Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока "Уравнения с параметрами". 10 класс

Разработка урока "Уравнения с параметрами". 10 класс


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Общеобразовательная школа

І-ІІІ ступеней №2 отдела образования администрации города Кировское,

учитель математики

Бондаренко В.Л.



10 класс. Алгебра


Тема урока: Решение уравнений с параметрами в программе Advanced Grapher.

Цель урока:

Обучающая - организовать работу учащихся по закреплению знаний, умений и навыков решения уравнений с параметрами. Показать на примере применение программы Advanced Grapher с использованием метода самостоятельной практической деятельности.

Развивающая - обеспечить получение новых знаний и развитие в учащихся навыков, способствующих применению полученных знаний и умений для решения более сложных уравнений с параметрами.

Воспитательная - формирование информационной культуры, умения и навыков самостоятельного овладения знаниями.

Оборудование:

  1. компьютеры с установленной операционной системой Advanced Grapher компьютер учителя -1 шт, компьютер ученика -12 шт;

  2. проектор, экран;

  3. учебник Нелин Е.П., Алгебра и начало анализа, профильный уровень, 10 класс. – Харьков: Издательство «Гимназия», 2010.

Тип урока: урок усовершенствования знаний и умений учащихся по теме «Решение уравнений с параметрами».



Ход урока

І.Организационный момент.

Сообщение темы, целей и задач урока.


ІІ.Объяснение учителя.


Определение:

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значения одного или нескольких параметров, обозначенных буквами (а, в , с и т.д.).


Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.


Задачи, связанные с решением уравнений с параметрами, часто встречаются на олимпиадах разных уровней, на различных конкурсах. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. 

Значительный вклад в изучение вопроса методики решения уравнений с параметрами сделали такие ученые как Горнштейн П.И., Полонский В.Б., М.С., Цыпкин А.Г., Пинский А.И., Новоселов С.И., Никонов Е.Ю., Ткачук В.В., Локоть В.В., Мордкович А.Г и др.

Универсального метода решения задач с параметрами не существует.

Часто пользуются аналитическим (с использованием формул, свойств функций) и графическими методами.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.


ІІІ. Решение упражнений.


Задание №1. Решить уравнение hello_html_3246b0e4.gif

Решение:

При решении данного уравнения необходимо рассмотреть случаи, когда hello_html_78b91201.gif(это происходит, когда а = 2, или а = -2) и случай, когда hello_html_m2a4e1a9a.gif.

Значит:

  1. Если а = 2, уравнение имеет вид 0 · х = 0, тогда х – любое число.

  2. Если а = - 2, уравнение имеет вид 0 · х = - 4, тогда уравнение не имеет решений.

  3. Если аhello_html_3750bfcb.gif2, аhello_html_3750bfcb.gif-2, тогда уравнение имеет вид hello_html_393dd508.gifhello_html_m1954a2f9.gif

hello_html_9e5e39c.gif

Ответ: если а = 2, то х – любое число; если а = - 2, то уравнение не имеет решений; если аhello_html_3750bfcb.gif2, аhello_html_3750bfcb.gif-2, то hello_html_9e5e39c.gif


Задание №2.

  1. Пользуясь собственным опытом, выполните решение предложенной ниже турнирной задачи.

Задача. «Количество решений». Найдите все значения параметра hello_html_m28696efa.gif, при которых уравнение hello_html_m2d96731a.gif имеет один корень.


Решение:

hello_html_m2d96731a.gif, ОДЗ: хhello_html_m289d78ff.gifR, аhello_html_m289d78ff.gifR.

Решим уравнение графическим способом. Для этого рассмотрим функции

у = |x + 3| - 1 и у = |2х - а|. Построим графики функций в одной системе координат.

Алгоритм построение графика у = |x + 3| - 1.


1 шаг: у = х + 3 – графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси ОУ на 3 единицы. Точки пересечения с ОХ (у = 0), х = - 3.


2 шаг: у = |x + 3| - часть прямой, которая расположена выше оси ОХ остается без изменения. Часть прямой, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично этой оси вверх.


3 шаг: у = |x + 3| - 1 - полученный график опускаем вниз на 1 единицу.

Результат:


hello_html_2a643689.png


Точки пересечения с ОХ (у = 0) hello_html_m17ff4910.gifhello_html_49502e04.gif Точки пересечения с ОУ (х = 0) у = 2.


Алгоритм построения графика у = |2х - а|.


1 шаг: у = 2х – графиком является прямая пропорциональность. График проходит через начало координат.


2 шаг: у = 2х – а. В зависимости от параметра а график сдвигается параллельным переносом вдоль оси ОУ вверх (если а<0) или вниз (если а>0).


3 шаг: у = |2х - а|. Часть графика, находящаяся выше оси ОХ остается без изменения, часть графика, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично оси ОХ вверх.


Пример:

hello_html_2315f4d2.png


При построении графиков в одной системе координат видно, что они будут иметь одну общую точку (одно решение уравнения) при hello_html_m17ff4910.gifhello_html_49502e04.gif Значит:

Если hello_html_m17ff4910.gifhello_html_552f51de.gif, то уравнение имеет одно решение.

Если хhello_html_m289d78ff.gif(hello_html_m40b98dd6.gif - уравнение имеет 2 решения.

Если хhello_html_m289d78ff.gif(-4;-2) – уравнение не имеет решений.


Графически это выглядит так:

hello_html_m478afcae.png

Найдем значение параметра а, при котором hello_html_m17ff4910.gifhello_html_49502e04.gif


Если х = -2, то у = 0, имеем |-4-а| = 0, а = -4.

Если х = -4, то у = 0, имеем |-8-а| = 0, а = -8.


Ответ: уравнение имеет одно решение, если а= -4 или а= -8.


ІV. Домашнее задания

Используя программу Advanced Grapher, найдите все значения параметра а, при котором уравнение hello_html_9409835.gif имеет больше двух решений.



Решение:

В программе Advanced Grapher строим график функции у = |х-1| + |х-3|.

Получим:


hello_html_m2470fa08.png


В этой же системе координат строим графики у = а, если а = 5; 2; -3. Это используем для того, чтобы показать, количество возможных решений:

-если а < 2, то уравнение не имеет решений;

-если а = 2, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

-если а > 2, то уравнение имеет два решения.

hello_html_18ed79f0.png


Ответ: а = 2.


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 04.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров162
Номер материала ДВ-304762
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх