столовую?

Задача № 8

Ученик заплатил за 2 блокнота и 3 открытки 99 рублей. Сколько стоит блокнот и открытка, если блокнот в 4 раза дороже открытки?

Задача № 9.

Говорит бабушка внучкам: «Вот вам 130 конфет. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как внучкам разделить конфеты?

Задача № 10.

В трёх ящиках 300 кг апельсинов. Масса апельсинов первого ящика составляет половину массы апельсинов второго ящика и треть массы апельсинов третьего ящика. Сколько апельсинов в каждом ящике?

Задача № 11.

В одном бидоне молока в три раза больше, чем в другом. Когда в большой бидон долили 6 л, а в другой – 7 л, то в первом оказалось молока в два раза больше, чем в другом. Сколько литров молока было в каждом бидоне?

Задача № 12.

У Бабы Яги собрались 15 внуков и внучек. Количество внучек составляет половину количества внуков. Сколько внуков и внучек у Бабы Яги?

Задача № 13.

Муравьишка ехал на гусенице 24 минуты, а потом пересел на жука и проехал на нем путь в 4 раза больше. Сколько минут он ехал на жуке, если жук передвигается в 8 раз быстрее гусеницы?


IV серия задач

Существует немалое количество задач, которые удобно решать, начиная «с конца».

Задача № 1.

Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положили на тарелку?

Ученики выполняют чертеж. На нем видно, сколько слив осталось в конце, когда три брата съели сливы. Поэтому предлагается начать решать задачу с конца.

hello_html_m10c131ab.jpg

8 слив – это 2/3 того, что осталось младшему, значит,

8 : 2 ∙3 = 12 (сл.) – осталось после среднего.

12 слив – это 2/3 того, что осталось среднему, значит,

12 : 2 ∙3 = 18 (сл.) – осталось после старшего.

18 слив – это 2/3 того, что оставила мама, значит,

18 : 2 ∙3 = 27 (сл.) – оставила мама.

Делается вывод, что, решая задачу «с конца», пришли к тому, что было в самом начале. Этот прием используется, когда в задаче известно число, полученное в конце выполнения каких-либо действий.

Задача № 2.

Мама купила яблоки. К обеду она взяла из них половину, а Катя взяла еще одно яблоко. Вечером мама взяла половину оставшихся яблок, а Петя взял еще 2 яблока для себя и для сестры. После этого осталось 2 яблока. Сколько всего было яблок?

Задача № 3.

В коробке лежали карандаши. Сначала из коробки взяли 50% карандашей, а затем 40% остатка. После этого в коробке осталось 3 карандаша. Сколько карандашей было первоначально?

Задача № 4.

Медведь в кошелке плюшки нес,

Но на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс еще полплюшки.

Шел, шел, уселся отдохнуть

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс еще полплюшки.

Стемнело, он ускорил шаг,

Но на крыльце избушки

Он снова пол-остатка съел

И плюс еще полплюшки.

С пустой кошелкою – увы!

Он в дом вошел уныло…

Хочу, чтоб мне сказали вы,

А сколько плюшек было?

V серия задач

С помощью отрезков можно решить не любую задачу, т.е. для их решения необходим другой подход. А какой? Это может быть использование формул, схем, составление выражений, логические рассуждения.

Примеры решения задач через модель-множество.

Задача № 1.

Сколько было грибов, яблок и груш отдельно, если известно, что груш, яблок и грибов было 478 штук, яблок и грибов – 322 штуки, груш и грибов – 201 штука?


hello_html_m6fa654e3.jpg


1) 322 + 201 = 523 (шт.) – это грибы и яблоки + грибы и груши

2) 523 – 478 = 45 (шт.) – грибы

3) 322 – 45 = 277 (шт.) – яблоки.

4) 201 – 45 = 156 (шт.) – груши.

Проверка: 156 + 277 + 45 = 478 (шт.) – всего.

Задача № 2.

В одной семье 3 брата. Когда их спросили, сколько им лет, то старший из них сказал: «Нам вместе 29 лет. Мне и Паше 18 лет, а Паше и Валентину вместе 16 лет». Сколько лет каждому из братьев?


Задача № 3.

В комнате 12 щенков, каждый из них шумный или кусачий. Кусачих щенков 8, а шумных – 9. Сколько среди них шумных и кусачих одновременно

Пример решения задач через составление выражений.

Задача № 1.

Три цыпленка и два гусенка стоят 99 к., а пять цыплят и четыре гусенка стоят 1 р. 83 к. Сколько стоят один цыпленок и один гусенок?

Ц. + Ц. + Ц. + Г. + Г. = 99 к.

Ц. + Ц. + Ц. + Ц. + Ц. + Г. + Г. + Г. + Г. = 1 р. 83 к. = 183 к.

1) 183 – 99 = 84 (к.) – стоят 2 цыпленка и 2 гусенка.

2) 99 – 84 = 15 (к.) – 1 цыпленок.

3) 99 – 15 ∙ 3 = 54 (к.) – 2 гусенка.

4) 54 : 2 = 27 (к.) – 1 гусенок.

Проверка: 3Ц. + 2Г. = 99 к. 5Ц. + 4Г. = 183 к.

3 ∙ 15 + 2 ∙ 27 = 99 5 ∙ 15 + 4 ∙ 27 = 183

II способ

1) 183 – 99 = 84 (к.) – стоят 2 цыпленка и 2 гусенка.

2) 84 : 2 = 42 (к.) – 1 цыпленок и 1 гусенок.

3) 99 – 84 = 15 (к.) – 1 цыпленок.

4) 42 – 15 = 27 (к.) – 1 гусенок.

Задача № 2.

На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма лет всех играющих составляет 80 лет. Все девочки были одногодками, одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что сумма числа лет играющих в одной и другой группах стали равными. Какого возраста были играющие?

Задача № 3.

Петя, Вася, Коля и Толя подсчитали после рыбалки свои трофеи. Толя поймал больше, чем Коля. Петя с Васей поймали рыбы больше, чем Коля и Толя. Петя и Толя вместе поймали меньше рыбы, чем Вася и Коля. Какое место занял каждый по количеству выловленной рыбы?

Задача № 4.

2 пакета молока и пачка творога стоят 16 рублей. А две пачки творога и пакет молока стоят 14 рублей. Что дороже – пачка творога или пакет молока и на сколько?

Задача № 5.

У Андрея и Бори вместе 11 орехов. У Андрея и Вовы – 12 орехов. У Бори и Вовы – 13 орехов. Сколько орехов у Андрея, Бори и Вовы вместе?

Задача № 6.

Три юных кенгуренка Кенг, Гур и Ру сидят на весах. Если с весов спрыгнет Кенг, то весы покажут 3 кг. Если спрыгнет Гур, то весы покажут 4 кг, а если спрыгнет Ру, то весы покажут 5 кг. Сколько весят все кенгурята вместе?

Задача № 7.

У Коли и Вани вместе 11 марок, у Коли и Саша – 12 марок, а у Вани и Саши – 13 марок. Сколько всего марок у Коли, Вани и Саши вместе?

Задача № 8.

Тане с Сашей вместе 14 лет, Саше с Петей – 20 лет, а Тане с Петей – 16 лет. Сколько лет Тане, Саше и Пете вместе? Сколько лет каждому из них?

Задача № 9.

Олег купил 4 книги. Все книги без первой стоят 72 р., без второй – 80 р., без третьей – 60 р., без четвертой – 58 р. сколько стоит каждая книга?

Пример решения задач с применением формул.

Задача № 1.

Подвал имеет длину 20 м, ширину 18 м и глубину 6 м. Сколько тонн картофеля можно в него заложить, если каждые 5 м3 весят 6 т и подвал будет заполнен не доверху, а на 2 м ниже потолка?

1) 6 – 2 = 4 (м) – высота заполнения картофелем.

2) 20 ∙ 18 ∙ 4 = 1440 (м3) – объем картофеля.

3) 1440 : 5 = 280 (раз) – по 6 т.

4) 288 ∙ 6 = 1728 (т) – всего.

Задача № 2.

В бассейн проведены 2 трубы. Через первую трубу втекает 40 ведер воды в минуту, а через вторую вытекает 840 ведер в час. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн заполнится за 15 часов. Сколько ведер воды вмещает бассейн?


Задача № 3.

Коты Тоша и Малыш обедают вместе с котёнком Яшей. Тоша ест вдвое быстрее Малыша, а Малыш – вдвое быстрее Яши. Яше дали 6 маленьких рыбок, а Тоше и Малышу – по 12 таких же рыбок. Тоша съел свою порцию за 3 минуты и затем помог Малышу закончить обед. После этого они стали ждать, когда же со своей порцией справится Яша. Сколько времени они ждали?

Задача № 4.

Собака погналась за лисицей, находящейся от нее на расстоянии 120 метров. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака – 350 м?

Задача № 5.

Коля заметил, что во время липового медосбора пчела вылетает из улья со скоростью 4 м/с и возвращается обратно через 7 мин. со скоростью 2 м/с. На каком расстоянии от улья расположена липа, с которой пчела взяла мед? Учесть, что на сбор меда с липы во время одного полета пчела затрачивает 1 мин.

Задача № 6.

Как трем человекам при помощи двухместного мотоцикла преодолеть расстояние 60 км за 3 часа? Vмотоцикла = 50 км/ч, а Vпешехода = 5 км/ч

Пример решения задач с помощью рассуждений.

Задача № 1.

Три подружки договорились купить к праздничному столу 12 пирожных. I купила 5 штук, II – 7 штук, а III внесла 12 рублей вместо пирожных. Как подружкам разделить между собой эти деньги, если цена пирожных одинаковая?

1) 12 : 3 = 4 (пир.) – должна купить каждая.

2) 12 : 4 = 3 (р.) – цена пирожных.

3) 5 – 4 = 1 (пир.) – лишнее купила I.

4) 1 ∙ 3 = 3 (р.) – должна получить I.

5) 7 – 4 = 3 (пир.) – лишних купила II.

6) 3 ∙ 3 = 9 (р.) – должна получить II.

Задача № 2.

Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова масса рыбы, он сказал: «Я думаю, что хвост ее весит 1 кг, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост. Какова масса рыбы?

Задача № 3.

В сельской школе учится одинаковое количество мальчиков и девочек. Однажды учитель принес в класс 234 ореха и разделил их. Каждому мальчику досталось по 5 орехов, а каждой девочке – по 4 ореха. Но так как девочки обиделись на такую несправедливость, учителю пришлось еще принести орехи и разделить их так, чтобы, в конце концов, всем досталось поровну – по 6 орехов. Сколько орехов принес учитель во второй раз?

Задача № 4.

2 чашки и 2 кувшина весят столько, сколько 14 блюдец. 1 кувшин весит столько, сколько 1 чашка и 1 блюдце. Сколько блюдец уравновешивают кувшин?

Задача № 5.

3 кубика и 1 раковина весят столько же, сколько 16 бусинок, а 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок. Сколько бусинок надо положить на чашку весов, чтобы уравновесить раковину?

Задача № 6.

У мамы было 36 конфет. Она разложила их в 5 пакетов (в I – 2, во II – 4, в III – 6, в IV – 8, в V – 10) и сказала детям: «Тому, кто сумеет распределить эти пакеты между тремя детьми поровну, я отдам оставшиеся конфеты». Догадалась только одна девочка. Как она распределила и сколько конфет получила за сообразительность?

Задача № 7.

Кукла стоит вместе с платьем 10 рублей. При этом кукла стоит на 9 рублей дороже платья. Сколько стоит кукла?


Задача № 8.

Кусок проволоки длиной 78 м надо разрезать на несколько частей длиной 12 см и несколько частей длиной 15 см, так, чтобы обрезков не было. Как это сделать?

Задача № 9.

Для похода 46 школьников приготовили шестиместные и четырёхместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и мест не осталось?

Задача № 10.

Имеется несколько груш, их меньше 15. Если их разделить между тремя детьми, то одна груша останется. Если их разделить между четырьмя детьми, то опять одна груша будет в остатке. Сколько груш было?

Задача № 11

В корзине лежит меньше 20 груш. Эти груши можно поровну разделить между 3 или 5 девочками. Сколько груш в корзинке?

Задача № 12

Возле лужицы отряд

Длинноногих лягушат.

Очень стройная шеренга,

По пять ровно – каждый ряд.

По два, по три, по четыре –

Как ни ставил командир,

Несомненно оставался

Лишним кто-нибудь один.

А сейчас в любой пятерке

Все довольны, все в восторге!

Ну, а сколько лягушат

Не в ряду, а в целом?

Свой расчет произведи

С правильным прицелом!

Задача № 13.

В классе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (Предполагается, что у каждого мальчика по 32 зуба, как у взрослых людей).

Задача № 14.

У Люси, Ани, Кати, Веры и Даны было три яблока и два персика. Что было у каждой девочки, если Люся и Аня купили одно и то же, Аня и Дана – разное, а Катя и Вера – одинаковое?

Пример решения задач на отношение величин.

Задача № 1.

Часы за каждые сутки убегают вперед на 3 мин. Их поставили точно. Через какое время стрелки часов будут снова показывать точное время?

Чтобы часы снова показали точное время, необходимо, чтобы часы убежали вперед на 12 часов.

12 ч = 60 мин ∙ 12 = 720 мин

Понадобится 720 : 3 = 240 (суток)

Ответ: часы снова покажут точное время через 240 суток.

Задача № 2.

Как надо расположить 16 палочек длиной 1 дм, чтобы они образовали прямоугольник наименьшей площади? Чему равна эта площадь?

Задача № 3.

Нарисуй прямоугольник с наибольшей площадью, сумма длин которого равна 12 см.

Задача № 4.

Попрыгунья-стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть каждых суток танцевала, шестую часть пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки стрекоза готовилась к зиме?

Задача № 5.

Сутки на планете Тибуки на 40 мин длиннее, чем сутки на Земле. На сколько неделя на Тибуки длиннее недели на Земле?

Задача № 6.

Вредного дядю Федю отправили за 7 верст киселя хлебать. На сколько километров и метров отправился дядя Федор, если верста равна 500 саженям, сажень равен 3 аршинам, аршин равен 16 вершкам, а вершок – 4 см?

Пример решения задач на приведение к единице несколько раз

Задача № 1.

100 кур съедают в 100 дней 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедают 10 кур за 10 дней при той же норме.

1. 100 : 100= 1 кг – съедает одна курица за 100 дней.

2. 1000: 100 = 10 г – съедает одна курица за 1 день

3. 10 г ∙ 10дн. = 100 г – съедает одна курица за 10 дней.

4. 100г ∙ 10 кур = 1000 г (1 кг) – съедают 10 кур за 10 дней

Ответ: 10 кур за 10 дней съедают 1килограмм зерна.

Задача № 2.

Два рыбака за 3 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают 3 рыбака за 2 часа ?

Задача № 3.

3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?

Задача № 4.

Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за двенадцать дней?

Пример решения задач с помощью графов.

Задача № 1.

Аня, Сережа и Катя играли в шахматы. Каждый сыграл 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

Чтобы решить задачу, можно построить чертеж, на котором посчитать количество образовавшихся отрезков.

hello_html_205877e6.gif

Ответ: 3 партии.

Задача № 2.

Дружили три товарища: Белов, Рыжов, Чернов. Волосы у одного из них были белые, у другого – рыжие, а у третьего – черные. «Интересно, – заметил как-то черноволосый, – что цвета наших с тобой волос не соответствуют нашим фамилиям». – «А ведь верно», – подтвердил Белов. Какой цвет волос у каждого?

Задача № 3.

Три ученицы – Валя, Галя и Катя – пришли на праздник в платьях разного цвета: одна – в розовом, другая – в голубом, а третья – в желтом. Катя была не в желтом платье, Валя – не в желтом и не в розовом. Угадай, в каком платье была какая девочка.

Задача № 4.

В живом уголке в понедельник, вторник и среду должны были дежурить Аня, Варя и Таня. Они высказали такие пожелания:

Аня. Меня не назначайте в среду, так как я в этот день занимаюсь музыкой.

Варя. Во вторник я занята в гимнастической секции и дежурить в живом уголке не смогу.

Таня. А меня назначьте на вторник.

Все их пожелания были выполнены. Как были распределены дежурства между девочками?


Задача № 5.

Три одноклассницы – Соня, Таня и Женя – занимаются в различных спортивных секциях: одна – в гимнастической, другая – в лыжной, третья – по плаванию.

Каким видом спорта занимается каждая из них, если известно, что Соня плаванием не увлекается, Таня в лыжную секцию никогда не ходила. Женя является победителем в соревнованиях по лыжам?

Задача № 6.

Ванин, Петров, Леонов и Сизов – 4 талантливых молодых человека. Один из них танцор, другой – певец, третий – художник, четвертый – писатель. О них известно следующее: Ванин и Леонов сидели в зале консерватории, когда певец дебютировал в сольном концерте; Петров и писатель позировали художнику; писатель написал биографическую повесть о Сизове и собирается писать о Ванине; Ванин никогда не слышал о Леонове. Кто чем занимается?

Задача № 7.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко – не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

Задача № 8.

У меня есть три друга: Кирилл, Ваня и Слава. Вчера я играл с Ваней и Кириллом. Одному из них 10 лет, а другому 11. а сегодня я играл с Кириллом и Славой. Одному из них 12 лет, а другому 10. Кому сколько лет?

Задача № 9.

Сколько различных костюмов может составить Люба, если у нее 3 юбки и 6 кофточек?

Задача № 10.

В соломенном, деревянном и каменном доме жили-были три поросенка: Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф. В соломенном и деревянном домиках живет не Наф-Наф. Ниф-Ниф живет не соломенном домике. Кто в каком домике живет?

Задача № 11.

В магазине трем братьям Олегу, Алеше и Владу купили машинку, сачок и конструктор. Что купили каждому из братьев, если у Олега не машинка и не сачок, а у Алеши не машинка?

Задача № 12.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проходит по круговой системе – каждый участник играет с каждым один раз. К настоящему моменту уже сыграли: Андрей с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже известно, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем, Борисом; Дмитрий – с Виктором; Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр уже проведено и сколько еще осталось?

Задача № 13.

Трое друзей Александр, Максим и Григорий решили построить на одной улице красивые дома для своих семей: двухэтажный из красного кирпича, одноэтажный из деревянного сруба и жилище из бетонных конструкций.

Их жены около своих домов разбили клумбы с хризантемами, ландышами и астрами.

Нам известны следующие факты: Александр живет не в двухэтажном кирпичном доме, а Максим не в доме из деревянного сруба. Около кирпичного двухэтажного дома нет хризантем, при этом чудесные ландыши растут возле дома из деревянного сруба, а Максим уж очень сильно не любит астры, поэтому в его клумбе они отсутствуют.

В каком доме живет каждый из друзей и какие цветы посажены в их клумбах?


Решения и ответы

i СЕрии ЗАДАЧ

Задача № 3.

hello_html_7c5e532e.jpg

1) 3 ∙ 4 = 12 (мин) – потратили на 4 распила, это 1 бревно.

2) 12 ∙ 4 = 48 (мин) – потратили на 4 бревна

Ответ: 48 минут потратили для распилки 4 бревен.

Задача № 4.

Т > O на 6 конфет

K < T на 4 конфеты, значит, T > K на 4 конфеты

hello_html_4b30b228.jpg


Ответ: Катя съела больше, чем Оля, на 2 конфеты.

Задача № 5.

hello_html_m11f8f685.jpg

  1. 3 ∙ 4 ∙ 2∙ = 24 (к.) – всего

  2. 24 – 1 – 2 = 21 (г.)

Ответ: на дне рождения у Васи был 21 гость.

Задача № 6.

hello_html_m71079ab9.jpg

Ответ: у Егора 5 очков.

Задача № 7.



hello_html_255482bd.jpg

Самый высокий Антон.

Задача № 8.

hello_html_m76347a30.gif


1) 19 – 7 = 12 (ч) – столько времени прошло от первой выемки до последней.

2) На чертеже видно, что промежуток времени от первой выемки до последней поделился на 4 отрезка, значит

12 : 4 = 3 ( ч )

Ответ: Печкин вынимает письма через 3 часа.


II СЕРИИ ЗАДАЧ

Задача № 3.

hello_html_25021240.jpg


1) 27 – 12 = 15 (м.) – добавилось на все автостоянки.

2) 123 + 15 = 138 (м.) – стало на трех автостоянках.

3) 138 : 3 = 46 (м.) – на I автостоянке.

4) 46 – 27 = 19 (м.) – на II автостоянке.

5) 46 + 12 = 58 (м.) – на III автостоянке.

Проверка: 46 + 19 + 58 = 123 (м.) – было

Ответ: на I автостоянке было – 46 м, на II – 19 м, на III – 58 м.

Задача № 4.

hello_html_6a4619cc.jpg


1) 16 – 2 = 14 (в.) – осталось на двух кустах.

2) 14 : 2 = 7 (в.) – стало на каждом кусте.

3) 7 + 5 = 12 (в.) – было на I кусте.

4) 7–5=2 (в.) – на II кусте перед прилетом 5 или после отлета 2.

5) 2 + 2 = 4 (в.) – было на II кусте.

Проверка: 12 + 4 = 16 – было

Ответ: на I кусте было 12 воробьев, на II кусте – 4 воробья.


Задача № 5.

hello_html_63f92e03.jpg



1) 40 – 30 = 10 (к.) – разность карандашей.

2) 30 – 10 = 20 (р.) – стоят 10 карандашей.

3) 20 : 10 = 2 (р.) – цена карандаша.

4) 30 ∙ 2 = 60 (р.) – стоят 30 карандашей.

5) 60 + 30 = 90 (р.) – стоят 18 ручек.

6) 90 : 18 = 5 (р.) – цена ручки.

Задача № 6.

hello_html_150105ea.jpg


1) 15 + 9 = 24 (ор.) – осталось у Пети и Коли.

2) 40 – 24 = 16 (ор.) – они съели.

3) 16 : 2 = 8 (ор.) – съел каждый.

4) 15 + 8 = 23 (ор.) – сорвал Коля.

Ответ: Коля сорвал 23 ореха.

Задача № 7.

1) 8 – 5 = 3 (т.) – разность тетрадей.

2) 10 + 2 = 12 (р.) – разность стоимостей покупок.

3) 12 : 3 = 4 (р.) – цена тетради.

4) 4 ∙ 5 + 10 = 30 (р.) – у Тани.

Ответ: у Тани 30 рублей.


Задача № 8.

1) 9 – 3 = 6 (т.) – разность тетрадей.

2) 11 + 7 = 18 (р.) – стоят 6 тетрадей.

3) 18 : 6 = 3 (р.) – цена тетради.

4) 3 ∙ 3 + 11 = 20 (р.) – было денег.

или 3 ∙ 9 – 7 = 20 (р.)

Ответ: цена тетради 3 рубля.


Задача № 9.

hello_html_2b56c966.jpg

1) 26 – 3 ∙ 6 =8(п.) – всего было бы, если б у каждого было столько, сколько у Феди.

2) 8 : 4 = 2 (п.) – у Феди.

3) 2 + 3 = 5 (п.) – у Алеши.

4) 5 + 3 = 8 (п.) – у Игоря.

5) 8 + 3 = 11 (п.) – у Вали.

Проверка: 2 + 5 + 8 + 11 = 26 пескарей.

Ответ: Федя поймал 2 пескаря, Алеша – 5 пескарей, Игорь – 8 пескарей, Валя – 11 пескарей.


III CЕРИИ ЗАДАЧ.


Задача № 2.

hello_html_m77af161e.jpg

А > Р + К на 20 руб.

1) 1 ч. + 3 ч. = 4 ч. – приходится на ручку и карандаш.

2) 6 ч. – 4 ч. = 2 ч. – приходится на 20 рублей.

3) 20 : 2 = 10 (руб.) – приходится на 1 ч. или стоит карандаш.

4) 10 ∙ 6 = 60 (руб.) – стоит альбом.

5) 10 ∙ 3 = 30 (руб.) – стоит ручка.

Проверка: 60 > 30 + 10 на 20

Ответ: карандаш стоит 10 рублей, альбом – 60 рублей, ручка – 30 рублей.

Задача № 3.

hello_html_7ea26d16.jpg

Решение.

1) 1 ч. + 4 ч.2 + 16 ч. = 25 ч. – составляют 200 рублей.

2) 200 : 25 = 8 (руб.) – приходится на одну часть (это стоит собака).

3) 84 = 32 (руб.) – стоит корова.

4) 322= 64 (руб.) – стоят две коровы.

5) 816 = 128 (руб.) – лошадь.

Проверка: 8 + 64 + 128 = 200 (руб.)

Ответ: собака стоит 8 рублей, корова – 32 рубля, лошадь – 128 рублей.

Задача № 4.

hello_html_m31b24bbb.jpg

1) 2 + 2 + 2 + 1 = 7 (ч.) – составляют 28 кг

2) 28 : 7 = 4 (кг) – составляет одна часть (съедает Ру)

3) 46 = 24 (кг) –кенгуру до рождения Ру.

Проверка: 24 + 4 = 28 (кг)

Ответ: до рождения Ру семейство кенгуру съедало 24 кг.

Задача № 5.

hello_html_7a04af03.jpg

1) 1 ч. + 3 ч. = 4 (ч.) – приходится на 48 лет.

2) 48 : 4 = 12 (л.) – дочери

3) 48 – 12 = 36 (л.) – матери

Проверка: 12 + 36 = 48 (л.)

Ответ: дочери 12 л., а матери 36 л.

Задача № 6.

hello_html_4ee4f7f6.jpg

Сестра + папа = 50 л. по условию.

1) 1 ч. + 9 ч. = 10 ч.

2) 50 : 10 = 5 л. – сестре

3) 53 = 15 л. – Пете

4) 59 = 45 л. – папе.

Проверка: сестре 5 л., папе 45 л. 5+45 = 50 л.

Ответ: папе 45 л.

Задача № 7.

hello_html_m2810f36e.jpg

1. Когда половину израсходовали, осталось 90 кг. Значит, всего привезли 180 кг.

2. 180 – (46 + 30) = 104 (кг) – было лещей и судаков.

3. 104 : 4 = 26 (кг) – лещей.

4. 263 = 78 (кг) – судаков.

Ответ: судаков было 78 килограммов.

Задача № 8.

hello_html_1abb22e8.jpg

1) 3 + 8 = 11 (ч.) – всего на 99 рублей.

2) 99 : 11 = 9 (р.) – цена открытки.

3) 9 ∙ 4 = 36 (р.) – цена блокнота.

Ответ: цена открытки 9 рублей, а блокнота – 36 рублей.

Задача № 9.

hello_html_7bba770.jpg

1) 1 ч. + 12 ч. = 13 ч. – всего.

2) 130 : 13 = 10 (к.) – приходится на 1 часть.

3) 10 ∙ 1 = 10 (к.) – в меньшей кучке.

4) 10 ∙ 12 = 120 (к.) – в большей кучке.

Ответ: в меньшей кучке должно быть 10 конфет, а в большей – 120 конфет.

Задача № 10.

hello_html_m3583dc7e.gif


1) 1 + 2 +3 = 6 (ч.) – всего в трех ящиках частей

2) 300 : 6 = 50 (кг) – приходится на 1 часть, т.е. в I ящике.

3) 50 + 50 = 100 или 50 ∙ 2 = 100 (кг) – во II ящике.

4) 50 ∙ 3 = 150 (кг) – в III ящике.

Ответ: в I ящике 50 кг, во II ящике 100 кг, в III ящике 150 кг апельсинов.

Задача № 11.


hello_html_m40f76fdb.gif


1) х л – было во втором бидоне, (х + 7) л – стало в нем

3х л – было в первом бидоне, (3х + 6) л – стало в нем

3х + 6 > х + 7 в 2 раза

(х + 7) ∙ 2 = 3х + 6

2х + 14 = 3х + 6

х = 8 л – было во втором бидоне, а в первом 8 ∙ 3 = 24 (л)

Ответ: в первом бидоне было 24 л молока, а во втором – 8 л.

Задача № 12.


hello_html_m6c51e54.gif


1) 1 + 2 = 3 (ч.) – приходятся на 15 человек.

2) 15 : 3 = 5 (чел.) – внучек или приходится на 1 часть.

3) 5 ∙ 2 = 10 (чел.) – внуков.

Ответ: у Бабы Яги 5 внучек и 10 внуков.

Задача № 13.

hello_html_m43bfe242.gif

1) Если жук передвигается в 8 раз быстрее гусеницы, то расстояние, которое проехал Муравьишка на гусенице за 24 минуты, на жуке он преодолел бы за 3 мин. (24 : 8 = 3)

2) Муравьишка проехал на жуке путь в 4 раза больше, чем на гусенице, значит в пути он был 12 мин. (3 ∙ 4 = 12)

Ответ: на жуке Муравьишка ехал 12 минут.


IV СЕРИИ ЗАДАЧ

Задача № 2.

hello_html_5e38a217.jpg

Вечером мама берет половину оставшихся яблок, Петя 2 яблока и осталось 2 яблока. Значит, вечерняя половина – 4 яблока, а всего вечером было 8 яблок. В обед половина яблок составила величину, равную:

8 + 1 = 9 яблок.

Значит, купила мама 18 яблок.

Ответ: мама купила 18 яблок.

Задача № 3.

hello_html_m1cfb0ded.jpg

1) 100 – 40 = 60 (%) – 3 карандаша.

2) 60 : 3 = 20 (%) – 1 карандаш.

3) 100 : 20 = 5 (к.) – в остатке или 50% первоначального количества.

4) 5 + 5 = 10 (к.) – было.

Ответ: первоначально было 10 карандашей.

Задача № 4.

1) ½ + ½ = 1 (пл.) – съел медведь на крыльце избушки.

2) 1 + ½ = 1½ – половина того, что было в кошелке после первого угощения.

3) 1½ + 1½ = 3 (пл.) – осталось в кошелке после первого угощения.

4) 3 + ½ = 3½ – половина того, что было в кошелке вначале.

5) 3½+ 3½ = 7 (пл.) –было в кошелке вначале.

Ответ: было 7 плюшек.


V СЕРИИ ЗАДАЧ

Примеры решения задач через модель-множество.

Задача № 2.

hello_html_119d7ad8.jpg

1) 16 + 18 = 34 (л.) – больше 29 из-за Паши

2) 34 – 29 = 5 (л.) – Паше.

3) 18 – 5 = 13 (л.) – мне.

4) 16 – 5 = 11 (л.) – Валентину.

Проверка: 13 + 11 + 5 = 29 лет

Ответ: Паше 5 лет, Валентину 11 лет, старшему брату 13 лет.

Задача № 3.

hello_html_m72d24232.jpg

  1. 9 + 8 = 17(щ) – шумных и кусачих

  2. 17 – 12 = 5(щ ) - шумных и кусачих одновременно.

Ответ: шумных и кусачих одновременно 5 щенков.


Пример решения задач через составление выражений.

Задача № 2.

hello_html_m14572e97.jpg

1) 80 : 2 = 40 (л.) – общий возраст детей в одной группе.

2) 40 : 5 = 8 (л.) – каждой девочке.

3) 40 – 8 ∙ 2 = 24 (г.) – двум мальчикам.

4) 24 : 2 = 12 (л.) – каждому мальчику.

Ответ: каждому мальчику 12 лет, а каждой девочке 8 лет.

Задача № 3.

Т > К

П + В > Т + К

П + Т < В + К, значит В > Т, а П < Т, П < В и П < К

Ответ: 1 место – Вася (больше всех)

2 место – Толя

3 место – Коля

4 место – Петя

Задача № 4.

М. + М. + Т. = 16 р.

М. + Т. + Т. = 14 р.

3 М. + 3Т. = 30 р., значит М. + Т. = 10 р.

16 – 10 = 6 (р.) – стоит пакет молока

14 – 10 = 4 (р.) – стоит пачка творога

6 – 4 = 2 (р.) – на столько молоко дороже творога

Или М. + М. + Т. = 16 р.

М. + Т. + Т. = 14 р.

М. – Т. = 16 – 14, значит молоко дороже творога на 2 р.

Проверка: 6 + 6 + 4 = 16 р. и 6 + 4 + 4 = 14 р.

Ответ: пакет молока дороже пачки творога на 2 рубля.

Задача № 5.

А + Б = 11

А + В = 12

Б + В = 13

2А + 2Б+ 2В = 36, значит А + Б + В = 18 (36 : 2)

Ответ: у Андрея, Бори и Вовы вместе 18 орехов.

Задача № 6.

Г + Р = 3

К + Р = 4

К + Г = 5

2К + 2Г + 2Р = 12 кг, значит К + Г + Р = 6 кг

Ответ: все кенгурята вместе весят 6 килограммов.

Задача № 7.

М. + М. + Т. = 16 р.

М. + Т. + Т. = 14 р.

3 М. + 3Т. = 30 р., значит М. + Т. = 10 р.

16 – 10 = 6 (р.) – стоит пакет молока

14 – 10 = 4 (р.) – стоит пачка творога

6 – 4 = 2 (р.) – на столько молоко дороже творога

Или М. + М. + Т. = 16 р.

М. + Т. + Т. = 14 р.

М. – Т. = 16 – 14, значит молоко дороже творога на 2 р.

Проверка: 6 + 6 + 4 = 16 р. и 6 + 4 + 4 = 14 р.

Ответ: пакет молока дороже пачки творога на 2 рубля.

Задача № 8.

А + Б = 11

А + В = 12

Б + В = 13

2А + 2Б+ 2В = 36, значит А + Б + В = 18 (36 : 2)

Ответ: у Андрея, Бори и Вовы вместе 18 орехов.

Задача № 9.

Г + Р = 3

К + Р = 4

К + Г = 5

2К + 2Г + 2Р = 12 кг, значит К + Г + Р = 6 кг

Ответ: все кенгурята вместе весят 6 килограммов.

Задача № 10.

К + В = 11

К + С = 12

В + С = 13

2К + 2В + 2С = 36, значит К + В + С = 18

Ответ: у Коли, Вани и Саши вместе 18 марок.

Задача № 11.

1) Т + С = 14

С + П = 20

Т + П = 16

2Т + 2С+ 2П = 50, значит Т + С+ П = 25

2) 25 – 14 = 11 (лет) – Пете.

3) 20 – 11 = 9 (лет) или 25 – 16 = 9 (лет) – Саше.

4) 16 – 11 = 5 или 14 – 9 = 5 или 25 – 20 = 5 (лет) – Тане.

Ответ: Пете 11 лет, Саше – 9 лет, а Тане – 5 лет.

Задача № 12.

1) II + III + IV = 72

I + III + IV = 80

I + II + IV = 60

I + II + III = 58

3I + 3II + 3III + 3IV = 270, значит

I + II + III + IV = 90 (р.) – стоят все книги вместе

2) 90 – 72 = 18 (р.) – стоит I книга.

3) 90 – 80 = 10 (р.) – стоит II книга.

4) 90 – 60 = 30 (р.) – стоит III книга.

5) 90 – 58 = 32 (р.) – стоит IV книга.

Ответ: I книга стоит 18 рублей, II книга – 10 рублей, III книга – 30 рублей, IV книга – 32 рубля.


Пример решения задач с применением формул.

Задача № 2.

1) 840 : 60 = 14 (в/мин) – вытекает через вторую трубу

2) 40 – 14 = 26 (в/мин) – наполняется бассейн.

3) 15 ч = 900 мин

26 ∙ 900 = 23400 (в.) – в бассейне.

Ответ: бассейн вмещает 23400 ведер воды.

Задача № 3.

hello_html_m4bc854d2.jpg

  1. 12:3=4Р/ мин – ест Тоша

  2. 4:3=2Р/ мин – ест Малыш

  3. 2∙3=6Р – съел Малыш за 3 минуты

  4. 4+2=6Р/ мин – едят Тоша и Малыш вместе

  5. 6Р:6Р/мин=1 мин – они ели вместе 6 рыб Малыша

  6. 2:2=1Р/мин – ест Яша

  7. 6:1=6 (мин) – Яша будет есть 6 рыб

  8. Яша за 4 мин (которые ели Тоша и Малыш) съел 4 рыбы и у него осталось 2 рыбы

  9. Значит Тоша и Малыш ждали 2 минуты Яшу

Ответ: Тоша и Малыш ждали 2 минуты Яшу

Задача № 4.

1) 350 – 320 = 30 (м/мин) – скорость сближения.

2) 120 : 30 = 4 (мин)

Ответ: собака догонит лисицу через 4 минуты.


Задача № 5.

Время полета 7 1 = 6 (мин)

Если бы пчела летела со скоростью 4 м/с (т.е. без меда), то за это время она пролетела бы расстояние между ульем и липой и еще два таких же расстояния (т.к. скорость пчелы без меда вдвое больше ее скорости с медом) – всего 3 таких расстояния. Следовательно, одно такое расстояние пчела пролетит за

6 : 3 = 2 (мин) = 120 (сек.)

Расстояние между ульем и липой составляет

4 120 = 480 (м)

Ответ: расстояние между ульем и липой 480 м.

Задача № 6.

Два человека на мотоцикле и третий пешком начинают одновременно свой путь. Проехав 55 км, один человек слезает с мотоцикла и далее идет пешком оставшиеся 5 км. Другой человек на мотоцикле едет обратно 45 км. Всего мотоцикл проехал

55 + 45 = 100 (км) за 100 : 50 = 2 (часа).

К этому моменту третий уже пройдет свои 5 2 = 10 (км). Вдвоем они едут обратно 50 км в течение третьего часа. В конце пути в 60 км их ждет первый человек.


Пример решения задач с помощью рассуждений

Задача № 2.

hello_html_64ec70a1.jpg


Г = Х + ½ Т = 1 + ½ Т

Т = Г + Х = 1 + ½ Т + 1 = 2 + ½

Туловище состоит из двух половинок, значит, половина туловища равна 2 кг, тогда все – 4 кг, а голова – 3 кг (2 + 1).

Масса всей рыбы:

3 + 4 + 1 = 8 (кг)

Ответ: масса всей рыбы 8 килограммов.

Задача № 3.

1) 5 + 4 = 9 (ор.) – получили 1 мальчик и 1 девочка.

2) 234 : 9 = 26 (раз) –по 9.

3) 26 : 2 = 13 (чел.) – мальчиков и девочек.

4) 13 ∙ 1 = 13 (ор.) – принес мальчикам во второй раз, т.к. до 6 им не хватает по 1 ореху.

5) 13 ∙ 2 = 26 (ор.) – принес девочкам во второй раз, т.к. до 6 им не хватает по 2 ореха.

6) 13 + 26 = 29 (ор.) – принес учитель во второй раз.

Ответ: во второй раз учитель принес 29 орехов.

Задача № 4.

2 ч. + 2 к. = 14 бл., а 1 к. = 1 ч. + 1 бл., тогда 2 к. = 2 ч + 2 бл.

2 ч. + 2 ч. + 2 бл. = 14 бл.

4 ч. = 12 бл.

1 ч. = 3 бл.

Итого 1 к. = 3 бл. +1 бл. = 4 бл.

Или 2 ч. + 2 к. = 14 бл., тогда 1 ч. + 1 к.=7 бл., а 1 к.=1 ч.+1 бл.

Тогда 1 ч. + 1 ч. + 1 бл. = 7 бл.

2 ч. = 6 бл.

1 ч. = 3 бл.

1 к. = 3 ч. + 1 бл. = 4 бл.

Ответ: 4 блюдца уравновешивают кувшин.

Задача № 5.

3 к. + 1 р. = 16 б., а 1 р. = 1 к. + 8 б.

3 к. + 1 к. + 8 б. = 16 б.

4 к. = 8 б.

1 к. = 2 б., тогда 1 р. = 2 б. + 8 б. = 10 б.

Ответ: 10 бусинок надо положить на чашку весов, чтобы уравновесить раковину.

Задача № 6.

hello_html_m63e23205.jpg

35 30 = 5 (к.) – осталось (получила за сообразительность)

Ответ: девочка получила за сообразительность 5 конфет.

Задача № 7.

К + П = 10 р. и К > П на 9 р., значит К = П + 9

П + 9 + П = 10

= 1 р. = 100 к., значит П = 100 : 2 = 50 (к.)

К = 50 к. + 9 р. = 9 р. 50 к.

Проверка: 9 р.50 к. + 50 к. = 10 р.

Ответ: 9 рублей 50 копеек стоит кукла?

Задача № 8.

1) 12 + 15 = 27 (см)

2) 78 : 27 = 2 (ост. 24)

2 раза по 12

2 раза по 12

24 (ост.) 2 раза по 12

Проверка: 15 2 + 12 4 = 78

Ответ: чтобы обрезков не было, надо разрезать на 4 части длиной 12 см и 2 части длиной 15 см.

Задача № 9.

1. 46 : 2 = 23 (ч) – поровну на шестиместные и четырёхместные лодки.

2) 23 : 6 = 3 (л.) – шестиместных и 5 человек перенесём в четырёхместные лодки.

3) 23 + 5 = 28 (ч) – в четырёхместных лодках.

4) 28 : 4 = 7 (л) – четырёхместных.

Проверка: 6 3 + 4 7 = 46 ( чел.).

Задача № 10.

12 : 3 = 4 (ост. 1)

12 : 4 = 3 (ост. 1)

12 + 1 = 13 (гр.)

Проверка: 13 < 15

Ответ: было 13 груш.

Задача № 11.

Если груши можно поровну разделить на 3 или на 5, то число груш должно быть 15. 15 < 20

Ответ: в корзинке 15 груш.

Задача № 12.

Число лягушат равно 2 ∙ 3 ∙ 4 + 1 = 25, 25 делится на 5 без остатка.

Ответ: всего лягушат 25.

Задача № 13.

У каждой девочки по 20 пальцев на руках и ногах.

У каждого мальчика по 32 зуба.

Значит, количество пальцев и зубов должно заканчиваться на 0.

32 ∙ 5 = 160

160 : 20 = 8 (дев.)

Проверка: 5 + 8 = 13

Ответ: в классе 5 мальчиков и 8 девочек.

Задача № 14.

hello_html_m17bacef5.gif

Ответ: Люся и Аня купили персики, а Дана, Вера и Катя – яблоки.


Пример решения задач на отношение величин

Задача № 2.

16 : 4 = 4 (дм)

hello_html_6c9ce409.jpg

Ответ: площадь прямоугольника со сторонами 7 п. и 1 п. равна 7 дм2

Задача № 3.

(Решение аналогично)

Ответ: это квадрат: 12 : 4 = 3 (см), 3 ∙ 3 = 9 (см2)


Задача № 36.

  1. 24 : 2 = 12 (ч) – в сутки стрекоза спала.

  2. 24 : 3 = 8 (ч) – в сутки стрекоза танцевала.

  3. 24 : 6 = 4 (ч) – в сутки стрекоза пела.

  4. 12 +8 +4 = 24 (ч) – стрекоза спала, танцевала и пела.

Ответ: стрекоза готовилась к зиме 0 часов, т. е. не готовилась вообще.

Задача № 37.

40 ∙ 7 = 280 (мин) = 4 ч 40 мин

Ответ: неделя на Тибуки длиннее недели на Земле на 4 часа 40 минут

Задача № 38.

1 аршин = 4см 16 вершков = 64 см

1 сажень = 64 см ∙ 3 аршина = 192 см

1 верста = 192 см ∙ 500 саженей = 96000 см

7 верст = 96000 см ∙ 7 = 672000 см = 6720 м = 6 км 720 м

Ответ: дядя Федор отправился на 6 километров и 720 метров.


Пример решения задач на приведение к единице несколько раз

Задача № 2.

1) 12: 2 = 6 (к.) – поймал один рыбак за 3 часа

2) 6 : 3 = 2 (к.) – поймал один рыбак за 1 час

3) 2x 2 = 4 (к.) – поймал один рыбак за 2 часа

4) 4 x 3= 12 (к.) – поймали 3 рыбака за 2 часа

Ответ: 3 рыбака за 2 часа поймали 12 карасей.


Задача № 3.

  1. 3 сам. : 3 уч. = 1 самолет делает 1 ученик за 3 мин.

  2. За 9 минут каждый ученик может сделать 3 самолетика (9 : 3 = 3 раза)

  3. 9 сам. : 3 сам. = 3 ученика за 9 минут

Ответ: 9 самолетиков за 9 минут сделают 3 ученика


Задача № 4.

  1. 3 : 3 = 1 (яйцо) – снесла 1 курица за 3 дня.

  2. 12 : 3 = 4 (раза) – 3 содержится в 12.

  3. 1 ∙ 4 = 4 (яйца) – снесла 1 курица за 12 дней.

  4. 12 ∙ 4 = 48 (яиц) – снесут 12 кур за 12 дней, если будут нестись так же.

Ответ: 48 яиц снесут 12 кур за 12 дней, если будут нестись так же.


Пример решения задач с помощью графов.


Задача № 1.

hello_html_m3a2b3b0c.gif

Ответ: у Рыжова черные волосы, у Белова – рыжие, у Чернова – белые.

Задача № 2.

hello_html_17369da4.gif

Ответ: у Вали голубое платье, у Гали – желтое, у Кати – розовое.

Задача № 3.

hello_html_5c04b4a8.gif

Ответ: Аня дежурила в понедельник, Варя – в среду, Таня – во вторник.

Задача № 4.

hello_html_mc8fd184.gif

Ответ: Соня занимается в гимнастической секции, Таня – по плаванию, Женя – в лыжной.

Задача № 5.

hello_html_57c95c1b.gif

Ответ: Ванин – танцор, петров – певец, Леонов – писатель, Сизов – художник.


Задача № 6.

hello_html_m6da7f4b8.gif

Ответ: в бутылке находится лимонад, в стакане – вода, в кувшине – молоко, а в банке – квас.


Задача № 7.

hello_html_a8b2b88.gif

Вчера: Ваня и Кирилл, 10 лет и 11.

Сегодня: Кирилл и Слава, 12 лет и 10.

Ответ: Кириллу 10 лет, Ване – 11, Славе – 12.


Задача № 8.

hello_html_77e87b02.gif

Ответ: 18 костюмов может составить Люба.

Задача № 9.

hello_html_1e6d2fc4.gif

Ответ: Ниф-Ниф в деревянном домике, Наф-Наф – в каменном домике, Нуф-Нуф – в соломенном домике

Задача № 10.

hello_html_m231aaeb.gif

Ответ: Олегу купили конструктор, Алеше – сачок, а Владу – машинку.

Задача № 11.

hello_html_m54c76d00.gif

hello_html_m26321e40.gif

Ответ:






Задача № 12.

hello_html_532f6cb7.gif


Ответ: Александр живет в одноэтажном доме из деревянного сруба, около которого растут ландыши, Максим – в жилище из бетонных конструкций с хризантемами около него, Григорий – в двухэтажном доме из красного кирпича, около которого растут астры.
















Литература

  1. Шевердина Н.А. «Новые олимпиады для начальной школы»/Ростов н/Д:Феникс.2009.-219,с.- (Здравствуй школа)

  2. В.В.Волина «Мир математики»/Ростов н/Д:изд-во «Феникс»,1999-512с./

  3. И. Г. Сухин «Занимательные материалы»/Начальная школа. – М.:ВАКО, 2005-224с.-Мастерская учителя/

  4. Н. Г. Белицкая, А.О.Орг «Школьные олимпиады. Начальная школа» /3-е изд.- М.:Айрис- пресс,2007.-128с./

  5. Г.А. Лавриненко «Задания развивающего характера по математике»/Саратов, «Лицей»,2002-192с./

  6. О.В. Узорова «Контрольные и олимпиадные работы по математике» /М.:ООО «Издательство Астрель» : ООО «Издательство АСТ»,2003- 127/

  7. А.Ю.Астахов, Н.В.Астахова «Математические олимпиады в стране сказок» /составители Астахов А.Ю., Астахова Н.В./ - М: Белый город. – 144с.:ил. Год издания 2012г.

Издательство « Белый город» и редакция «Воскресный день» 111394, Москва,ул. Полимерная, д.8, офисы 306,310,312

  1. В. Н. Русанов «Математические олимпиады младших школьников»

  2. Т.П.Быкова «Нестандартные задачи по математике»/Издательство «Экзамен» Москва,2010г. -142,с.(Серия «Учебно-методический комплект»)

  3. Задачи Международного конкурса «Кенгуру»,Молодёжного чемпионата «Старт»3-4 классы

  4. Задачи из Всероссийской дистанционной олимпиады по математике для 1-4 классов./Интернет – портал для детей, родителей и педагогов МИНОБР.ОРГ/

Содержание

От автора……………………………………..3-5

Введение ……………………………………..5-12

I серия задач …………………………………13-16

II серия задач…………………………………17-21

III серия задач………………………………...22-26

IV серия задач………………………………...27-28

V серия задач : Примеры решения задач

через модель – множество…………………...29-30

через составление выражений……………….30-33

с применением формул……………………….33-35

с помощью рассуждений …………………….35-39

на отношение величин………………………..39-40

на приведение к единице несколько раз…….40

Решения и ответы

к I серии задач…………………………………41-43

ко II серии задач………………………………43-46

к III серии задач……………………………….47-51

к IV серии задач……………………………….51-52

к V серии задач, которые решаются

через модель – множество……………………52-53

через составление выражений………………..54-56

с применением формул……………………….56-58

с помощью рассуждений …………………….58-62

на отношение величин………………………..62-63

на приведение к единице несколько раз…….63

через составление графов……………………

















Наталья Михайловна Медведева

Вячеслав Федорович Казак






Размышляем над нестандартными задачами


Учебное пособие



Редактор Пчелинцева М. А.

Компьютерная верстка Сарафановой Н. М.

Темплан 2013 г., поз. № 16К

Подписано в печать 28.06.2013 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 5,35. Уч.-изд. л. 5,23.

Тираж 100 экз. Заказ №


Волгоградский государственный технический университет

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в КТИ

403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5.





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 03.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров970
Номер материала ДВ-028565
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх