Разработка урока на тему: "Теория вероятности"

Тема «Классическое определение вероятности»

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.

Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

В теории вероятности основным является понятие события.

Данный вопрос вы изучали самостоятельно, проверим.

Что такое событие?  ( СОБЫТИЕ – это явление, которое происходит в результате   осуществления каких -либо условий).

С помощью данной формулы:  вычисляются  (РАЗМЕЩЕНИЯ) Соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

1)    А – «В 2030 году будет освоена новая скважина на Федоровском месторождении» (СЛУЧАЙНОЕ) Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Вашему вниманию предлагается задача.

Поздним декабрьским вечером студент Петров сидел дома ел бутерброд с маслом и смотрел телевизор. Его внимание привлекло следующее сообщение. Опровергнуто известное утверждение «Бутерброд всегда падает маслом вниз». Оказывается, вероятность осуществления этого события составляет 50% на 50%. Что в числовой характеристике составляет р = 0,5.  Посмотрев на свои лекции, у студента возникли вопросы:

Что такое вероятность?

Какова моя вероятность завтра сдать экзамен, если рассмотреть следующие случаи:

а) Из 50 вопросов выучу 20 вопросов.

б) Буду знать все вопросы.

в) Не буду учить ничего и лягу спать.

Что надо знать, чтоб найти вероятность?

Какой может быть вероятность?

Сейчас вам необходимо обсудить предложенную задачу и попытаться дать ответы на поставленные вопросы. (обсуждают в четверках)

В  толковом  словаре  С.И. Ожегова  и Н.Ю. Шведовой мы можем прочитать: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

А вот советский математик А. Н. Колмогоров, который дал строгое логическое обоснование теории вероятностей так ввел это понятие : «Вероятность – это числовая характеристика возможности появления какого либо определенного события в тех или иных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.»

Чтобы определить вероятность надо знать: количество исходов этого события и количество исходов благоприятствующих событию.

Пусть А – некоторое событие,

m – количество исходов благоприятствующих появлению события А

n – количество исходов этого события

Тогда вероятностью наступления случайного события А  называется отношение

Обозначается вероятность Р, данное обозначение происходит от французского слова.

.

А если студент знает все вопросы. Каким событием будет тогда сдача экзамена? Чему тогда равна вероятность сдачи экзамена? ( единицы).

А если студент пришел не готовый чему равны  его шансы сдать экзамен? Какое это будет событие? Чему будет равна вероятность? (нулю).

Вывод: вероятность наступления случайного события больше или равно нулю, но меньше или равно единице:    0 ≤ Р(А) ≤ 1. Часто результат вероятности события записывается в процентном отношении, связано это с тем, что это более наглядно и часто используется в экономике и статистики.

Задача № 1.

Среди 125 КНС разыгрывается приз. Какова вероятность, что номер победившей КНС будет заканчиваться на тройку?

Решение. А – номер победившей станции заканчивается на тройку.

n = 125,  m = 13 ( т. к номера победителей могут быть: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123).

Задача № 2.

На семи одинаковых карточках разрезной азбуки буквы: «А», «О», «Э», «Г», «Н», «Р», «М». Наудачу выбрали пять карточек и положили их в ряд в порядке их извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «РЭНГМ».

Решение. А – получилось слово «РЭНГМ».

Число всех исходов найдем с помощью размещения.  n = .

Число благоприятных  исходов m = 1.

  

Задача № 3.

Вероятность запуска насоса после ремонта равна 0,95 %. Произвели 55 попыток запуска. Найдите ожидаемое число неудачных запусков.

Решение.

Что известно в этой задачи? (Вероятность наступления события).

Какое это событие? ( Насос после ремонта запуститься)

Что еще известно? (Число всех исходов).

А – насос после ремонта будет работать.

Р(А) = 0,95 = .   n = 55,  m - ?.

,   .

Это количество исходов при которых насос запуститься, значит количество исходов при которих насос работать не будет равно 55 – 52 = 3.

Задача № 4.

Значением показаний манометра ( прибор для измерения давления) может быть любое двузначное число. Какова вероятность того, что наугад  выбранный результат состоит из одинаковых цифр.

Решение:  А – значение показаний манометра состоит из одинаковых цифр.

Всего исходов n = 90, число благоприятных исходов m = 9 ( т.к. показатели могут быть: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

Р(А) =  

Задача № 5.  

Из 60 экзаменационных вопросов  студент подготовил 50. На экзамене он должен ответить на два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на  оба вопроса?

Решение:

А – студент ответит на оба вопроса.

Билеты составляют из 60 вопросов по два, при этом порядок расположения вопросов не важен, значит чтобы подсчитать количество всех исходов воспользуемся сочетанием. n =

Благоприятными будут исходы если оба вопроса в билете из 50 выученных, количество благоприятных исходов можно тоже найти с помощью сочетания. m =

Р(А) =

Задача № 6.

Из полного набора домино извлекается  наудачу одна кость. Какова вероятность того, что число очков в ней четное.

А – число выпавших очков четное.

Число всех исходов n = 28 (количество костей в домино).  m  = 15

Р(А) =

Решение задач – 2часа

1) Среди 250 билетов разыгрывается приз. Какова вероятность, что номер победившего будет заканчиваться на пятерку?

2) В такси работают 10 машин. Из них 5 красных, 2 зеленых, 3 белых.  А)Какова вероятность, что приедет красная машина? б) Какова вероятность что приедет белая машина? В)Какова вероятность, что приедет зеленая машина?

3) В шляпе фокусника находятся: 2кролика, 4 голубя, 3 шарика. Какова вероятность того, что фокусник вытащит голубя?

4) Вероятность запуска насоса после ремонта равна 0,85 %. Произвели 44 попытки запуска. Найдите ожидаемое число неудачных запусков.

10.04.2020год  2часа. 22 группа

Тема:  Случайные величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через  *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы.

Случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина  обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

Найти 

Решение: так как случайная величина  может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

 – таким образом, вероятность выигрыша  условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ: 

:

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины  – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно  рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
 – вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша  рублей составляет:

И для :

Проверка:  – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша: