Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по геометрии 10 класс

Разработка урока по геометрии 10 класс



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок 9

Тема: «Теоремы Чевы и Менелая».

Создать условия для того, чтобы учащиеся могли доказать и научиться применять теоремы Чевы и Менелая

Основное содержание темы, термины и понятия

Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.

Планируемый результат

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач

Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.

Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)

Образовательные ресурсы

  1. 1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).

I этап. Актуализация опорных знаний.

Цель: выявить затруднения учащихся

(Ф).

I. Проверить решение домашней работы. К доске приглашается учащийся.




II этап. Лекция

Цель: систематизировать теоретические знания при доказательстве теорем Чевы и Менелая

(Ф)

Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.

Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство hello_html_m4fae4c2b.gif

hello_html_323d839f.png

 Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A1BC1 и

треугольник A1CD.

Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)

Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)

Следовательно, треугольник A1BC1 подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны hello_html_7e024d5e.gif

Рассмотрим треугольник B1AC1 и треугольник B1CD

Угол DB1C = углу AB1C1 (Вертикальные)

Угол D = углу C1 (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)

Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно, hello_html_56acd12b.gif

У нас получилось два равенства hello_html_m4f41ae3e.gif и hello_html_m49e47ff9.gif

Перемножим почленно эти равенства: hello_html_3e03fcfa.gif. Получим

hello_html_m13cc0f34.gif

Воспользуемся свойством дробей: hello_html_m5eeb2093.gif

(Например hello_html_m5692fa1a.gif)

Имеем hello_html_m4fae4c2b.gif. Теорема доказана.hello_html_69d4db68.png




 


 






Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки A1, B1, C1 лежат на продолжениях сторон треугольника ABC.


Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые коллинеарные векторы. Еслиhello_html_m5e91db90.gif, то будем писать: hello_html_125c8860.gif. Значит, число k равно отношению длин векторов hello_html_59fa6dbf.gifиhello_html_m1b241d7f.gif, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

hello_html_2401b53e.gif

Докажем обратную теорему.

Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство hello_html_4cec4b09.gif, то эти точки лежат на одной прямой.

Допустим, что выполнено равенство hello_html_4cec4b09.gif, и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, hello_html_2d233402.gif. Сравнивая это соотношение с данным, получим, что hello_html_m680a9678.gif.

Прибавим к обеим частям равенства 1. hello_html_36a0c1dd.gif, получим: hello_html_7a5e2191.gif т.е. hello_html_51d6bc8e.gif, откуда, т.е.hello_html_m6837d21e.gifC1 и C2 совпадут.

Теорема Чевы

Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда иhello_html_752aa5e4.png

только тогда, когда hello_html_m100540ae.gifhello_html_m67cf8215.png







Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне hello_html_938bd05.gifABC (рисунок б).

Применим теорему Менелая к hello_html_938bd05.gifBCC1 и секущей AA1, получим: hello_html_61ab7cd7.gif

Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим: hello_html_30d83134.gif

Перемножим почленно эти равенства

hello_html_7f749522.gifhello_html_m2cb7c6e9.gif

hello_html_7f749522.gifhello_html_m2cb7c6e9.gif

hello_html_4e4a18f8.gifЧто и требовалось доказать.

Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.


Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство hello_html_4e4a18f8.gif, то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство. Пусть AA1hello_html_6a907495.gifBB1=O. Проведём прямую CO, С2=COhello_html_6a907495.gifAB.

По теореме Чевы hello_html_m67978798.gif. Учитывая условие имеем: hello_html_69a9f6de.gif, откуда hello_html_6e7e7534.gif=khello_html_524093b0.gif, hello_html_m6b94a48.gif=khello_html_m58f226be.gif. Вычтем второе равенство из первогоhello_html_m5a4e6be3.gif. По свойству векторов получим hello_html_m349218a0.gif=khello_html_47712ff.gif=

= - khello_html_m349218a0.gif.

Т.к. khello_html_m6475e144.gif -1 (иначе быhello_html_78d8c157.gif, но точки A и B не совпадают), следовательно, hello_html_4c3cde1f.gif, т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.

Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.


III этап. Решение задач.

Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.

(И/Ф)

Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.

Задача №1:













Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: hello_html_m5efa19c2.gif. т.к. hello_html_m34914295.gif, hello_html_387604b5.gif , тогда hello_html_m1dc089a2.gif, то hello_html_5e5f09f2.gifhello_html_m53d4ecad.gif, следовательно, hello_html_594697aa.gif


Ответ: =hello_html_m5e0ded9b.gifhello_html_4ca12fb1.png

IV этап. Итог урока. Рефлексия

(Ф/И).

- Какие теоремы доказали на уроке?

- Что вызвало наибольшее затруднение?

(И). Домашнее задание: выучить теоремы п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить № 851,852









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 29.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров47
Номер материала ДБ-222246
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх