Разработка урока по теме: Производная в математике и физике в 11 классе (с использованием метапредметных образовательных технологий)

 

Разработка метапредметного урока

по математике и физике

по теме «Производная в математике и физике» в 11 классе

( с использованием метапредметных образовательных технологий )

 

 

 

 

 

 

                                          Учитель математики: Богданов Алим Ибрагимович

                       Учитель физики: Вакулова Л.А.

                                  ГБОУ лицей № 445 Санкт-Петербурга

Основная цель урока – сформировать у учащихся умение решать простейшие практические задачи с использованием методов дифференциального исчисления.

В целях закрепления пройденного материала по математике и физике в 11 классе и углубления пройденного в 9 классе по физике (раздел механики) на уроке целесообразно рассмотреть следующие вопросы:

1. Определение производной в математике.

2. Физический смысл производной.

3. Примеры физических величин, являющихся производной по времени от других физических величин.

4. Таблица производных.

5. Вывод уравнения колебаний и его решение.

6. Использование производной для решения задач по механике:

а) определение скорости и ускорения;

б) нахождение максимальной величины.

7. Использование производной при решении задач на механические или электромагнитные колебания.

8. Решение задач на нахождение первообразной.

Ход  урока

Вступительное слово учителя физики:

«Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение и т.д.»

Учитель математики:

«Рассмотрим произвольную функцию у = f ( x ).

Пусть Δх = х – х₀ – приращение аргумента;

            Δf = f ( x ) – f ( x₀ ) = f ( x₀+Δx ) – f ( x₀ )  - приращение функции.

Тогда  - скорость изменения функции.

А теперь дайте определение производной».

Первый учащийся дает определение производной ( и остается у доски).

Учитель физики: «Понятие производной так и осталось бы для многих учащихся математически абстрактным символом, если бы не уроки физики.

Я прошу вас назвать физические величины, являющиеся производной по времени от других физических величин, и выписать их обозначения в столбик».

( Рассматриваются следующие физические величины: скорость, ускорение, ЭДС индукции, сила тока).

Первый учащийся выполняет задание.

Затем учащимся предлагается дать определение этих величин и записать их через производную:

                                       v = ;     a =  = ;    e_i = - ;   i = .

Второй учащийся по карточке ( приложение 1 ) выписывает на доске значения табличных производных.

Учитель физики вызывает третьего ученика выводить на доске уравнение колебаний и дать его решение на основе знаний элементарных производных ( приложение 2 ).

Четвертый учащийся решает задачу на определение скорости ( приложение 3 ).

Пятый учащийся решает задачу на определение ускорения ( приложение 4 ).

Шестой учащийся решает задачу на нахождение max  и  min  функции ( приложение 5 ).

Седьмой учащийся решает задачу по физике на определения max  дальности полета струи жидкости ( приложение 6 ).

Учитель физики: «Производная используется не только при решении задач по механике, но, как мы убедились в начале урока, и при изучении электромагнитных колебаний. Решим задачу на определение параметров колебательной системы».

Восьмой учащийся решает задачу ( приложение 7 ).

Учитель математики: «Функция – обратная производной – это первообразная. Применяем первообразную в математике и при решении задач в физике».

Девятый ученик решает задачу ( приложение 8 ).

Используемая литература: открытый банк заданий ЕГЭ.

Приложение 1.

Запишите значения производных:

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

 =

Приложение 2.

I. Вывод уравнения, описывающего процессы в колебательном контуре.

Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени:

,  где  L – индуктивность, С – электроемкость.

Эта энергия не меняется, если сопротивление контура равно нулю.

Следовательно:

                               ;    = 0; 

                              +  = 0;   т.е.    =  –   ;

                                                 .

Так как    и   ,  то    ;  .

Отсюда,  .                                                                                                       ( 1 )         

II. Решение уравнения, описывающего свободные колебания.

Нельзя считать, что   или  , так как в этом случае вместо  

  получилось бы равенство: .

Но небольшое усложнение формы решения приводит нас к цели.

Чтобы в выражении второй производной был множитель , запишем решение уравнения

( 1 ) в виде: .                                                                              ( 2 )

Тогда  ,

а .

Следовательно, функция ( 2 ) есть решение исходного уравнения ( 1 ).

Приложение 3.

Задача.

Материальная точка движется прямолинейно по закону:

.

а) Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t.

б) Найдите скорость в момент времени t = 2 сек. ( перемещение измеряется в метрах ).

в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Решение:

а) .

б) t = 2 сек., .

в) ;

        ;

       

        .

Ответ: 5 секунд.

Приложение 4.

Задача.

Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону , при .

Решение:

.

Найдем ускорение движения:

;

;

;

.

Ответ: .

Приложение 5.

Задача.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции по рисунку:

 

                                   +                                                                      +

х

                                                                      – 1

 

Функция возрастает на  и .

Ответ: точек max и min нет.

Приложение 6.

Задача.

В цилиндрическом баке высотой 5 м находится жидкость. На какой высоте нужно сделать отверстие в стенке бака, чтобы дальность полета струи была максимальной ?

Дано:                                                            

Н = 5 м

 

L = max                                 

                                               H                                              h

_________

    h = ?                                                                                               L

                                                                                                            

Решение:

1) Применим формулу Торричелли для скорости истечения жидкости из отверстия:

.

2) Пусть  t – время движения элемента воды.

3) ;   .

4) .

5) Дальность полета струи максимальна, если максимальна функция ,

то есть .

6) Найдем производную: .

7) Найдем критические точки:

                   

 

                                                                                                                          h

                    y                                            2,5 

         Ответ: дальность полета струи будет максимальной, если сделать отверстие в стенке бака на высоте h = 2,5 м. 

Приложение 7.

Задача.

Проволочная рамка площадью S равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В вокруг оси, перпендикулярно направлению поля. Период вращения равен Т. Выразите магнитный поток Ф, проходящий через рамку, и ЭДС индукции в рамке как функцию времени.

   Дано:                                                                                         Решение:

 Т , S, B                             1) .

_________     

Найти:                              2) Угол  меняется во времени: .

Ф ( t ) = ?

 е ( t ) = ?                          3) Тогда: .

                                          4) .

Приложение 8.

Задача.

Материальная точка массой т движется вдоль оси Ох под действием силы, направленной вдоль оси Ох. В момент времени t сила равна F ( t ). Найдите формулу зависимости x ( t ) от времени t, если известно, что при t = t₀ скорость точки равна v₀, а координата равна х₀.

( F ( t )  – в ньютонах, t  – в секундах, v  – в м/сек, m  – в кг )

               Дано:                                                                                                  Решение:

             ,                            1)  По второму закону Ньютона:

              ,                                                                                                 

              ,                                               , где  –  ускорение.  

              ,                                                                    

              .                                                Отсюда:  .    

        ____________________                                                                                          

             Найти:                                               2) .     

             

                                                                             ; 

                                                                             ;    ;

                                                                             . 

                                                                        3) ;

                                                                            ;

                                                                            ;      ; 

                                                                            .

                                                                Ответ: