Разработка урока (план-конспект, презентация, аннотация) Тригонометрия и сферы ее применеия

• 1 слайд

  “Тригонометрия – это просто и понятно”
  “Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика”.
   (Г. Галилей)
  
  

• 2 слайд

  Терминология
  Тригонометрия (от греч. trigonon — ………………… , metro — …………….) — микрораздел ………………… , в котором изучаются зависимости между величинами …………. и длинами сторон …………………….., а также алгебраические тождества …………………………… функций.
  

• 3 слайд

  Тригонометрия.
  Сферы ее применения.
  Астрономия
  (расстояние до
  недалеких звезд)
  Математика
  (соотношение сторон
  и углов треугольника)
  Физика
  (акустика,
  оптика, гармонические
  колебания)
  География
  (ориентирование)
  Техника навигации
  Электроника
  Медицина
  Геодезия
  (сейсмология)
  Архитектура
  и т.д.
  

• 4 слайд

  Тригонометрия.
  Сферы ее применения.
  Цели урока:
  Исследовать применение знаний тригонометрии за пределами учебника «Математика (алгебра и геометрия)». Способствовать развитию кругозора.
  

• 5 слайд

  Государство «Тригонометрическое исследование»
  (подсказки)
  В этом государстве впервые появилось слово «Синус» (в переводе «джива» - дуга, изгиб)
  В этом государстве начали использовать тригонометрические тождества
  

• 6 слайд

  Тригонометрия и астрономия
  

• 7 слайд

  )
  

• 8 слайд

  Басня
  Случились вместе два Астронома в пиру
  И спорили весьма между собой в жару.
  Один твердил: "Земля, вертясь, круг Солнца ходит";
  Другой, что Солнце все в собой планеты водит.
  Один Коперник был, другой слыл Птоломей.
  
  Тут повар спор решил усмешкою своей.
  Хозяин спрашивал: "Ты звёзд теченье знаешь?
  Скажи, как ты о сём сомненье рассуждаешь?"
  Он дал такой ответ: "Что в том Коперник прав,
  
  Я правду докажу, на Солнце не бывав.
  Кто видел простака из поваров такова,
  Который бы вертел очаг кругом жаркова?"
  При обращении Земли вокруг Солнца
  
  М. Ломоносов
  

• 9 слайд

  Измерение расстояний и высот
  с помощью тригонометрии
  В 1838 г. измерено расстояние до ближайшей звезды
  

• 10 слайд

  Решить задачу
  Вычислить расстояние от стрелков до мишени, если они находятся на расстоянии 200 м друг от друга, а их ружья винтовки направлены под одинаковым углом 30 и 60 градусов.
  

• 11 слайд

  Математика
  С 18 века тригонометрия сложилась как самостоятельная наука
  Эксперимент
  Построить угол котангенс которого равен 3/4
  Построить   угол, тангенс   которого равен 4/5
  Построить угол, синус которого равен 3/5
  
  

• 12 слайд

  Тригонометрия плоскости
  Сферическая тригонометрия
  

• 13 слайд

  Государство «Тригонометрическое исследование»
  (подсказка)
  3. Математики этого загадочного государства в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды.
  

• 14 слайд

  Синусоида
  РОБЕРВАЛЬ Жюль
  

• 15 слайд

  Тригонометрия и физика
  

• 16 слайд

  Тригонометрия и физика
  

• 17 слайд

  Тригонометрия и архитектура
  

• 18 слайд

  Тригонометрия и криминалистика
  

• 19 слайд

  Тригонометрия и геодезия
  

• 20 слайд

  Тригонометрия и статистика
  

• 21 слайд

  Тригонометрия и музыка
  

• 22 слайд

  Тригонометрия и медицина
  

• 23 слайд

  Тригонометрия и навигация
  Компьютер приемника решает четыре уравнения с четырьмя неизвестными до тех пор, пока не найдется решение, которое проводит все окружности через одну точку
  

• 24 слайд

  Тригонометрия и география
  Птолемей был сторонником математической географии, и его сочинение представляет собой подробное руководство по составлению атласа мира, с указаниями точных координат каждого пункта.
  
  

• 25 слайд

  Географические широты
  

• 26 слайд

• 27 слайд

  Поварское искусство
  

• 28 слайд

  Поварское искусство
  

• 29 слайд

  Поварское искусство
  

• 30 слайд

  Поварское искусство
  

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. В связи с практической ориентированностью современного образования основным результатом деятельности образовательного учреждения должна стать не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых компетентностей (ценностно-смысловая, общекультурная, учебно-познавательная, информационная,  коммуникативная, социально-трудовая,  личностная). Одним из путей формирования ключевых компетентностей является использование на уроках специальных компетентностно-ориентированных (практикоориетированных) задач.

Представленный мною урок является практикоориентированным, что соответствует требованиям ФГОС. На данном уроке прослеживается развитие различных видов компетенций студентов.

Компетенция— это готовность (способность) ученика использовать усвоенные знания, учебные умения и навыки, а также способы деятельности в жизни для решения практических и теоретических задач. Математическая компетенция — это способность структурировать данные (ситуацию), вычленять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать ее, интерпретировать полученные результаты. Иными словами, математическая компетенция учащегося способствует адекватному применению математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем. В процессе урока использованы различные методы и приемы, которые показывают решение практических и теоретических задач в различных интерпретациях. Студенты вовлечены в чередующиеся различные виды деятельности, что приводит их к развитию компетентности на уроках.

Компетентность проявляется в случае применения знаний и умений при решении задач, отличных от тех, в которых эти знания усваивались.

В стандартах среднего (полного) общего образования (базовый и профильный уровни) сформулированы требования к уровню подготовки выпускников, которые принято использовать для характеристики уровня математической компетентности. Анализ возникающих в повседневной жизни ситуаций, для разрешения которых требуются знания и умения, формируемые при обучении математике определяет перечень необходимых для этого предметных умений:

·                     умение проводить вычисления, включая округление и оценку (прикидку) результатов действий использовать для подсчетов известные формулы;

·                     умение извлечь и проинтерпретировать информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков, схем и др.);

·                     умение применять знание элементов статистики и вероятности для характеристики несложных реальных явлений и процессов;

·                     умение вычислять длины, площади и объемы реальных объектов при решении практических задач.

В ходе урока при решении компетентностно-ориентированных задач основное внимание уделятется формированию способностей учащихся использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции. Содержание заданий связано с разделом и темой, составляющими основу программ обучения. Для применения на уроке компетентностно-ориентированных заданий использованы следующие дополнительные возможности изучаемого материала:

– прикладной характер содержания темы;

– содержание, включающее в себя оценку явлений и событий;

– содержание программы, связанное с событиями, явлениями, объектами, доступными непосредственному восприятию студента;

– содержание программы, связанное с формированием учебных умений и навыков;

– содержание учебного материала, которое может найти применение в воспитательной (внеучебной) деятельности.

Компетентностно - ориентированные задания могут использоваться на уроках различных типов: изучения нового материала, закрепления знаний, комплексного применения знаний, обобщения и систематизации знаний, урок контроля, оценки и коррекции. В своей работе на уроках математики систематически использую компетентностно-ориентированные задачи, что способствует формированию ключевых компетенций студентов. Таким образом повышается математическая грамотность студентов и формируются такие компетенции:

·                     информационная;

·                     коммуникативная;

·                     исследовательская;

·                     готовность к самообразованию.

Формирование данных компетенций на предложенном уроке прослеживается в ходе его содержания.

Тема: «Тригонометрия. Сферы ее применения»

Курс 1

Место урока по программе: итоговый урок по разделу «Тригонометрия».

Тип урока: комбинированный.

Цели: 1) образовательная: сформировать у учащихся представления о сферах применения тригонометрии путем обобщения и систематизации знаний тригонометрических формул, соотношений между углами и сторонами в треугольнике, формирование умения активно и последовательно отстаивать свою точку зрения, умение найти убедительные аргументы при доказательстве своей позиции.

2) развивающая: способствовать развитие аналитического мышления, познавательной деятельности, коммуникативности, расширению кругозора.

3) воспитательная: способствовать формированию мотивации к предмету, ответственности,  самостоятельности, взаимоуважения и взаимопомощи.

Компетенции: информационная, коммуникативная, исследовательская, готовность к самообразованию.

Методы: проблемный, словесный, наглядный, практический.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оснащение урока: дидактический материал, презентация, чертежные инструменты, учебники математики и физики, сообщения студентов, компьютер, проектор.

Межпредметные связи: поварское искусство, астрономия, физика, география, геодезия,

медицина, статистика и т.д.

Учебная литература: Н.Б. Богомолов “Математика», А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»

Содержание урока:

Этап урока, время	Ход урока. Деятельность учителя.	Деятельность учащихся
1.          Оргмомент (1 мин)	Проверка готовности к уроку.	Староста отмечает отсутствующих.
2.         Постановка проблемной задачи (3 мин)	1. Проблемная ситуация Участвуя в российском конкурсе «Математика в терминах» студенты столкнулись с таким вопросом: «Какое государство при нанесении на географическую карту изначально называлось «Тригонометрическим исследованием»? А вы знаете ответ на поставленный вопрос? Тогда я предлагаю вам пройти путь исследования данного государства, опираясь на ваши познания, полученные при изучении одного из сложных разделов математики «Тригонометрии». Начать урок мне хочется с замечательных слов Г. Галилея “Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика”.                                                            2.     Работа с текстом Восстановить недостающие записи математического определения на листах. В конце урока мы с вами определим е, смогли ли мы заглянуть в великую книгу природы и понять язык, на котором она написана. Формулировка темы урока В курсе алгебры и начал анализа мы заканчиваем изучение тригонометрии. По плану остается время на практикоориентированные задачи. Очень часто мы слышим вопрос «А для чего нам нужна математика?» Поэтому мне хотелось бы рассказать о прикладном значении тригонометрии.	Фронтальная работа Мнения учащихся Практическая работа в группах. Тригонометрия (от греч. trigonon — треугольник , metro — измеряю) — микрораздел математики в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольника, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Совместная проверка
3.     Постановка темы и целей урока. (2 мин)	Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Как и многие разделы математики, тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (для определения расстояния до недоступных предметов, составления географических карт и пр.). Тема урока «Тригонометрия. Сферы ее применения» Как вы думаете, что мы попытаемся сегодня достичь в соответствии с заданной темой урока? Цели урока: Исследовать применение знаний тригонометрии за пределами учебника «Математика (алгебра и геометрия)».  Способствовать развитию кругозора.	В тетради записывают тему урока «Тригонометрия. Сферы ее применения» Фронтальная работа Мнения учащихся
4.      Обобщение изученного материала
4.1 История тригонометрии (3 мин)	1. Слово учителя Мы уже изучали историю тригонометрии, поэтому на этом этапе повторим небольшую часть этой информации. Изначально тригонометрические функции называли .... Некоторые  источники сообщают, что именно замена хорд … стала главным достижением этого загадочного государства. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами .... Таким образом, в нашем загадочном  государстве было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. 2. Проверка знаний формул тригонометрии Учёные этого загадочного государства пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются в виде: sin2 α  + cos2 α =  1 sin α = cos (900 -  α) sin   (α +β)  = sin α cos β  + cos α sin β sin   (α - β)  = sin α  cos β - cos α sin β Таким образом, тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые стали оформляться в виде таблиц. Позднее учёные составили более подробные таблицы синусов через 1°.	Фронтальная работа Мнения учащихся Хордами Синусами Прямоугольного треугольника Индивидуальная работа Студенты составляют формулы из предложенных на доске карточек, давая им математические названия (основное тригонометрическое тождество, формула приведения, формулы суммы и разности углов
4.2                Тригонометрия и астрономии (6 мин)	1. Слово учителя Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря ей. Вот одна из версий. Раньше люди считали, что Земля – это центр Вселенной и она неподвижна, что Солнце совершает за сутки один оборот вокруг Земли (геоцентрическая система мира, «гео» - Земля). Вавилонские жрецы, проводившие астрономические наблюдения, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник (диаметр) Солнца укладывается ровно 180 раз.  На этот счет знаменитый русский ученый  М. Ломоносов написал басню: Случились вместе два Астронома в пиру И спорили весьма между собой в жару. Один твердил: "Земля, вертясь, круг Солнца ходит"; Другой, что Солнце все в собой планеты водит. Один Коперник был, другой слыл Птоломей. Тут повар спор решил усмешкою своей. Хозяин спрашивал: "Ты звёзд теченье знаешь? Скажи, как ты о сём сомненье рассуждаешь?" Он дал такой ответ: "Что в том Коперник прав, Я правду докажу, на Солнце не бывав. Кто видел простака из поваров такова, Который бы вертел очаг кругом жаркова?" при обращении Земли вокруг Солнца 2. Практическое применение тригонометрии при измерении расстояний и высот Расстояние до небесных светил астрономы определяют подобно тому, как артиллеристы определяют расстояние до цели. Конечно, рас­стояние до цели, как и любые расстояния на Земле, ничтожно по сравнению с удаленностью небесных светил, и астрономы пользуются иными приборами, чем артиллеристы, но суть дела одна и та же. Предмет, расстояние до которого надо определить, рассматривают одновременно с двух мест, откуда он виден по разным направ­лениям. Если два человека, стоящие на рас­стоянии 10 м друг от друга, будут целиться из ружей в один и тот же предмет, удаленный от них на 100 м, то их ружья не будут парал­лельны друг другу, как параллельны друг другу рельсы железных дорог. Ружья обоих стрелков образуют между собой угол, кото­рый будет тем меньше, чем дальше от стрелков находится цель. Зная расстояние между наблюдателями и угол между направлениями, под которым они видят цель, легко можно высчитать расстояние до нее. Это делается при помощи тригонометрии. Ученые тоже «целятся» на звезды, но не из ружей, а при помощи телескопов. Угол между направлениями двух телескопов на звезду определяют по специальным приборам с точно­стью до 1/100 доли секунды дуги. Можно вычислить расстояние до мишени, если известны рас­стояние между стрелками и угол, под которым они видят ми­шень. Подобным же способом астрономы определяют расстоя­ния до близких небесных светил. Небесные светила находятся очень далеко от Земли. Чтобы заметить различие в направле­ниях, по которым видно светило, ученые долж­ны находиться на расстоянии многих тысяч километров друг от друга, иначе угол между направлениями будет так мал, что его невоз­можно измерить. Например, делают так: один астроном наблюдает светило на севере Европы, а другой  на юге.Впервые, зная расстояние от Земли до Солнца, с помощью тригонометрии было вычислено в 1838 году Фридрихом Бесселем расстояние до ближайшей к нам звезды созвездия Лебедь.	Практическая работа в группах Зная теорему синусов, решают задачу (в тетради). Вычислить расстояние от стрелков до мишени, если они находятся на расстоянии 200 м друг от друга, а их ружья винтовки направлены под одинаковым углом 300 и 600. (презентация)
4.3                Тригонометрия и математике (5 мин)	1. Слово учителя В VIII в. усилиями математиков Ближнего и Среднего востока тригонометрия выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической дисциплиной. Математики нашего загадочного  государства в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды.	Эксперимент в группах Зная определения тригонометрических функций построить угол. Построить угол котангенс которого равен 3/4 Построить   угол, тангенс   которого равен 4/5 Построить угол, синус которого равен 3/5
4.4 Тригонометрия и физика (5 мин)	Если до 17-го века развитие учения о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то, начиная с 17-го века, тригонометрические функции начали применять к решению задач механики, оптики, электричества, для описания колебательных процессов, распространения волн. Везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями, нашли применение тригонометрические функции. Функции, выражающие законы периодических процессов, обладают особым только им присущим свойством: они повторяют свои значения через один и тот же промежуток изменения аргумента. Изменения всякой функции наиболее наглядно передаются на её графике. Еще в трактате Оптика Птолемей экспериментально исследовал преломление света на границе воздух-вода и воздух-стекло и предложил свой закон преломления (приближенно выполняющийся лишь для малых углов). Указал на влияние рефракции на астрономические наблюдения. Впервые верно объяснил кажущееся увеличение Солнца и Луны на горизонте как психологический эффект.	Индивидуальная работа по учебнику физики (найти периодические процессы и их формулы) Практическая работа в группах Найти длину склонившегося под углом 600 дерева, отражающего в воде, если оно стоит на краю берега, а расстояние между поверхностью воды и верхушкой дерева 2 м.
4.5.      Тригонометрия  и архитектура 4.6              Тригонометрия  и криминалистика 4.7              Тригонометрия и геодезия 4.8              Тригонометрия и статистика ( 2 мин)		Презентация
4.9                Тригонометрия и  музыка (2 мин)	Теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты. Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание. График показывает, как изменяется воздушное давление на барабанную перепонку слушателя: вверх и вниз по дуге, периодически. Воздух давит то сильнее, то слабее. Сила воздействия совсем невелика и колебания происходят очень быстро: сотни и тысячи толчков каждую секунду. Такие периодические колебания мы воспринимаем как звук. Сложение двух различных гармоник дает колебание более сложной формы. Сумма трех гармоник – еще сложнее, а естественные, природные звуки и звуки музыкальных инструментов складываются из большого количества гармоник Каждая гармоника характеризуется тремя параметрами: амплитудой, частотой и фазой. Частота колебаний показывает, сколько толчков давления воздуха происходит за одну секунду. Большие частоты воспринимаются как "высокие", "тонкие" звуки. Выше 10 КГц – писк, свист. Маленькие частоты воспринимаются как "низкие", "басовые" звуки, рокот. Амплитуда – это размах колебаний. Чем размах больше, тем сильнее воздействие на барабанную перепонку, и тем громче звук, который мы слышим Частота колебаний показывает, сколько толчков давления воздуха происходит за одну секунду. Большие частоты воспринимаются как "высокие", "тонкие" звуки. Выше 10 КГц - писк, свист. Маленькие частоты воспринимаются как "низкие", "басовые" звуки, рокот. Амплитуда - это размах колебаний. Чем размах больше, тем сильнее воздействие на барабанную  перепонку, и тем громче звук, который мы слышим. Фаза - это смещение колебаний во времени. Фаза может измеряться в градусах или радианах. В       зависимости от фазы смещается нулевой отсчет на графике. Для задания гармоники достаточно       указать фазу от -180 до +180 градусов, поскольку при больших значениях колебание повторяется. Два синусоидальных сигнала с одинаковыми амплитудой и частотой, но разными фазами складываются алгебраически	Презентация Фронтальная работа
4.10 Тригонометрия в медицине (2 мин)	Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно) – распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду).	Фронтальная работа Синусоида – это …
4.11 Тригонометрия в строительстве  (4 мин)	Самостоятельная работа Задача Угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30 градусам. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. На эскалаторе станции «Цветной бульвар»  15 ламп, а на станции «Пражская»  2 лампы. Рассчитайте, какова глубина заложения этих станций, если расстояния между лампами, от входа эскалатора до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м. Ответ: 48 и 9 м.	Индивидуальная работа в тетради (можно решить задачу через синус 300 или вспомнить теорему о 300 в прямоугольном треугольнике) Самопроверка выполненной работы
4.12 Тригонометрия и навигация (2 мин)	Презентация	Фронтальная работа
4.13 Тригонометрия в географии (3 мин)	Слово учителя Древнегреческий философ Гиппарх определил географические координаты ряда пунктов. Он написал сочинение «Против Эратосфена», где резко и отчасти несправедливо критикует последнего за использование ненадёжных источников (свидетельств моряков, купцов) при определении местоположения населённых пунктов, считая, что для определения широт и долгот можно использовать только точные астрономические данные. Географические координаты состоят из широты и долготы, которые представляют собой угловые величины, с помощью которых можно определить положение точки в любой части земного шара. Географическая долгота - угол, отсчитываемый от нулевого меридиана, от 0° до 180°. Если счет ведется на запад от Гринвича, то это будет западной долготой, если на восток, то восточной. Долгота показывает, насколько точка находиться западнее или восточнее от нулевого меридиана. Географическая широта, показывает насколько точка находится севернее или южнее от экватора, и составляет угол от 0° до 90°,отсчитываемый от плоскости экватора до одного из полюсов - северного или южного. Отсюда следует, что широта также бывает северной и южной. Определение местонахождения по солнцу Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии. Подумайте, какое из этих направлений в последние годы получило столь бурное развитие, что его результат уже применяется в современных коммуникаторах. … Современное применение навигации – это система спутниковой навигации, которая позволяет определить местоположение и скорость объекта по сигналу его приемника. Глобальная Навигационная Система (GPS). Для определения широты и долготы приемника необходимо, как минимум, принимать сигналы от трех спутников. Прием сигнала от четвертого спутника позволяет определить и высоту объекта над поверхностью	Наше загадочное государство имеет следующие координаты. Долгота от 700 до 1000 к востоку от Гринвича. Индивидуальная работа с географической картой Ответ ИНДИЯ
5.                    Домашнее задание (3 мин)	Именно Индию называли изначально «Тригонометрическим исследованием». Говорят, что в Индии очень вкусно готовят и во многих странах индийская кухня занимает 1 место по востребованности. Поэтому я хочу познакомить вас с некоторыми рецептами индийской кухни. Попытаться что-то приготовить и будет вашим домашним заданием.
6.                    Рефлексия	Как вы думаете, смогли мы прочитать несколько страниц из Великой книги природы? Узнав о прикладном значении тригонометрии, стала ли вам более понятна ее роль в различных сферах деятельности человека, понятен ли вам был изложенный материал? Тогда вспомните и перечислите сферы применения тригонометрии, с которыми вы познакомились сегодня или знали ранее. Я надеюсь, что каждый из вас нашел в сегодняшнем уроке что-то новое для себя, интересное. Быть может, это новое подскажет вам путь в выборе будущей профессии, но, кем бы вы ни стали, ваша математическая образованность поможет стать профессионалом своего дела и интеллектуально развитым человеком.	Фронтальная беседа Мнение учащихся Самооценка работы на уроке
7.     Итог урока (2 мин)	Выставление оценок в журнал