Разработка урока по теме "Разложение многочлена на множители"

Тема:  Разложение многочлена на множители.

«Мало иметь хороший ум,

 главное – хорошо его применять».

Цель урока:  уметь применять на практике различные способы разложения многочлена на множители;                    

 развивать творческие способности учащихся при комбинации приемов, сочетании их друг с другом, выборе рационального зерна – оптимального в том или ином случае.                  

Задачи урока:

Образовательная:  повторить и  закрепить изученный  материал; отработать навыки разложения многочлена  на множители.

 Развивающая: развивать  у  учащихся выделять  главное в  изучаемом предмете; развивать навык  самостоятельной  работы; способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию; развитию мышления и речи; внимания и памяти;

Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к предмету; воспитание чувства ответственности; активности.

Тип урока: урок закрепления и обобщения знаний.

Методы обучения: Частично-поисковый, словесный,наглядный.

Оборудование: интерактивная доска,  разноуровневые задания.

Ход урока:

I.Организационный момент.

Сообщение темы, цели урока.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

Устная работа.

1)x² + x; 
2) –2aba; 
3) 10x – 8xz – 3xz; 
4) –aвс; 
5) 25ab + ab² + a²b; 
6) 0, 125; 
7) zzx 6; 
8) 25a⁸x4b;

9) (–f²)^2;
10) x⁶ – 10; 
11) a²c – 9aca + 6; 
12) а

1. Определение одночлена: Одночлен – выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней, а также числа, переменные и их степени.

2.Назвать пункты, в которых записаны одночлены. Ответ: 2), 4), 6), 7), 8), 9), 12)

3.Определение стандартного вида одночлена:Вид одночлена,где  на первом месте стоит  числовой  множитель,а за ним-переменные и их  степени,называют стандартным видом одночлена.

4.Назвать пункты, в которых одночлены записаны в стандартном виде. Ответ: 4), 6), 12)

5.Назвать коэффициент одночлена. Ответ: 2) –2; 4) –1; 6) 0, 125; 7) 6; 8) 100; 9) 1; 12)1

6.Определение многочлена.Сумма одночленов называется  многочленом.

7.назвать пункты , в которых записан многочлен.1),3)5)10)11)

8. Определение подобных слагаемых: Подобные слагаемые (члены) – слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

9.Назвать подобные слагаемые в тех многочленах, в которых они есть. Ответ: 3) –8xz и –3 xz; 11) a²c и – 9aca;

   III.Графический тест теоретического материала.

Верно ли утверждение, определение, свойство?

1)Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. ––

2)Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. ––

3)Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называется степенью одночлена. 

4)Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами члены многочлена называются подобными членами. 

5)Многочлен, в котором отсутствуют подобные члены и каждый из них одночлен стандартного вида называется многочленом стандартного вида. 

6)В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. ––

7)Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки. 

8)Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные. 

Ответ:- -^ ^ ^ - ^ ^

       IV. Работа в группах. Разложите на множители (ответы к заданиям закодированы).

1. ax + 2a + 3x + 6
2. 5z (x + y) – x – y
3. x (a + y) + ay + y²
4. 10ay – 5cy + 2ax – cx
5. x² – 2x – xy + 2y
6. 6cy + 15cx + 4 ay + 10ax

Ответы:

       У

       С

       Е

       М

       Б

       И

      (x – 2)(x – y)

      (3c + 2a)(2y +5x)

      (x + y)(5z – 1)

      (x + 2)(a + 3)

      (a + y)(x + y)

      (2a – c)(5y + x)

Лист Мебиуса – один из объектов области математики под названием топология (по-другому “геометрия положения”). Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

        Давайте вспомним, какие существуют способы  разложения многочлена  на  множители?

         Способы разложения многочлена  на  множители:

         Вынесение общего множителя за  скобки

         Способ группировки

         С   помощью формул  сокращённого  умножения

         Способ вынесения общего множителя  за  скобки:

         найти общий множитель;

         вынести его за скобки

         V.Разложите на множители:

 14ав-63в²

18а⁴х²-30а³х³+54а²х⁴

 х(у-4)+7(у-4)

с(5-d)+2(d-5)

Ответы:

14ав-63в²= 7в(2а-9в)

18а⁴х²-30а³х³+54а²х⁴=

               6а²х²(3а²-5ах+9х²)

 х(у-4)+7(у-4)=(у-4)(х+7)

 с(5-d)+2(d-5)=(5-d)(с-2)

       Способ группировки:

объединить члены  многочлена в такие  группы, которые имеют общий множитель в  виде одночлена  или  многочлена;

вынести этот множитель за скобки.

VI.Разложите на множители:

6ху+ав-2вх-3ау

х²-3ху+xz+2x-6y+2z

3(х-2у)²-3х+6у  

              16ав²-10с³+32ас²-5в²с

 5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵

       Ответы:

6ху+ав-2вх-3ау=(3у-в)(2х-а)

х²-3ху+xz+2x-6y+2z=(х+2)(х-3у+z)

3(х-2у)²-3х+6у=3(х-2у)(х-2у-1)  

 16ав²-10с³+32ас²-5в²с=(в²+2с²)(16а-5с)

 5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵=х⁵(5х⁵-1)(х¹⁰-1)

 VII.Разложите  на  множители:

 n³  +3n²  +2n

 а²-13а+40

 х²+10х+24

 (а²+в²)²-а²(а²+в²)

Ответы:

^{n³  +3n²  +2n=n(n+1)(n+2)}

 ^{а²-13а+40 =(а-8)(а-5)}

 ^{х²+10х+24 =(х+4)(х+6)}

^{(а²+в²)²-а²(а²+в²)=(а²+в²)(а²+в²-а²)=в²(а²+в²)}

   VIII.Решите  уравнения:
 х²-7х=0                 Ответ:0;7

               5х²+15х=0             Ответ:0;-3

              (4х-1)(3х+6)=0      Ответ:1/4;-2

 у² + 8у -4у -32 =0      Ответ:-8;4    
 х² – 2х +10 -5х =0      Ответ:2;5

 (х³-8х²)+(3х-24)=0     Ответ:8

       IX.Найди ошибку

       3х(х-3)=3х-9х

       2х+3ху=х(2+у)

      (8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)

               Ответы:

               3х(х-3)=3х²-9х

2х+3ху=х(2+3у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху

       х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)

 2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)

X.Докажите, что при любом натуральном р значение выражения

р(р+5) – (р-3)(р+2) кратно6

(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5) кратно 12

р(р+5) – (р-3)(р+2)=р²+5р-р²+3р-2р+6=6р+6=6(р+1) кратно 6

(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5)=р²-р+р-1-р²+7р+5р-35=12р-36=12(р-3) кратно 12

 XI.Рефлексия.

       XII.  Домашнее задание:

       №138(1,3),139,144(2,4),147(1,3)

       Сб.Ершовой стр.50 № 1,2

Разложите многочлен на множители

ax² + cx² – cx – ax + a + c

3 (x – 2y)² – 3x + 6y

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Математический диктант.

Вынести за скобки общий множитель:

1) 6m+9n

2) –ax +ay

3) a² –a b

4) 8m²n – 4mn³

5) (a +b) –x (a +b)

2. Когда мы выносим общий множитель за скобки, мы представляем многочлен в виде произведения множителей. Для чего это может быть нужно? (Чтобы решить уравнение или сократить дробь).

Теперь мы можем приступить к решению проблем, которые стоят перед нашей Академией. 
4 слайд     В адрес Академии пришло письмо от астрономов, исследующих поверхность   Марса.

 Не так давно на этой самой поверхности был обнаружен участок с таинственными

символами, которые астрономы никак не могут разгадать. Давайте поможем им.

Решите уравнение:   5х² + 5х = 0     у доски

 5 x (x+1) =0 , x=0 или x=-1.

3. Мотивирование необходимости разложения многочлена на множители.

Решите уравнение: x² +3x +6 +2x =0

Создается проблемная ситуация: задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.

- Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)

- Значит, этот способ разложения на множители не подходит.

Постановка учебной задачи: научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.

 Операционно-исполнительная часть

1) Эвристическая беседа.

Рассмотрим многочлен 5x +5y +m x +my.   (запись на доске)

- Есть ли общий множитель у всех слагаемых?

Применим “метод пристального взгляда”. Что вы увидели?

(Есть общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых.)

- Давайте объединим их в группы. - Каким законом сложения воспользуемся? (Сочетательным)

( 5x +5y ) +(m x +my)

- Что можно сделать с общим множителем в каждой группе? (Вынести его за скобки) .

- Каким законом умножения воспользуемся? (Распределительным)

5 (x +y) +m (x +y)

- Сколько сейчас получилось слагаемых? (Два)

- Что интересного заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (х+у) )

- Вынесем его за скобки.

(x +y) (5 +m)

- Что мы получили? (Произведение)

- Значит, многочлен представили в виде произведения. Каким способом? (Объединяя слагаемые в группы)

- Поэтому этот способ называется способом группировки.

- Нельзя ли этот же многочлен разложить на множители, группируя слагаемые иначе? Какие законы сложения и умножения будем использовать?

Фронтальная работа

(5x +mx ) + (5y +my) = x(5 +m) + y (5 +m) =(x +y) (5 +m)

- Какой получился результат? (Такой же, как и в первом случае)

5 cлайд              алгоритм разложения выглядит так::

а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Этот алгоритм поможет учащимся в дальнейшей работе на этом и последующих уроках.

Замечательно! Я думаю, астрономы будут очень довольны. Возможно, мы скоро получим

ответ на вопрос: «Есть ли жизнь на Марсе».

2) Отработка правила.

Работая с алгоритмом, учащиеся действуют поэтапно, отдавая себе отчет, что надо сделать и почему. Происходит осознание нового правила, его осмысление и запоминание.

6 слайд    А вот и другое письмо.

Археологи, исследуя гробницы Египта, обнаружили в одной из пирамид дверь, для

открытия которой нужно разгадать код. Помогите археологам.   Вот этот код:

а) Фронтальная работа с пооперационным контролем.  (1 ученик у доски)

ах + ау - х – у = (ах + ау) + (- х – у) = а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1)

ав - 8а – вх + 8х = (ав – вх) + (- 8а + 8х) = в(а – х) + 8(- а + х) = (а – х)(в – 8) ( -1 выносим за скобку)

x ² m - x²n + y² m - y²n = (x²m – x²n) + (y²m – y² n) = x²(m – n) + y²(m – n) = (m – n)(x² + y²)

Потрясающе! Теперь наши археологи наконец-то откроют эту загадочную дверь и

возможно, найдут множество сокровищ.

7 слайд   А мы переходим к следующему письму. Оно к нам пришло из Германии.

Просматривая старые архивы, работники Берлинского музея обнаружили обрывки

рукописи, которые вам предстоит восстановить.

б) Дифференцированные задания по уровням. (работа в парах)

Ситуация выбора в процессе выполнения самостоятельной работы. Учащиеся могут выбрать один из предложенных вариантов, который кажется им соответствующим их уровню знаний, то есть вырабатывается навык самооценки.

А. Задания нормативного уровня.

1) 7а - 7в + аn – b n = 7(a – b) + n(a – b) = (a – b)(7 + n)

2) x y + 2y + 2x + 4 = y(x + 2) + 2(x + 2) = (y + 2)(x + 2)

3) y²a - y²b + x² a - x²b = y²(a – b) + x²(a – b) = (a – b)(y² + x²)

Б. Задания компетентного уровня

1) x y + 2y - 2x – 4 = y(x + 2) – 2(x + 2) = (x + 2)(y – 2)

2) 2сх – су – 6х + 3у = c(2x – y) + 3(- 2x + y) = ( 2x – y)(c – 3)

3) х² + x y + xy² + y³ = x(x + y) + y²(x + y) = (x + y)(x + y²)

С. Задания творческого уровня

1) x⁴ + x³y - xy³ - y⁴ = x³(x + y) – y³(x + y) = (x + y)(x³ – y³)

2) ху² – ву² – ах + ав + у² – а =y²(x – b + 1) + a(- x + b – 1) = (y² – a)(x – b + 1)

3) х² – 3х + 6 – 2x= x(x - 3) + 2(3 – x) = (x – 2)(x – 3).

Цели урока:

Образовательная – систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: «Разложение многочлена на множители» для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.

Развивающая – способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы, применять исторический материал. Умение работать с бланком ответов при решении тестов.

Воспитательная – побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, работе в команде, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, формировать умение рефлексировать.

Разложите на множители, используя различные способы.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Разложите на множители, используя различные способы.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

n³  +3n²  +2n

x²-6x+5=0

2. х(х-2) + 7(2-х)=0

3. (3х – 2)(х+4) – 3(х+5)(х-1) =0

4. у² + 8у -4у -32 =0   Решите уравнение, разложив на множители его левую часть

х² – 2х +10 -5х =0

3 вариант

1. Докажите, что при любом натуральном р значение выражения

р(р+5) – (р-3)(р+2) кратно6

(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5) кратно 12 

2. Найдите корень уравнения

х² + х(6-2х) = (х-1)(2-х) -2

Разложите на множители:

4х-4у+(х-у)²

4х²-зх=0

2х²+5х=0

(4х-1)(3х+6)=0

х(у-4)-7(4-у)

с(5-d)+2(d-5)

3(х-2у)²-3х+6у

Найди ошибку

3х(х-3)=3х-9х

2х+3ху=х(2+у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)

3х(х-3)=3х²-9х

2х+3ху=х(2+3у)

(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху

х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)

2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)

Х⁵-12+6х⁴-2х

-а⁵-а⁴+а³+а²

ах²-2а²х-х³+2а³

16ав²-10с³+32ас²-5в²с

5х²⁰-х¹⁵-5х¹⁰+х⁵

х²-3ху+хz+2x-6y+2z

а²-13а+40

х²+10х+2

Задания из ЕНТ:

(а²+в²)²-а²(а²+в²)

Способы разложения многочлена  на  множители:

Вынесение общего множителя за  скобки

Способ группировки

С   помощью формул  сокращённого  умножения