Разработка урока "Уравнения с параметрами". 10 класс

Общеобразовательная школа

І-ІІІ ступеней №2 отдела образования администрации города Кировское,

учитель математики

Бондаренко В.Л.

10 класс. Алгебра

Тема урока: Решение уравнений с параметрами в программе Advanced Grapher.

Цель урока:

Обучающая - организовать работу учащихся по закреплению знаний, умений и навыков решения уравнений с параметрами. Показать на примере применение программы Advanced Grapher с использованием метода самостоятельной практической деятельности.

Развивающая - обеспечить получение новых знаний и развитие в учащихся навыков, способствующих применению полученных знаний и умений для решения более сложных уравнений с параметрами.

Воспитательная - формирование информационной культуры, умения и навыков самостоятельного овладения знаниями.

Оборудование:

1.      компьютеры с установленной операционной системой Advanced Grapher компьютер учителя -1 шт, компьютер ученика -12 шт;

2.      проектор, экран;

3.      учебник Нелин Е.П., Алгебра и начало анализа, профильный уровень, 10 класс. – Харьков: Издательство «Гимназия», 2010.

Тип урока: урок усовершенствования знаний и умений учащихся по теме «Решение уравнений с параметрами».

Ход урока

І.Организационный момент.

Сообщение темы, целей и задач урока.

ІІ.Объяснение учителя.

Определение:

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значения одного или нескольких параметров, обозначенных буквами (а, в , с и т.д.).

Решить уравнение с параметром означает:

1.      Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2.      Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Задачи, связанные с решением уравнений с параметрами, часто встречаются на олимпиадах разных уровней, на различных конкурсах. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. 

Значительный вклад в изучение вопроса методики решения уравнений с параметрами сделали такие ученые как Горнштейн П.И., Полонский В.Б., М.С., Цыпкин А.Г., Пинский А.И., Новоселов С.И., Никонов Е.Ю., Ткачук В.В., Локоть В.В., Мордкович А.Г и др.

Универсального метода решения задач с параметрами не существует.

Часто пользуются аналитическим (с использованием формул, свойств функций) и графическими методами.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

ІІІ. Решение упражнений.

Задание №1. Решить уравнение

Решение:

При решении данного уравнения необходимо рассмотреть случаи, когда (это происходит, когда а = 2, или а = -2) и случай, когда .

Значит:

1)     Если а = 2, уравнение имеет вид  0 · х = 0, тогда х – любое число.

2)     Если а = - 2, уравнение имеет вид  0 · х = - 4, тогда уравнение не имеет решений.

3)     Если а2, а-2, тогда уравнение имеет вид     

Ответ: если  а = 2, то х – любое число; если а = - 2, то уравнение не имеет решений; если а2, а-2, то

Задание №2.

1.   Пользуясь собственным опытом, выполните решение предложенной ниже турнирной задачи.

Задача. «Количество решений». Найдите все значения параметра , при которых уравнение  имеет один корень.

Решение:

,          ОДЗ: хR, аR.

Решим уравнение графическим способом. Для этого рассмотрим функции

у = |x + 3| - 1  и  у = |2х - а|.  Построим графики функций в одной системе координат.

 Алгоритм построение графика у = |x + 3| - 1.

1 шаг: у = х + 3 – графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси ОУ на 3 единицы. Точки пересечения с ОХ (у = 0), х = - 3.

2 шаг: у = |x + 3| - часть прямой, которая расположена выше оси ОХ остается без изменения. Часть прямой, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично этой оси вверх.

3 шаг: у = |x + 3| - 1  - полученный график опускаем вниз на 1 единицу.

Результат:

Точки пересечения с ОХ (у = 0)     Точки пересечения с ОУ (х = 0) у = 2.

Алгоритм построения графика у = |2х - а|. 

1 шаг: у = 2х – графиком является прямая пропорциональность. График проходит через начало координат.

2 шаг: у = 2х – а. В зависимости от параметра а график сдвигается параллельным переносом вдоль оси ОУ вверх (если а<0) или вниз (если а>0).

3 шаг: у = |2х - а|.   Часть графика, находящаяся выше оси ОХ остается без изменения, часть графика, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично оси ОХ вверх.

Пример:

При построении графиков в одной системе координат видно, что они будут иметь одну общую точку (одно решение уравнения) при    Значит:

Если   , то уравнение имеет одно решение.

Если х( - уравнение имеет 2 решения.

Если х(-4;-2) – уравнение не имеет решений.

Графически это выглядит так:

Найдем значение параметра а, при котором   

Если х = -2, то у = 0, имеем |-4-а| = 0, а = -4.

Если х = -4, то у = 0, имеем |-8-а| = 0, а = -8.

Ответ: уравнение имеет одно решение, если а= -4 или  а= -8.

ІV. Домашнее задания

Используя программу Advanced Grapher, найдите все значения параметра а, при котором уравнение  имеет больше двух решений.

Решение:

В программе Advanced Grapher строим график функции у = |х-1| + |х-3|.

Получим:

В этой же системе координат строим графики у = а, если а = 5; 2; -3. Это используем для того, чтобы показать, количество возможных решений:

-если а < 2, то уравнение не имеет решений;

-если а = 2, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

-если а > 2, то уравнение имеет два решения.

Ответ: а = 2.