Разработка КИМА по математике 9 класса.

                                               Часть1

                                    Модуль « Алгебра»

За­да­ние 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

За­да­ние 2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число .

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

1) 

2) 

3) 

4) 

За­да­ние 3. Какое из чисел    яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 

2) 

3) 

4) Все эти числа ир­ра­ци­о­наль­ны.

За­да­ние 4. При каком зна­че­нии  зна­че­ния вы­ра­же­ний  и  равны?

За­да­ние 5.  На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

1)		2)
3)		4)

За­да­ние 6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 11, 7, 3, ... . Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 7-м месте?

За­да­ние 7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при а = −5.

За­да­ние 8.  На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

                                       Модуль «Геометрия»

За­да­ние 9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C пря­мой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Най­ди­те AB.

За­да­ние 10.  Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.        

За­да­ние 11. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 6, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

За­да­ние 12. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на тра­пе­ция  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

За­да­ние 13.  Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме её ос­но­ва­ний.

3) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

                                Модуль «Реальная математика»

За­да­ние 14.  В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по ис­то­рии и об­ще­ст­во­зна­нию в 10 «А» клас­се.

Номер уче­ни­ка	Балл по ис­то­рии	Балл по об­ще­ст­во­зна­нию
5005	45	76
5006	34	23
5011	67	56
5015	78	67
5018	59	79
5020	46	32
5025	54	76
5027	95	88
5029	46	72
5032	83	45
5041	48	66
5042	28	42
5043	63	67
5048	92	83
5054	38	64

По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 130 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 70 бал­лов. Сколь­ко че­ло­век из 10 «А», на­брав­ших мень­ше 60 бал­лов по ис­то­рии, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 5

2) 2

3) 3

4) 4

За­да­ние 15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли и время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник в 18 часов.

За­да­ние 16. За 40 минут пе­ше­ход про­шел 3 ки­ло­мет­ра. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он прой­дет за 1 час, если будет идти с той же ско­ро­стью?

За­да­ние 17. От стол­ба вы­со­той 12 м к дому на­тя­нут про­вод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 15 м. Вы­чис­ли­те длину про­во­да.

За­да­ние 18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каких пре­де­лах на­хо­дит­ся со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

1) 45-55%

2) 55-65%

3) 65-75%

4) 75-80%

За­да­ние 19. Из 1600 па­ке­тов мо­ло­ка в сред­нем 80 про­те­ка­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный пакет мо­ло­ка не течёт?

За­да­ние 20.  Пло­щадь тра­пе­ции    можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где   — ос­но­ва­ния тра­пе­ции,   — вы­со­та (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те вы­со­ту  , если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны    и  , а её пло­щадь  .

                                                         Часть 2

                                              Модуль» Алгебра»

За­да­ние 21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  

За­да­ние 22.  Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

За­да­ние23.  При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

                                     Модуль «Геометрия»

За­да­ние 24.  Ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а её пе­ри­метр равен 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

За­да­ние 25. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CMD.

За­да­ние 26. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Най­ди­те этот диа­метр, если диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 8.

Ответы на 1 часть.

№ п/п	Правильный ответ
1	-0,18
2	1
3	2
4	-10
5	3
6	-13
7	0,8
8	4
9	20
10	4
11	48
12	0,8
13	1;3
14	4
15	756
16	4,5
17	17
18	3
19	0,95
20	4

                         Решения и критерии оценивания заданий части 2

                                             Модуль «Алгебра»

Задание 21.

Критерии оце­ни­ва­ния выполнения задания	Баллы
Правильно вы­пол­не­ны преобразования, по­лу­чен вер­ный ответ	2
Решение до­ве­де­но до конца, но до­пу­ще­на ошиб­ка или опис­ка вы­чис­ли­тель­но­го характера, с её учётом даль­ней­шие шаги вы­пол­не­ны верно	1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным выше критериям	0
Максимальный балл	2

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  

Решение.

Пе­ре­несём две части не­ра­вен­ства в одну часть и из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля:  при­рав­ня­ем левую часть к нулю и найдём корни. От­сю­да  и  Рас­ста­вив корни на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, опре­де­лим знаки не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем:  и 

Ответ: (-∞; -0,75]U[3; +∞).

Задание 22.

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Ход ре­ше­ния за­да­чи верный, по­лу­чен вер­ный ответ	3
Ход ре­ше­ния правильный, все его шаги присутствуют, но до­пу­ще­на ошиб­ка или опис­ка вы­чис­ли­тель­но­го характера	2
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	3

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Решение.

Пусть взяли  г 10-про­цент­но­го рас­тво­ра, тогда взяли и  г 12-про­цент­но­го рас­тво­ра. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса ве­ще­ства, раз­делённая на массу всего рас­тво­ра. В пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся  г, а во вто­ром —  г Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна  или 11%.

Ответ: 11%.

Задание 23.

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Неравенство вы­пи­са­но верно, верно най­де­ны ис­ко­мые зна­че­ния параметра	4
Неравенство вы­пи­са­но верно, но ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра най­де­ны не­вер­но или не найдены	3
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	4

При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Решение.

Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда мень­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

При­ме­ча­ние.

Ко­ор­ди­на­ту  па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле 

                                         Модуль «Геометрия»

Задание 24.

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Получен вер­ный обос­но­ван­ный ответ	2
При вер­ных рас­суж­де­ни­ях до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, воз­мож­но при­вед­шая к не­вер­но­му ответу	1
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	2

Ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а её пе­ри­метр равен 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Решение.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию    с ос­но­ва­ни­я­ми    и  , пе­ри­метр ко­то­рой равен 52. Имеем

.

Пусть  — вы­со­та тра­пе­ции. Тогда . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим . Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции равна .

Ответ: 156.

Задание 25.

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы	3
Доказательство в целом верное, но со­дер­жит неточности	2
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	3

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CMD.

Решение.

Про­ведём вы­со­ту  так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку Углы  и  равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но,  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки  и . Таким об­ра­зом, 

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна  а пло­щадь тре­уголь­ни­ка 

Задание 26.

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, по­лу­чен вер­ный ответ	4
Ход ре­ше­ния верный, все его шаги вы­пол­не­ны правильно, но даны не­пол­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошибка	3
Другие случаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным критериям	0
Максимальный балл	4

Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Най­ди­те этот диа­метр, если диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 8.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник  — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, . Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке  имеем:  Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник : сумма его углов равна 180°, по­это­му

По­сколь­ку кроме этого  имеем:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и  равно  сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, .

Точка  от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трёх вер­шин тре­уголь­ни­ка, , сле­до­ва­тель­но, точка  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка . Диа­метр  равен ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти 

Ответ: 4.

Спецификация контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

1. Назначение КИМ  – оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников IX классов общеобразовательных организаций в целях государственной итоговой аттестации выпускников. Результаты экзамена могут быть использованы при приёме обучающихся в профиль- ные классы средней школы.

2. Документы, определяющие содержание КИМ

       Содержание экзаменационной работы  определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

       Кроме того, в экзаменационной работе нашли отражение концептуальные положения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»). КИМ разработаны с учётом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны: овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных и внеучебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.

 3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ

      Структура КИМ  отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня,

достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.

       В целях обеспечения эффективности проверки освоения базовых понятий курса математики, умения применять математические знания и решать практико-ориентированные задачи, а также с учётом наличия в практике

основной школы как раздельного преподавания предметов математического цикла, так и преподавания интегрированного курса математики в

экзаменационной работе выделено три модуля: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

 4. Связь экзаменационной модели КИМА  с КИМ ЕГЭ

        Содержательное единство государственной итоговой аттестации за курс основной и средней школы обеспечивается общими подходами к разработке кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников по математике. Оба кодификатора строятся на основе раздела «Математика» Федерального компонента государственного стандарта общего образования.

5. Характеристика структуры и содержания КИМ

        Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» – одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне.

        При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемонстрировать: владение основными алгоритмами; знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов решения задач и проч.); умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

      Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Все задания требуют записи решений и ответа. Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры.

        Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания.

       Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания.

      Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.

Таблица 1. Распределение заданий по частям работы

№	Часть работы	Тип заданий	Количе- ство заданий	Макси- мальный первич- ный балл	Процент максимального первичного балла для каж- дой части работы от максимального первичного балла за всю работу, равного 38
1	Часть1	С выбором ответа	4	4	11
2	Часть1	С кратким ответом	16	16	42
3	Часть2	С развернутым ответом	6	18	47
	Итого		26	38	100

6. Распределение заданий КИМ по содержанию, проверяемым умениям и способам деятельности

        Модуль «Алгебра».

       Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса алгебры основной школы, отражённым в

кодификаторе элементов содержания (КЭС). Количество заданий по каждому из разделов кодификатора примерно соответствует удельному весу этого раздела в курсе. Распределение заданий по разделам содержания приведено в таблице2

Таблица 2. Распределение заданий части 1 по КЭС

Код по КЭС	Название раздела содержания	Количество заданий
1	Числа и вычисления	2
2	Алгебраические выражения	2
3	Уравнения и неравенства	2
4	Числовые последовательности	1
5	Функции и графики	1

Ориентировочная доля заданий части 1, относящихся к каждому из

разделов кодификатора требований, представлена в таблице 3.

Таблица 3. Распределение заданий части 1 по КТ

Код по КТ	Название требования	Количество заданий(1)
1	Уметь выполнять вычисления и преобразования	2
2	Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений	3
3	Уметь решать уравнения, неравенства и их системы	2
4	Уметь строить и читать графики функций	1

(1)  Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований.

       Часть 2. Задания части 2 модуля направлены на проверку таких

качеств математической подготовки выпускников, как: 

-уверенное владение формально-оперативным алгебраическим

 аппаратом; 

-умение решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

 -умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

- владение широким спектром приёмов и способов рассуждений.

       Распределение заданий части 2 по разделам кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено в таблицах 4 и 5.

Таблица 4. Распределение заданий части 2 по КЭС

Код по КЭС	Название раздела содержания	Количество заданий
2	Алгебраические выражения	1
3	Уравнения и неравенства	1
5	Функции и графики	1

Таблица 5. Распределение заданий части 2 по КТ

Код по КТ	Название требования	Количество заданий
2	Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений	1
3	Уметь решать уравнения, неравенства и их системы	1
4	Уметь строить и читать графики функций	1

       Модуль «Геометрия».

       Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса геометрии основной школы, отражённым в КЭС. Распределение заданий по разделам содержания приведено в таблице 6.

Таблица 6. Распределение заданий части 1 по КЭС

Код по КЭС	Название раздела содержания	Количество заданий
7.1	Геометрические фигуры и их свойства	1
7.2	Треугольник	1
7.3	Многоугольники	1
7.4	Окружность и круг	1
7.5	Измерение геометрических величин	1

       Распределение заданий части 2 по разделам требований к уровню под- готовки выпускников представлено в таблице 7.

Таблица 7. Распределение заданий части 1 по КТ

Код по КТ	Название требования	Количество заданий
5	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	4
7.8	Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.	1

       Часть 2. Задания части 2 экзаменационной работы направлены на проверку таких качеств геометрической подготовки выпускников, как:

- умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;

-умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя  при этом необходимые пояснения и обоснования; 

-владение широким спектром приемов и способов рассуждений.

Распределение заданий части 2 по разделам кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено в таблицах 8 и 9.

Таблица 8. Распределение заданий части 2 по КЭС

Код по КЭС	Название раздела содержания	Количество заданий
7	Геометрия	3

Таблица 9. Распределение заданий части 2 по КТ

Код по КТ	Название требования	Количество заданий
7.8	Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения	1
5	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	2

       Модуль «Реальная математика».

       В этом модуле экзаменационной работы содержится 8 заданий, отнесённых в соответствии с КТ к категории «Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели». Это задания, формулировка которых содержит практический контекст, знакомый обучающимся или близкий их жизненному опыту. Из них одно задание (17) проверяет умение применять геометрические знания, а остальные задания предназначены для проверки знаний из разделов: алгебра, теория вероятностей и статистика. Ориентировочное распределение заданий по разделам кодификатора требований представлено в таблице 10.

Таблица 10. Распределение заданий по КТ

Код по КТ	Название требования	Количество заданий(2)
7.1	Решать несложные практические расчётные задачи; решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах;  интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов	1
7.2	Пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот. Осуществлять практические расчёты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами	2
7.4	Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей	1
7.5	Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин	1
7.6	Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках	1
7.7	Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуацией с использованием аппарата вероятности и статистики	1

(2)  Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований

7. Распределение заданий КИМ по уровням сложности

        В таблице 11 приведено распределение заданий КИМ по уровням сложности.

Таблица 11. Распределение заданий КИМ по уровням сложности

Уровень сложности заданий	Количество заданий	Максимальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального балла за всю работу, равного 38 баллам
Базовый	20	20	53
Повышенный	4	10	26
Высокий	2	8	21
Итого	26	38	100

        Часть 1 состоит из заданий базового уровня сложности (Б). В экзаменационной работе задания по уровню сложности распределяются следующим образом: 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 80–90, 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 70–80 и 4 задания с предполагаемым процентом выполнения 60–70.

        Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» состоят из заданий повышенного (П) и высокого (В) уровней сложности. Планируемые проценты выполнения заданий частей 2 приведены в таблице 12.

 Таблица 12. Планируемый процент выполнения заданий частей 2

Модуль	Алгебра			Геометрия
Номер задания	21	22	23	24	25	26
Уровень сложности	П	П	В	П	П	В
Ожидаемый процент выполнения	30-50	15-30	3-15	30-50	15-30	3-15

8. Продолжительность экзаменационной работы по математике

 На выполнение экзаменационной работы отводится 235 минут.

9. Условия проведения экзамена (требования к специалистам)

        На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по математике. Использование единой инструкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение единых условий без привлечения лиц со специальным образованием по данному предмету.

      Обучающимся в начале экзамена выдаётся полный текст работы. Ответы на задания части 1 могут фиксироваться непосредственно в тексте работы, а затем в случае использования бланковой технологии ответы должны быть перенесены в бланк ответов № 1. Задания частей 2 выполняются с записью решения и полученного ответа на отдельных листах или на бланках ответов № 2. Формулировки заданий не переписываются, достаточно указать номер задания.

     Все необходимые вычисления, преобразования и чертежи обучающиеся могут производить в черновике. Черновики не проверяются.

      Проверку экзаменационных работ осуществляют специалисты по математике – члены независимых региональных или муниципальных экзаменационных комиссий по математике. 1

10.  Дополнительные материалы и оборудование

       Учащимся разрешается использовать справочные материалы, содержащие основные формулы курса математики, выдаваемые вместе с работой. Разрешается использовать линейку. Калькуляторы на экзамене не используются

11. Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

        Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками используется общий балл. В таблице 13 приводится система формирования общего балла.

       Максимальный балл за работу в целом – 38.

       Задания, оцениваемые 1 баллом, считаются выполненными верно, если указан номер верного ответа (в заданиях с выбором ответа), или вписан верный ответ (в заданиях с кратким ответом), или правильно соотнесены объекты двух множеств и записана соответствующая последовательность цифр (в заданиях на установление соответствия).

Таблица 13. Система формирования общего балла

Модуль «Алгебра»
Максимальное количество баллов за одно задание			Максимальное количество баллов
Часть1	Часть2			За часть1	За часть2	За модуль в целом
№1-8	№21	№22	№23
1	2	3	4	8	9	17
Модуль» Геометрия»
Максимальное количество баллов за одно задание				Максимальное количество баллов
Часть1	Часть2			За часть1	За часть2	За модуль в целом
№9-13	№24	№25	№26
1	2	3	4	5	9	14
Модуль «Реальная математика»
Максимальное количество баллов за одно задание Часть 1, № 14–20			Максимальное количество баллов за модуль в целом
1			7

       Задания, оцениваемые 2 и более баллами, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то учащемуся засчитывается на 1 балл меньше указанного.

          В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 25.12.2013 № 1394 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 № 31206)

      Об освоении выпускником Федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика» свидетельствует преодоление им минимального порогового результата выполнения экзаменационной работы. Устанавливается следующий рекомендуемый минимальный критерий: 8 баллов, набранные по всей работе, из них – не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». Только выполнение всех условий минимального критерия даёт выпускнику право на получение положи- тельной экзаменационной отметки по пятибалльной шкале по математике или по алгебре и геометрии (в соответствии с учебным планом образовательной организации).

12. Изменения в КИМ 2015 года в сравнении с 2014 годом

      Структура экзаменационной работы не изменилась.

      Изменена форма записи ответа на каждое из заданий 2, 3, 8, 14: в КИМ 2015 г. требуется записывать цифру, соответствующую номеру правильного ответа.

Кодификатор элементов содержания для экзаменационной работы по МАТЕМАТИКЕ

Код раздела	Код контролируе- мого элемента	Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы
1		Числа и вычисления
1.1		Натуральные числа
	1.1.1	Десятичная система счисления. Римская нумерация
	1.1.2	Арифметические действия над натуральными числами
	1.1.4	Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа, разложение натурального числа на простые множители
	1.1.6	Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
1.2		Дроби
	1.2.1	Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей
	1.2.2	Арифметические действия с обыкновенными дробями
	1.2.6	Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной
1.3		Рациональные числа
	1.3.1	Целые числа
	1.3.3	Сравнение рациональных чисел
	1.3.4	Арифметические действия с рациональными числами
	1.3.6	Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий
1.4		Действительные числа
	1.4.1	Квадратный корень из числа
	Запись корней с помощью степени с дробным показателем
	1.4.5	Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби
	1.4.6	Сравнение действительных чисел
1.5		Измерения, приближения, оценки
	1.5.1	Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости
	1.5.2	Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире
	1.5.3	Представление зависимости между величинами в виде формул
	1.5.5	Отношение, выражение отношения в процентах
	1.5.6	Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости
	1.5.7	Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя – степени десяти в записи числа
2		Алгебраические выражения
2.1 2.2		Буквенные выражения (выражения с переменными)
	2.1.1	Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения
	2.1.3	Подстановка выражений вместо переменных
	2.1.4	Равенство буквенных выражений, тождество. Преобразования выражений
2.3		Многочлены
	2.3.2	Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности; формула разности квадратов
	2.3.4	Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
2.4		Алгебраическая дробь
	2.4.1	Алгебраическая дробь. Сокращение дробей
	2.4.2	Действия с алгебраическими дробями
	2.4.3	Рациональные выражения и их преобразования
3		Уравнения и неравенства
3.1		Уравнения
	3.1.1	Уравнение с одной переменной, корень уравнения
	3.1.2	Линейное уравнение
	3.1.3	Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения
	3.1.9	Уравнение с несколькими переменными
3.2		Неравенства
	3.2.1	Числовые неравенства и их свойства
	3.2.2	Неравенство с одной переменной. Решение неравенства
	3.2.5	Квадратные неравенства
3.3		Текстовые задачи
	3.3.1	Решение текстовых задач арифметическим способом
	3.3.2	Решение текстовых задач алгебраическим способом
4		Числовые последовательности
4.1		4.1.1 Понятие последовательности
4.2		Арифметическая и геометрическая прогрессии
	4.2.1	Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии
5		Функции
5.1		Числовые функции
	5.1.1	Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции
	5.1.2	График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, чтение графиков функций
	5.1.3	Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы
	5.1.4	Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, ее график
	5.1.6	Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, ее график. Гипербола
	5.1.7	Квадратичная функция, ее график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии
	5.1.8	График функции y = .
6		Координаты на прямой и плоскости
6.1		Координатная прямая
	6.1.1	Изображение чисел точками координатной прямой
	6.1.3	Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч
6.2		Декартовы координаты на плоскости
7		Геометрия
7.1		Геометрические фигуры и их свойства. Измерение
		геометрических величин
	7.1.1	Начальные понятия геометрии
	7.1.2	Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства
	7.1.3	Прямая. Параллельность и перпендикулярность прямых
	7.1.4	Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой
	7.1.5	Понятие о геометрическом месте точек
7.2		Треугольник
	7.2.1	Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника; точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан, высот или их продолжений
	7.2.2	Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства и признаки равнобедренного треугольника
	7.2.3	Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора
	7.2.4	Признаки равенства треугольников
	7.2.6	Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника
	7.2.7	Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
	7.2.9	Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников
	7.2.10	Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180 градусов
	7.2.11	Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Теорема косинусов и теорема синусов
7.3		Многоугольники
	7.3.1	Параллелограмм, его свойства и признаки
	7.3.2	Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки
	7.3.3	Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция
7.4		Окружность и круг
	7.4.2	Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей
	7.4.3	Касательная и секущая к окружности; равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки
	7.4.5	Окружность, описанная около треугольника
7.5		Измерение геометрических величин
	7.5.1	Длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой
	7.5.4	Площадь и ее свойства. Площадь прямоугольника
	7.5.5	Площадь параллелограмма
	7.5.6	Площадь трапеции
	7.5.7	Площадь треугольника
7.6		Векторы на плоскости
8		Статистика и теория вероятностей
8.1		Описательная статистика
	8.1.1	Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
8.2		Вероятность
	8.2.1	Частота события, вероятность
8.3		Комбинаторика

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для экзаменационной работы  по МАТЕМАТИКЕ

           Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике (далее – кодификатор) является одним из документов, определяющих структуру и содержание контрольных измерительных материалов (далее – КИМ). Кодификатор является систематизированным перечнем требований к уровню подготовки выпускников и проверяемых элементов содержания, в котором каждому объекту соответствует определённый код.

            Кодификатор требований к уровню подготовки по математике составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников основной школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

       В первом столбце таблицы указаны коды разделов, на которые разбиты требования к уровню подготовки по математике. Во втором столбце указан код умения, для проверки которого создаются экзаменационные задания. В третьем столбце сформулированы требования к уровню подготовки выпускников.

Код раздела	Код контролируе- мого умения	Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы
1		Уметь выполнять вычисления и преобразования
	1.1	Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами, сравнивать действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения числовых выражений; переходить от одной формы записи чисел к другой
	1.2	Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений
	1.3	Решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами
	1.4	Изображать числа точками на координатной прямой
2		Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений
	2.1	Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования
	2.2	Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями
	2.3	Выполнять разложение многочленов на множители
	2.4	Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений
	2.5	Применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни
3		Уметь решать уравнения, неравенства и их системы
	3.1	Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы
	3.2	Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы
	3.3	Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств
	3.4	Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи
4		Уметь строить и читать графики функций
	4.1	Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами
	4.2	Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции, решать обратную задачу
	4.3	Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения)
	4.4	Строить графики изученных функций, описывать их свойства
	4.5	Решать элементарные задачи, связанные с числовыми последовательностями
	4.6	Распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов прогрессий
5		Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
	5.1	Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)
	5.2	Распознавать геометрические фигуры на плоскости, различать их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи
	5.3	Определять координаты точки плоскости; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами
6		Уметь работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события
	6.1	Извлекать статистическую информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
	6.2	Решать комбинаторные задачи путем организованного перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения
	6.3	Вычислять средние значения результатов измерений
	6.4	Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
	6.5	Находить вероятности случайных событий в простейших случаях
7		Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели
	7.1	Решать несложные практические расчётные задачи; решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов
	7.2	Пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот. Осуществлять практические расчёты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами
	7.3	Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
	7.4	Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей
	7.5	Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
	7.6	Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках
	7.7	Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуацией с использованием аппарата вероятности и статистики
	7.8	Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения