Разработка урока по геометрии 10 класс

Урок 9

Тема: «Теоремы Чевы и Менелая».

Цель деятельности учителя	Создать условия для  того, чтобы учащиеся могли доказать и научиться применять теоремы Чевы и Менелая
Основное содержание темы, термины и понятия	Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.
Планируемый результат
Предметные умения		Универсальные учебные действия
Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач		Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации. Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры. Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы	1.      1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: выявить затруднения учащихся	(Ф). I. Проверить решение домашней работы. К доске приглашается  учащийся.
II этап. Лекция
Цель: систематизировать теоретические знания при доказательстве теорем Чевы и Менелая	(Ф) Чева Джованни  (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.   Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном. Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство    Доказательство.  Проведём  CD || AB.  Рассмотрим треугольник A1BC1 и треугольник A1CD. Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные) Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1  и секущей C1D) Следовательно, треугольник A1BC1   подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны Рассмотрим треугольник B1AC1 и треугольник B1CD Угол DB1C = углу  AB1C1  (Вертикальные) Угол D   = углу  C1  (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D) Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно, У нас получилось два равенства    и Перемножим почленно эти равенства: . Получим Воспользуемся свойством дробей: (Например ) Имеем   . Теорема доказана.        Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки A1, B1, C1  лежат на продолжениях сторон треугольника ABC. Прежде чем  рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые  коллинеарные векторы. Если, то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:     Докажем обратную теорему.     Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.     Допустим, что выполнено равенство  , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что . Прибавим к обеим частям равенства 1.  , получим:  т.е. , откуда, т.е.C1  и C2 совпадут. Теорема Чевы Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и  только тогда, когда Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б). Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим: Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим: Перемножим почленно эти равенства  Что и требовалось доказать. Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми. Для решения задач чаще применяется обратная теорема. Обратная теорема Чевы.   Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1.  Если выполняются равенство    , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны. Доказательство.   Пусть AA1BB1=O. Проведём прямую CO,  С2=COAB. По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда =k,   =k. Вычтем второе равенство из первого. По свойству векторов получим  =k= = - k.  Т.к. k -1   (иначе бы, но точки A и B не совпадают), следовательно, , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.   Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.
III этап. Решение задач.
Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.	(И/Ф) Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая. Задача №1: Дано:  ABC; CMBN = K, MAB, N AC Найти:     Рассмотрим  ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. ,    , тогда , то , следовательно,                                                                                   Ответ: =
IV этап. Итог урока. Рефлексия
(Ф/И). - Какие теоремы доказали на уроке? - Что вызвало наибольшее затруднение?			(И). Домашнее задание: выучить теоремы п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить № 851,852