Развитие критического мышления на уроках математики (диплом)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………….3

Глава 1. Теоретические основы развития критического мышления учащихся при обучении математике

1. 1. Понятие «критическое мышление» в психолого-педагогической литературе…………………………………………………………………………….5

   2. Развитие ключевых компонентов критического мышления учащихся……………………………………………………………………………..12

   3. Способы развития критического мышления учащихся на уроках математики в 8 классе………………………………………………………………..19

Глава 2. Методика обучения теме «Площади многоугольников» в процессе развития критического мышления учащихся 8 класса

2.1. Требования к разработке конспектов уроков…..……………………..26

2.2. Конспекты уроков по теме «Площади многоугольников» в 8 классе, направленных на развитие критического мышления учащихся………………….31

2.3. Организация тестового контроля по теме «Площади многоугольников», способствующих развитию критического мышления………54

Заключение………………………………………………………………..….64

Список используемой литературы…………………………..……………66

Приложения ………………..…………………………………………………72

ВВЕДЕНИЕ

Развитие критического мышления происходит в процессе усвоения знаний, однако не всякое усвоение обеспечивает эту активность. Необходима его особая организация, при которой учащиеся развивают все компоненты критического мышления, интересы, склонности.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствие с основными направлениями реформы общеобразовательной школы, подчеркивается, что развитие критического мышления учащихся является одной из ключевых целей курса математики.

Развитие критического мышления при усвоении знаний – важный источник развития личности ученика.

Каждый год первого сентября с первым звонком миллионы детей садятся за парты, чтобы овладеть знаниями. В течение сложных лет они усваивают сложную систему научных сведений, учатся их анализировать, сравнивать, обобщать, применять к решению учебных, практических задач.

Школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать их критическое мышление: умственную активность, учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решении теоретических и практических задач.

Актуальность темы исследования заключается в том, что проблема развития критического мышления, которой занимались А. Пуанкаре и Ж. Адамар, Д. Д. Мордухай-Болтовский и многие другие педагоги – математики, должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа множества ошибок, допускаемых учащимися в усеваемом содержании критического материала.

Объект исследования процесс обучения математике учащихся 8-го класса.

Предмет исследования развитие критического мышления учащихся 8-го класса при обучении теме «Площади многоугольников».

Цель исследования: разработать и теоретически обосновать методику обучения учащихся решению задач по теме «Площади многоугольников», способствующую развитию критического мышления.

Выделяя этапы достижения цели исследования, мы поставили следующие задачи исследования:

• провести психолого-педагогический анализ различных подходов к определению понятия «критического мышления»;

• определить способы развития критического мышления учащихся на уроках математики;

• разработать дидактический материал к урокам по теме «Площади многоугольников» в 8 классе, направленные на развитие критического мышления учащихся.

База исследования: исследование проведено на базе МКОУ Горбуновской СОШ Куйбышевского района Новосибирской области.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1. 1. Понятие «критическое мышление» в психолого-педагогической литературе

Культура критического мышления, кроме научно-теоретического характера, отличается еще рядом других признаков, среди которых следует в первую очередь выделить разумность, логичность, дисциплинированность.

Критическое мышление человека можно тогда считать культурным, когда оно совершается в полном соответствии с законами логики. Эти законы устанавливают норму рассуждений, умозаключений, которые обеспечивают получение с их помощью из истинных посылок верных заключений. Логические формы – это системы связей между понятиями, в которых отражена объективная действительность.

С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Однако познание может осуществляться и без критического мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Качества учащегося, формируемые в учебно-воспитательном процессе, делятся на общие и специальные.

Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его развитие происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся. Однако общепризнанно, и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в развитии критического мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более что в данное время выдвигается задача развития у учащихся не любого мышления, а научно-теоретического, в развитии которого роль математики ещё более значительна [29].

Поэтому нужно установить, какой вклад в решение задачи развития научно-теоретического мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения.

Чувственное познание является непосредственным, ибо оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем критическое мышление является опосредованным познанием объекта, ибо оно осуществляется путём чувственного восприятия совсем другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путём мысленной переработки чувственных представлений.

Таким образом, критическое мышление, конечно, опирается на чувственное познание и без него невозможно, однако оно далеко выходит за его пределы и поэтому позволяет познать такие объекты, такие стороны явлений, которые недоступны органам чувств [40].

Итак, если чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то критическое мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, что даёт возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений-образов – строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью компонентов критического мышления: абстракции, обобщения и конкретизации, сравнения, анализа и синтеза.

Сравнение – это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций [10].

Анализ – это мысленное расчленение предмета познания на части.

Синтез – мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Анализ и синтез как мыслительные операции не следует смешивать с аналитическими и синтетическими методами доказательства теорем и решения задач (иногда даже выделяют аналитико-синтетический и синтетико-аналитический методы). В любом из этих методов используется и анализ, и синтез, как мыслительные операции, а различаются они лишь ходом рассуждений, идущих от условий к заключению.

Абстракция – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом критического мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путём выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяжённости и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы и т.д.). Но при этом производится не только абстрагирование (выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных), но и идеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т.д.) [7].

В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают три вида критического мышления:

• наглядно-действенное;

• наглядно-образное;

• теоретическое (отвлеченное, понятийное).

Наглядно-действенное критическое мышление характерно для учащегося начальных классов, когда мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами.

Наглядно-образное критическое мышление возникает у учащихся в 8-ом классе и представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое критическое мышление подчинено восприятию, в нем отсутствует в развернутом виде абстрагирование.

Теоретическое мышление появляется у учащихся уже 10-11 классов, и оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений.

В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов критического мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так, при доказательстве теорем, решении задач доминируют, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядно-действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т.п.) [12].

Одновременно с развитием критического мышления у учащегося 8-го класса развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком. Критическое мышление вообще невозможна вне речи, оно всегда связано с языком, и речь выступает как материальная оболочка мышления.

На этот счет психологи придерживаются разных взглядов. Ряд зарубежных психологов во главе с известным французским психологом Жаном Пиаже считают, что процесс умственного развития является самостоятельным и независимым от обучения, он имеет свои собственные внутренние закономерности. Обучение может лишь задерживать или ускорять сроки появления у ребенка соответствующих видов мышления, не изменяя их последовательности и особенностей. Жан Пиаже [40] писал: «Это большая ошибка думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в общении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно и спонтанно.

Л.С. Выгодский [10] указывал, что обучение должно ориентироваться главным образом на еще не сложившиеся, но возникающие психические виды критического мышления. Он ввел понятие зоны ближайшего развития, в которой ребенок еще самостоятельно не может выполнять данную деятельность, но уже может ее выполнить при помощи взрослого. Выполняя эту деятельность при постоянно уменьшающейся помощи взрослого, ребенок переходит из зоны ближайшего развития в зону актуального развития критического мышления, в которой он уже эту деятельность может выполнить вполне самостоятельно.

Следовательно, процессы развития критического мышления и обучения являются тесно связанными и взаимно обусловленными: обучение упирается на достигнутый уровень развития и способствует дальнейшему развитию критического мышления, переход его на следующий, более высокий уровень развития. Но развитие не следует за обучением как тень, автоматически: оно зависит от содержания и характера обучения и многих других факторов – социальных и воспитательных (семьи, среды, природных задатков)[12].

Другие аспекты развития критического мышления в процессе обучения (развитие критического мышления, мотивация критического мышления, мышление и решение задач и др.) мы еще рассмотрим в своей работе.

А теперь перейдем к раскрытию специфики критического мышления, которое имеет особое значение в обучение математике.

Рассматривая сущность критического мышления, или, как еще говорят, критического стиля мышления, обычно указывают такое огромное число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так, например, указывают такие качества критического стиля мышления: гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

А.Я. Хинчин [51], известный математик, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике и много сделавший в области методики математики, более скромно и более точно указал лишь четыре характерных признака критического мышления.

Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Это своеобразная черта стиля критического мышления, стиль в полной мере, не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе многоценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибки; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной.

Следовательно, критическое мышление – это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения.

Решению этой проблемы поможет рассмотрение уровней критического мышления, которые выделил А.А. Столяр [46]. Он указывает следующие пять уровней в геометрии, которые приведем ниже.

• геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме;

• геометрические фигуры выступают как носители своих свойств и распознаются по ним, но сами свойства фигур еще логически не упорядочены и сами фигуры, так как фигуры только описываются, но не определяются;

• осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур; геометрические фигуры выступают в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений, остальные свойства фигур выводятся логическим путем. Но собственное значение дедукции в целом еще не постигается, ибо не осознается дедуктивная система в целом;

• постигается значение дедукции «в целом», осознается сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений;

• отвлекаются от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними.

А.А. Столяр [46] указывает, что первые два уровня характерны для учащихся начальных классов, третий уровень – для учащихся средних классов и четвертый – для учащихся старших классов. Относительно пятого уровня А.А. Столяр [46] считает, что его достичь нельзя ни на одном этапе обучения геометрии.

Критическое мышление, которое должно быть сформировано у учащихся в процессе обучения математике, является основной частью общей культуры мышления, воспитание которой есть важнейшая задача общего образования. Математический стиль мышления в наиболее яркой форме выражает научно-теоретический стиль мышления вообще. Следовательно, при формировании такого стиля мышления в процессе обучения математике у учащихся развивается научно-теоретическое мышление.

Естественно, что логика критического мышления не дана человеку от рождения, ею он овладевает в процессе жизни, в обучении. И роль обучения математике в этом воспитании у учащихся критического мышления огромна хотя бы потому, что математика как никакой другой предмет, может быть названа прикладной логикой. В математике ученик с наибольшей полнотой, наиболее выпукло и зримо может увидеть демонстрация почти всех ключевых законов элементарной логики.

Дисциплина критического мышления предполагает, во-первых, анализ объекта мысли, во-вторых, планирование на основе этого анализа своей мыслительной деятельности, и в-третьих, пошаговый самоконтроль и самооценку выполненной деятельности с целью установления соответствия намеченному плану и его корректировки при необходимости.

Наконец для того, чтобы умения и навыки культуры критического мышления учащихся были осознанными, а ведь только в этом случае они будут достаточно эффективными и прочными, и для того, чтобы дать учащимся способ ориентировки в выполнении умственных действий, необходимо включить в содержание обучения математике систему определенных теоретических знаний.

1. 2. Специфика развития ключевых компонентов критического мышления учащихся

Специфика развития критического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы (разновидности проявления мышления), которые в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами: конкретное и абстрактное мышление, функциональное мышление, интуитивное мышление.

Так как в процессе обучения математике обычно используются так называемые конкретно-индуктивные или абстрактно-дедуктивные методы обучения, то, естественно, возникает необходимость (из дидактических соображений) говорить о конкретном (предметном) или абстрактном мышлении школьников.

Конкретное (предметное) мышление – это критическое мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта [50].

Различаются две формы конкретного мышления:

• неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);

• оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью объекта).

В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на неоперативное конкретное мышление учащихся проявляется при использовании различных наглядных » пособий, диафильмов, кино и телевидения.

Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств критического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.

В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает, в то время как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобщение конкретного.

Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретного мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным представлениям может иногда оказаться вредным. Так, например, чрезмерное увлечение наглядностью преподавания начал стереометрии может затормозить развитие у учащихся пространственного воображения [50].

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Напомним, что абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению [48].

Критическое мышление можно подразделить на:

• аналитическое мышление;

• логическое мышление;

• пространственное мышление.

Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие критического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обучения математике логическое мышление проявляется (и развивается) у учащихся, прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.

Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления, учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся. В определенной степени развитию пространственного мышления способствует использование в обучении таких технических средств обучения, как кинофильмы, диафильмы, диапозитивы.

С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой – либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.

Интуитивное мышление «Интуиция (лат. Intuit – пристальное всматривание) – особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины. К области интуиции принято относить такие явления, как внезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быстрое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д. [36].

В современной педагогике специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмотреть Дж. Брунер [7]. Можно более конкретно охарактеризовать аналитическое и интуитивное мышление. Аналитическое мышление характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий может рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содержания, так и составляющих его операций.

В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заученный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному результату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором – учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.

В настоящее время развитие интуитивного мышления привлекло внимание многих прогрессивных педагогов – математиков. Итак, представим, что с детьми 11 лет мы изучаем квадрат. Чтобы дать определение этой фигуры, впрочем, уже известной всем детям этого возраста, исходя из конкретного, можно вырезать квадраты из листа бумаги и дать детям задание наблюдать за сторонами и диагоналями вырезанных квадратов. Можно привести примеры предметов, имеющих форму квадратов, сравнить квадраты с другими видами четырехугольников. Все это делается для того, чтоб ученик смог самостоятельно дать определение. Отправляясь от небольшого числа наблюдений неподвижных фигур, учащийся 11 лет, как правило, не способен сделать это самостоятельно.

Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между критическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики – идеи функции.

Как известно, одним из центральных требований начальной стадии международного движения за реформу критического образования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание на развитие у школьников функционального мышления, наиболее характерными чертами, которого являются:

• представление математических объектов в движении, изменении;

• операционно-действенный подход к критическим фактам, оперирование причинно-следственными связями;

• склонность к содержательным интерпретациям математических фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики [28].

Как показывают исследования, наглядно кинематические и физические представления, лежащие в основе функционального мышления, органически сливаются с формально-логическими компонентами мышления.

Известно также, что наряду с задачей развития критического мышления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача – задача воспитания логической грамотности. Содержание понятия «логическая грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни.

Исследования З. И. Слепкань показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и умениями: умения определять известные понятия, классифицировать, понимать смысл ключевых логических связок, распознавать логическую форму математических предложений, доказывать утверждения и обнаруживать логические ошибки, организовывать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации, мыслить критически, последовательно, четко и полно, владеть основными мыслительными приемами [45]. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только соответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей культуры критического мышления.

Развитие же критического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие теоретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе развития диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию критического мышления, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования материи. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сделаны самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя [30].

Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказанных типах мышления как о компонентах, присущих только критическому мышлению, было бы неверно.

Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонентов критического мышления возможно и даже целесообразно, т. е. целенаправленная работа учителя по формированию у школьников функционального, критического, интуитивного и т. д. мышления реализует задачу критического развития учащихся в целом.

В состав критического мышления включаются мыслительные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике выступают не столько как методы математической деятельности, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения учащимися математики и развития у них качеств, присущих критическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпирического и научно-теоретического мышления.

Наряду со спецификой критического мышления справедливо различать специфику физического, технического, гуманитарного и других видов мышления. Именно в силу этой специфики в процессе познания конкретных наук (и обучения конкретным учебным предметам) активизируется развитие того или иного компонента мышления вообще, усиливается роль того или иного приема мыслительной деятельности, того или иного метода познания.

Развитие критического мышления школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.

В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления критического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных предмета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обучение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышления, которые с точки зрения критического образования считаются второстепенными.

Органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.

1. 3. Способы развития критического мышления учащихся на уроках математики в 8 классе

Использование новых информационно коммуникационных средств в преподавании математики является одним из важнейших критериев совершенствования и оптимизации процесса обучения, позволяющий разнообразить формы работы и сделать урок интересным и запоминающимся для учащихся. Одна и та же технология в руках конкретных исполнителей может выглядеть по-разному: здесь неизбежно присутствие личностной компоненты педагога, особенностей контингента учащихся, их общего настроения и психокритического климата в классе. Результаты, достигнутые педагогами, использующими одну и ту же технологию, будут различными, однако близкими к некоторому среднему индексу, характеризующему рассматриваемую технологию.

В результате исследования структуры критического мышления В. Хаекер и Т.Циген выделили компоненты, составляющие, по их мнению, «ядро» такого мышления:

• пространственное – понимание пространственных фигур, образов и их составляющих, память па пространственные образы, пространственные абстракции;

• логическое – образование понятий (типа «синус», «тангенс» и т.п.) и понятий абстракций; понимание, запоминание и самостоятельное выведение общих понятийных связей, заключений и доказательств по правилам формальной логики, образование числовых представлений, память на числа, числовые решения;

• символическое – понимание и запоминание символов, операции с ними [50].

Специфика критического мышления и его особенности отмечаются во многих работах математиков-педагогов. Так, А. Пуанкаре и Ж. Адамар [2], с одной стороны, отмечали специфичность мышления математика, проявляющуюся в свойственной ему «математической индукции», подсознательной творческой работе, указывая, что критическое творчество связано с общим интеллектом, творчеством вообще; с другой стороны, говорили о необходимости особого критического мышления. Большое значение придавал роли «бессознательного мыслительного процесса» русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Он писал: «Мышление математика ...глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая па поверхность, то погружаясь в глубину ...Математик не осознает каждого шага мысли, как виртуоз ‒ движений смычка»[38, c.540]. В качестве наиболее важных компонентов мышления он считал «сильную память» па «предмет того типа, с которым имеет дело математика» (память на идеи и мысли); «остроумие» как способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли; быстроту мысли.

В педагогике выделяется большое количество образовательных технологий, и среди них, одной из ведущих становиться информационно коммуникационная технология, предполагающая применение ИК средств для активизации мышления учащихся.

По мнения ряда авторов основными задачами активизации критического мышления являются: задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию критического мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические текстовые задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. Выделяют следующие виды задач: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает критическое мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков математики. В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики.

б) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие критического мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачиваются различные виды мышления учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии критического мышления учащихся. Такие задачи помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными [36].

Критическое мышление является очень важным процессом, поэтому существует целый ряд способов для его активизации, и тем самым ускорения получения результатов.

Существуют следующие способы активизации критического мышления:

• задавание «бессмысленных» вопросов, например: «Как будет звучать хлопок одной ладони?» (Или: почему на вопрос о национальности многие люди отвечают именем существительным, а русские люди – прилагательным? Например, литовец, немец, испанец и – русский?);

• использование сокровищницы народной педагогики (загадки, пословицы и пр.). Например, отгадывание загадок: «До каких пор заяц бежит в лес?»; «Какая женщина не смотрится в зеркало?»; «Каких камней нет на дне моря?»;

• поиск нестандартных решений: «Как можно использовать кирпич?» (Или любой другой предмет). Нужно привести как можно больше решений. Учащиеся обычно приводят их по несколько десятков. Можно модернизировать материал теста Торренса и применить его не для тестирования, а для развития интеллектуальных способностей. Например, предложить необычные способы использования пустых картонных коробок, или найти способы улучшения какого-либо предмета и пр.;

• коллекционирование различных парадоксов, например: почему, если сначала смотреть на зеленый кружок, а потом посмотреть на белый лист бумаги, то увидишь красный кружок?;

• использование технологии интерактивного обучения, основанной на явлении интеракции (от англ. Interaction – взаимодействие, воздействие друг на друга). В процессе обучения происходит межличностное познавательное общение и взаимодействие всех его субъектов. Развитие индивидуальности каждого студента и воспитание его личности происходит в ситуациях общения и взаимодействия людей друг с другом. Адекватной, с точки зрения сторонников этой концепции, и наиболее часто применяемой моделью таких ситуаций является учебная игра;

• проведение сократовских бесед. При сократовской беседе (эвристическом методе) педагог чувствует себя некой обобщенной личностью и ведет занятия, задает вопросы, не очень-то обнаруживая свое мнение, но лишь всемерно побуждая учеников к поиску. Тогда дети сами втягиваются в поиск, уточняют вопрос учителя своими вопросами и одновременно прислушиваются: не звучит ли уже в них искомый ответ? Если вопрос учителя задан правильно, то дети, пытаясь найти ответ, расширяют саму область вопроса;

• подсказка: совпадающая по времени с развитием собственного решения, может резко затормозить мыслительную деятельность и вызвать так называемый эффект запирания. Примером его может служить подсказка преподавателя на экзамене, предложенная в момент, когда экзаменующийся почти достиг результата. Она может внести дисбаланс в систему ответа и нарушить схему решения [27].

Развитие этих качеств у создателей новой техники является важным фактором в преодолении инерционности критического мышления и ускорения поиска решений поставленных задач. С этой целью используются различные эвристические приемы в виде ассоциаций, аналогий, контрольных вопросов, приемов устранения технических противоречий. Рассмотрим наиболее распространенные приемы активизации критического мышления и устранения технических противоречий.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи [48].

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные применяемым при обычном решении задач. Следовательно, при составлении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между критическими объектами. Это развивает их мышление.

Активизирует мыслительные процессы умение правильно, проблемно ставить вопросы, т.к. они концентрируют внимание, ограничивая перебор гипотез в памяти. Роль вопроса и тем более цепочки взаимосвязанных вопросов является решающей в направлении мыслительного процесса, они не дают мысли «растекаться». Важным способом активизации мыслительной деятельности является преодоление психологических барьеров, сущность которых заключается в тенденции использовать штампы и шаблоны. Незаметно для себя человек попадает на «традиционный» путь критического мышления, начинает думать в общепринятом, обычном направлении и, естественно, ничего нового и оригинального придумать не может. Для преодоления психологических барьеров полезно уже в начале решения задачи подвергнуть анализу все поле гипотез. И только по мере того как анализ начнет продвигаться, он должен сосредотачиваться на более узкой сфере. Этот уход от стереотипов в конечном итоге дает мощный толчок развитию творческой мысли.

Выводы по первой главе

Подводя итог всему выше изложенному, мы можем говорить, что психолого-педагогическое понятие «критическое мышление» – это дисциплина критического мышления она предполагает:

• анализ критического объекта мысли;

• планирование на основе этого анализа своей мыслительной деятельности при решении математической задачи;

• пошаговый самоконтроль и самооценку выполненной деятельности с целью установления соответствия намеченному плану и его корректировки при необходимости в процессе решения математической задачи.

Развитием ключевых компонентов критического мышления учащихся является: органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях учащегося 8-го класса, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Основными способами развития критического мышления учащихся 8-го класса является: инновационные технологии ИКТ, методы наглядности, подсказок, многое другое.

Рассмотрение учеником 8-го класса различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР» В ПРОЦЕССЕ РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

2.1. Требования к разработке конспектов уроков

Конспектирование относится к числу наиболее важных профессиональных умений. На него опирается весь учебный процесс, так как и школьникам и учителю постоянно приходится работать по той структуре и материалам, которые подготовил учитель для освоения учащимися той или иной темы урока.

Конспект урока, направленный на развитие критического мышления учащихся нужен учителю для того, чтобы:

– научиться перерабатывать любую информацию, придавая ей иной вид, тип, форму, удобную для восприятия учащимися на уроке;

– найти в тексте учебника такие задачи, которые способствуют развитию критического мышления при решении учебной задачи;

– создать модель проблемы (понятийную или структурную) для учащихся во время урока;

– упростить запоминание текста, облегчить овладение специальными терминами для учащихся;

Слово конспект состоит из двух корней, первым из которых является «кон». В русском языке «кон» означает начало, предел, сужение пространства действий. В этом сужении, предельном сокращении, свертывании информации и заключен главный смысл конспекта. Конспект урока – это вторичное рождение источников информации подготовленной для учащихся, но в ином виде – свернутом, сжатом.

Понятие «конспект урока» подразумевает объединение плана урока, оборудование которое необходимо для проведения урока, целей и задач урока. Главное требование к конспекту урока – запись должна быть систематической, логической, связной и понятной для самого учителя.

Систематическая, логически связанная запись. Это – одно из основных требований, предъявляемых к конспекту урока по существу. Так, выписки с отдельными пунктами плана, если в целом они не отражают логики произведения, если между отдельными частями записи нет смысловой связи, – это не конспект урока.

Конспектом урока, написанным одним человеком, могут пользоваться другие – он более универсален, чем иные виды записей. По той же причине к правильно составленному конспекту урока можно с успехом обратиться через несколько лет после его подготовки. Одним словом, конспект урока – наиболее универсальный вид записей по сравнению с другими формами. При работе с ним меньше риска заблудиться в чужих мыслях, чем при использовании выписок, планов и даже тезисов, не говоря уже о набросках – беглых заметках «для себя».

Особенности любого конспекта

• Беглый просмотр с целью определить полноту раскрытия темы; определение характера текста (теоретический или эмпирический, т.е. основанный на опыте); выявление степени сложности по наличию новых или непонятных терминов – понятий. Такое предварительное знакомство с текстом, а также учет собственных задач помогает осознанно выбрать вид конспектирования.

• Научно-исследовательская работа по переработке информации. Все начинается с повторного чтения и анализа. Анализ позволяет разделить текст на части, отделить одно положение от другого и выделить нужное.

• Выделение главных мыслей текста – тезисов. Тезисом в зависимости от задач конспектирования может быть: понятие или категория и их определения, закон и его формулировка, факты и события и доказательства их истинности и т.д. Эти ведущие, главные позиции могут выписываться либо в технике цитирования, либо в произвольном стиле, своими словами. Цитировать принято в следующих случаях: для точной передачи мысли; для последующей ссылки на автора; для иллюстрации стиля мышления автора. Насколько часто можно цитировать в конспекте – вопрос открытый. По необходимости, но не очень много (исключение составляют текстуальные или цитатные конспекты).

Прежде всего, составляя конспект урока, учитель стремится к форме связной структуры, более важным качествам конспекта урока – яркости и краткости. И тут важно заметить, что связующим звеном при составлении конспекта урока должна быть внутренняя логика изложения, которую не следует заменять пространными словесными переходами.

С другой стороны, конспекты урока при обязательной краткости содержат не только основные положения и выводы, теории необходимой для объяснения, но и факты, доказательства, примеры, которые предстоит учащимся научиться решать. Ведь утверждение, не подкрепленное фактом или примером, не будет убедительным и труднее запомнится.

Конспекты урока условно можно разделить на три типа: плановые, текстуальные, свободные.

Плановый конспект урока легко получить с помощью предварительно сделанного плана урока. При этом план урока специально составляется для написания конспекта. Каждому этапу плана урока в такой записи отвечает определенная часть конспекта. Однако там, где этап плана не требует дополнений и разъяснений, он не сопровождается текстом. Это одна из особенностей стройного, ясного и короткого плана-конспекта.

При наличии навыка плановый конспект составляют достаточно быстро, он краток, прост и ясен по своей форме. Эти преимущества делают его незаменимым при быстрой подготовке к уроку. Качество такого конспекта порой целиком зависит от качества плана урока, от того, насколько этапы плана урока будут не только раскрывать содержание, но и дополнять его по существу.

Однако работать с таким конспектом урока, если пройдет много времени с момента его написания, достаточно затруднительно. Существенную помощь здесь могут оказать вкладные листки или отметки в учебнике, сделанные в процессе чтения.

Самый простой конспект урока – схематический плановый конспект - составляется в виде ответов на этапы плана, сформулированные в вопросительной форме. В процессе подготовки, а иногда и при последующей переделке плановый конспект урока может отразить логическую структуру и взаимосвязь отдельных положений.

Текстуальный конспект урока – это конспект, созданный в основном, из задач и их решения, которые учащимся необходимо усвоить на уроке. Текстуальные выписки могут быть связаны между собой цепью логических переходов, могут быть снабжены своим планом и включать отдельные определения и понятия. Текстуальный конспект урока – прекрасный источник слов учителя, а также приводимых им фактов. Текстуальные конспекты целесообразно применять при обучении с использованием проблемы или активных методов обучения. Легко догадаться, что текстуальный конспект урока в большинстве случаев – пособие, используемое длительное время.

Хотя при создании текстуального конспекта урока и требуется определенное умение быстро и правильно выбирать основные материалы к уроку, этот тип конспекта не является трудносоставимым, если оценивать его по той работе, которая затрачивается на написание его.

Существенный недостаток текстуального конспекта урока заключается в том, что он не активизирует внимание учителя. Бывает так, что учитель написал конспект, а материал глубоко не проанализировал. Ему помешало автоматическое переписывание.

Таким образом, конспект урока облегчает работу учителя во время проведения урока.

Надо отметить возможность использования так называемого, обзорного тематического конспекта урока. В этом случае составляется тематический обзор на определенную тему, с использованием одного или чаще нескольких учебников и методической литературы.

Содержание конспекта урока зависит от типа урока. Но основные принципы составления грамотного конспекта во всех случаях одинаковы. Тема урока всегда обозначена в поурочном годовом плане учителя. Но в некоторых случаях требуется уточнение. Поэтому, формулируя тему, заранее уточните объем материала. Современная методика не требует разделения целей на обучающие, воспитательные и развивающие. Но молодым учителям удобнее пользоваться старым, проверенным способом и четко разграничить цели урока по трем позициям. Планируемые задачи стоит сопоставлять с требованиями к знаниям и умениям учащихся, которые обозначены Министерством Образования для каждого класса. В конспекте их можно и не указывать, но для себя каждый раз стоит уточнять, будет это урок-объяснение, урок-беседа или вы нацелены провести нестандартный урок.

Приведем примеры самых распространенных форм уроков, направленных на развитие критического мышления.

1. Урок ознакомления с новым материалом. Формы: беседа, проблемный урок, лекция.

2. Урок закрепления изученного. Формы: игры, конкурсы, КВН, путешествие, бенефис, брифинг, аукцион, сказка, брифинг, спектакль и т.д.

3. Урок применения новых знаний и умений на практике. Формы: те же, что и для уроков закрепления. Можно также проводить уроки-исследования, лабораторные, творческие мастерские, соревнования, тестирование, экскурсии и т.д.

4. Урок обобщения и систематизации знаний. Форма выбирается свободная, по желанию учителя.

5. Контрольный урок. Формы: как традиционные контрольные работы, зачеты, диктанты, сочинения, так и более творческие виды: семинары, брифинги или консультации.

6. Интегрированные уроки. Формы свободные, так как задействованы 2 и более предметов в одном уроке.

2.2. Конспекты уроков по теме «Площади геометрических фигур» в 8 классе, направленных на развитие критического мышления учащихся

План-конспект урока – это как альфа и омега в деятельности учителя. Подробный, развернутый план поможет провести урок максимально результативно, сэкономит время и позволит быстрее достичь поставленных целей. А четко выстроенная структура урока помогает учителю удерживать внимание учащихся в течение всего урока. Каждый урок должен содержать «изюминку». Это может быть интересный факт, нестандартное задание, необычная форма подачи материала, интригующий эпиграф – то, что будет способствовать заинтересованности учащихся.

Рассмотрим несколько конспектов уроков по теме «Площади геометрических фигур», направленные на развитие критического мышления.

Тема урока: «Площадь треугольника»

Цели и задачи урока Образовательные: углубить знания по теме «Площадь»; доказать теорему о площади треугольника, рассмотреть следствия из этой теоремы и первичное применение теоремы к решению задач.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы переноса знаний в новую ситуацию, развитию памяти, критического мышления и умение анализировать.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, воспитывать честность, трудолюбие, ответственность и аккуратность.

Оборудование урока: учебник, чертёжные принадлежности, подготовленная доска, разноцветный мел.

План урока

1. Организационный момент, домашнее задание (2 мин.)

2. Устная работа, проверка домашнего задания (15 мин.)

3. Подготовительный этап (3 мин.)

4. Изучение нового материала (7 мин.)

5. Закрепление, решение задач (15 мин.)

6. Итог урока (2 мин.)

7. Домашнее задание (1 мин.)

Доска в начале урока:

А

Рис.1 Геометрические фигуры

Ход урока

1. Организационный момент

В начале урока два ученика готовят домашнее задание на доске. Учитель обобщает знания ребят, полученные на прошлом уроке. Сообщает ученикам план сегодняшнего урока.

Учитель

–На прошлом уроке мы доказали теорему о вычислении площади параллелограмма.

–Сегодня на уроке мы проверим домашнее задание, решим одну устную задачу и в результате решения задачи определим тему и цель урока.

2. Устная работа, проверка домашнего задания:

Учитель

–Что называют площадью многоугольника?

–Каким числом выражается площадь многоугольника?

–Что показывает это число?

–Как вы понимаете смысл слов: «Площадь комнаты равна 18 м²»?

–Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

–Чему равна площадь квадрата?

–Сформулируйте теорему о вычислении площади прямоугольника.

Ученик

–Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

–Площадь многоугольника выражается положительным числом.

–Это число показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

–Это значит, что в комнате помещается 18 квадратов со стороной 1 метр.

–Равные многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

–Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

–Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Учитель

–Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

(1 ученик доказывает эту теорему на доске)

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано:

ABCD – параллелограмм.

S – площадь параллелограмма.

ВН и СК – высоты.

AD – основание параллелограмма.

 Доказать: S=ADBH

 Доказательство:

1. ABH = DCK

(AB = CD как противоположные стороны параллелограмма ABCD, <1 = <2 как соответственные углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AD)

Значит, S _ABH = S _DCK

Рис.2 Параллелограмм

2. S_ABCK = S_ABCD + S_DCK

С другой стороны, S_ABCK = S _ABH+ S_HBCK

Значит, S_ABCD + S _DCK = S _ABH + S_HBCK

Так как S _DCK = S _ABH,то S_ABCD = S_HBCK

3. Так как S_ABCD = S (по условию), то S_HBCK = S

S = S_HBCK = BC BH

Так как ВС = AD (противоположные стороны параллелограмма), то S = AD BH

№ 462 (решает 2 ученик)

Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150⁰. Найдите площадь ромба.

Рис.3 Ромб

Рассмотрим треугольник АВН. Он прямоугольный, угол В равен 30⁰. Катет в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Следовательно, АН = 3 см. S_ABCD=ВС АН=6 3=18 (см²).

Учитель: «Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке».

Рис.4 Чертеж к задаче

Решение ученики комментируют с места: проведем высоту СН к прямой АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. Угол А равен 30⁰, следовательно, катет СН равен 7 см. S_ABCD=АВСН=8,1 7=56,7 (см²).

3. Подготовительный этап

Учитель

Решите задачу.

Дано: АВСD – параллелограмм, ВD – диагональ, АВВD, АВ = 10см, ВD = 12см. Найти:

• площадь параллелограмма АВСD;

• площадь треугольника АВD.

Рис. 5 Параллелограмм

Итак, тема сегодняшнего урока: «Площадь треугольника».

Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Рассмотрим треугольник АВD. Выберем основание АВ. Назовите высоту треугольника АВD.

Ученик: ВD.

Учитель

–Чему равна площадь треугольника?

Ученик

–Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

4. Изучение нового материала

Рис. 6 Треугольник, достроенный до параллелограмма

Дано: ∆АВС; S – площадь треугольника.

Доказать:S =АВ СН.

Доказательство

1. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АCDВ.

2. ∆АСВ=∆DВС (по трем сторонам) площади треугольников тоже равны площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т.е. S =АВ СН.

Учитель

–Начертите прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

–Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Ученик: «S=АС ВС».

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Учитель: «Начертите два различных треугольника АВС и А₁В₁С₁ с равными высотами ВН и В₁Н₁».

Ученики: чертят в тетрадях два различных треугольника с равными высотами

Учитель: «Измерьте основания ваших треугольников».

Ученики: измеряют основания

Учитель: «Вычислите площади треугольников S и S₁».

Ученики: вычисляют треугольников

Учитель: «Найдите отношения площадей ваших треугольников».

Ученики: находят отношения площадей треугольников

Учитель: «Сравните с отношением оснований и сделайте вывод».

Ученик: «Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания».

4. Закрепление, решение задач

№469 [22, c.128]Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

Рис.7 Треугольник

Решение:

S_АВС = S_АВС =

Следовательно, _{11АМ = 88}; АМ = 8.

4. Итог урока

Учитель: что называют треугольником?

Ученик: «Три точки, не лежащие на одной прямой и соединенных между собой отрезками, называют треугольником».

Учитель: «Чему равен периметр треугольника»?

Ученик: «Периметр треугольника равен сумме всех его сторон».

Учитель: «Чему равна площадь треугольника, площадь прямоугольного треугольника»?

Ученик

–Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

4. Откройте дневники и запишите домашнее задание: п.52, вопрос 5, №466, 468(а,г), №470 [22, c.128]

Тема урока: «Площадь прямоугольника»

Цели и задачи урока

Образовательные: углубить знания по теме «Площадь»; доказать теорему о площади прямоугольника, формировать умения применять формулу площади прямоугольника в стандартных и нестандартных ситуациях.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы переноса знаний в новую ситуацию, развивать критическое мышление, абстрактное мышление, логическое мышление, через решение задач.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, воспитывать честность, ответственность и аккуратность, дружелюбность, уважение к сверстникам.

Оборудование урока: учебник, чертёжные принадлежности, мультимедийный проектор, экран, бланки ответов, компьютер.

План урока

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Проверка домашнего задания. (6 мин.)

3. Подготовительный этап, формулирование новой темы (4 мин.)

4. Актуализация знаний (12 мин.)

5. Изучение нового материала (6 мин.)

6. Закрепление, решение задач (12 мин.)

7. Итог урока (2 мин.)

8. Домашнее задание (1 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент

В начале урока два ученика готовят домашнее задание на доске №449, №450. Учитель обобщает знания ребят, полученные на прошлом уроке. Сообщает ученикам план сегодняшнего урока.

Учитель

–На прошлом уроке мы доказали теорему о вычислении площади квадрата.

–Сегодня на уроке мы проверим домашнее задание, решим одну устную задачу и в результате решения задачи определим тему и цель урока.

2. Проверка домашнего задания, устный опрос

Учитель проверяет правильность решения домашнего задания, ученики сверяют свое решение домашнего задания в тетрадях с решением на доске.

Учитель

–Что называют многоугольником?

Ученик

–Многоугольник – это замкнутые ломаные линии, не имеющие самопересечения.

Учитель

–Чему равна площадь квадрата?

Ученик

–Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

3. Подготовительный этап . Формулировка новой темы

Учитель: чтобы сформулировать новую тему необходимо решить следующие ребусы (см. слайд 1). На слайде вам представлен ребус, разгадав его мы, узнаем новую тему урока.

Слайд 2. Ребус

После разгадывания ребусов демонстрируется технология их решения (см. слайды 3, 4)

Слайд 3. Решение ребуса Слайд 4. Решение ребуса

В тетрадях запишем тему урока: «Площадь прямоугольника».

4. Актуализация необходимых знаний

Учитель: устно (фронтальный опрос)

–Что такое площадь многоугольника?

–Перечислите известные вам свойства площадей.

–Выразите площадь в указанных единицах измерения (задания записаны на доске):

36 см²=_______ мм²

54 см²=_______ дм²

8 см²= ________ м²

Ученик:

–Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

–Равные многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

–36 см² = 360 мм²

–54 см² = 0,54 дм²

–8 см² = 0,0008 м²

Устная самостоятельная работа (решить задачи и записать ответы в бланки).

(Бланки ответов заготовлены заранее и находятся на столах учащихся)

Таблица 1.

Бланк ответов для учащихся

2

3

4

а

б

в

Ответ

(Задачи выводятся на экран последовательно).

Решите задачи: слайд 5, слайд 6, слайд 7, слайд 8.

Слайд 5. Многоугольники Слайд 6. Многоугольник

Слайд 7. Четырехугольник Слайд 8. Два четырехугольника

Ученики: выполняют самостоятельно работу.

После самостоятельной работы ребятам предлагается проверить свои результаты. На экран выводятся слайды 9, 10, 11 12 с правильными ответами.

Слайд 9. Ответы Слайд10. Ответы

Слайд 11. Ответы Слайд 12. Ответы

5. Изучение нового материала

Формула для вычисления площади прямоугольника известна вам ещё из начальной школы, но докажем мы её сегодня впервые. Доказательство теоремы.

(Доказательство теоремы сопровождается пошаговым показом слайда 13. На экране выводятся этапы доказательства теоремы, и выполняется построение чертежа).

Слайд 13. Теорема: площадь прямоугольника

Ученики: записывают теорему и её доказательство.

Физминутка (игра). Ребятам предлагается встать. Учитель зачитывает утверждения. Если утверждение верное, то необходимо поднять руки вверх, иначе руки не поднимать.

Учитель задает вопросы

–Прямоугольник – параллелограмм с прямым углом.

–Обязательно ли четырёхугольник с прямым углом является прямоугольником.

–Каждый прямоугольник является параллелограммом?

–Каждый ромб является параллелограммом?

–У параллелограмма диагонали равны?

–Основания трапеции равны.

–Ромб с прямым углом является квадратом.

–Каждый параллелограмм является прямоугольником.

Ученики: поднимают и опускают руки.

6. Закрепление, решение задач

Устно. Решить задачи на слайдах 14, 15, 16, 17. (Первоначально на экране появляются условия задач с рисунками. После того, как задачи решены учащимися, для проверки, на экране демонстрируются алгоритмы решений и ответы).

Слайд 14. Задача 1 Слайд 15. Задача 2

Слайд 16. Задача 3 Слайд 17. Задача 4

Учитель: письменно выполняем № 452 (а), № 454 (а) № 455 (3 ученика по очереди работают у доски).

Ученик: №452(а) [22, c.123] Дано: a, b – смежные стороны прямоугольника а=8,5 см, b=3,2см.

Найти: S – ?

a

Рис.8 Прямоугольник к задаче

Решение: S_прям=аb, S_прям=8,53,2=27,2 (см²)

Ответ: 27,2 см²

№454(а) [22, c.123] Дано: АВСD – прямоугольник, S =250 см², АВ = х, ВС = 2,5х.

Найти: АВ, ВС – ?

В 2,5х С

х

А D

Рис. 9 Прямоугольник

Решение: так как S=ab => x2,5x=250; 2,5x²=250; x²=250:2,5; x²=100;

x=10 (см) – сторона АВ, 2,510=25 (см) – сторона ВС.

Ответ: 10, 25 см.

№455[22, c.123]. Дано: пол – прямоугольной формы: а=5,5м; b=6м; дощечка – прямоугольной формы: с=5см; d=30см.

b=6м d= 30см

a=5,5м c=5cм

Рис.10 Два прямоугольника

Найти: кол-во дощечек для покрытия пола?

Решение: S₁ = ab => S₁ = 65,5 = 33(м²) – площадь пола.

S₂ = cd => S₂=530 = 150(см²) – площадь дощечки. 33 м² = 330000 см²; = 2200 (шт) – количество дощечек

Ответ: 2200 штук

6. Подведение итогов урока

Учитель: что называется прямоугольником?

Ученик: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Учитель: чему равен периметр прямоугольника?

Ученик: периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон.

Учитель: назовите теорему о площади прямоугольника?

Ученик: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6. Домашнее задание. П. 50, выучить теорему с доказательством; стр.129 вопросы 1-3; решить № 456, № 457 [22, c.123].

Тема урока: «Площадь трапеции»

Цели и задачи урока

Образовательные: углубить знания по теме «Площадь»; доказать теорему о площади трапеции, формировать умения применять формулу площади трапеции, ввести понятие высоты трапеции, вывести формулу площади трапеции через ее основание и высоту

Развивающие: способствовать развитию алгоритмического, критического и логического мышлений посредством решения задач.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, воспитывать честность, ответственность, трудолюбие и аккуратность.

Оборудование урока: учебник, чертёжные принадлежности, разноцветный мел, подготовленная доска.

План урока

6. 1. Организационный момент (2 мин.)

   2. Актуализация знаний (3 мин.)

   3. Подготовительный этап, формулирование новой темы (7 мин.)

   4. Изучение нового материала (15 мин.)

   5. Закрепление, решение задач (10 мин.)

   6. Итог урока (4 мин.)

   7. Домашнее задание (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: «Математика – это язык, на котором написана книга природы».

(Г. Галилей)  

«Великая книга природы написана математическими символами».

(Г. Галилей)  

«Какие еще высказывания вы помните»?

Учащиеся

–«Математика – царица наук, арифметика – царица математики».

–«Химия – правая рука физики, математика – ее глаз».

–«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

2. Актуализация знаний

Учитель

–Сегодня мы завершаем изучение площадей многоугольников. Площади каких многоугольников умеем находить? (На доске нарисованы фигуры квадрата, прямоугольника, параллелограмма и треугольника учащиеся называют формулы, учитель подписывает их к каждой фигуре)

Ученик

–Площадь квадрата равна «а» в квадрате, площадь прямоугольника равна «а» умноженное на «b», площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то есть «а» умножить на «h», площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Учитель

–Все верно.

b

а а \\\ а a

S = a² S = S = ah_a S =

Рис.11 Геометрические фигуры

3. Подготовительный этап. Формулирование новой темы

Учитель: рассмотрим роль треугольников в нахождении площадей других фигур, что должно быть известно, чтобы мы могли найти площадь треугольника?

Ученик: высота и основание.

а) Найти: S=?

Решение: пусть h=3, a=10. Нанесите на рисунок.

Рис.12 Треугольник

Ученик пишет решение на доске: S = ah_a=> S= 310; S=15 (см²)

Ответ: 15 см²

б) Учитель: что в данном случае должно быть известно, чтобы найти площадь фигуры?

Ученик: в данном случае площади первого и второго треугольников

Дано: S_1, S₂

Найти: S–?

S₁S₂

Рис. 13 Прямоугольник

Решите самостоятельно полученные задачи, если известно что площади этих треугольников равны 15 см².

Итак, мы нашли площадь неизвестного четырехугольника. Какие теоретические факты были использованы?

1. S_ф = сумме площадей фигур, их которых она состоит

2. S_Δ = ah

4. Изучение нового материала.

Сегодня мы познакомимся с формулой для расчета площади трапеции.

Учитель: подумайте, какие элементы трапеции надо знать, чтобы найти ее площадь?

Ученик: можно предположить что основание и высоту.

Учитель: постройте трапецию и выделите ее основания, также постройте отрезок, который, по вашему мнению, является высотой трапеции. (Один ученики делает чертеж на доске, остальные в тетрадях в тетрадях)

На доске:

Рис. 14 Трапеция

Учитель: запишите определение к себе в тетради: высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.

Длина высоты – расстояние между основаниями.

Учитель: итак, решим задачу: пусть будет известно: h=3, a=8, b=10. Постройте чертеж. Нанесите на него данные.

Ученик: делают чертеж трапеции в тетради

Учитель: сможем ли мы найти площадь трапеции?

Ученик: нет, мы еще незнаем формулы.

Учитель: что тогда мы можем сделать? Предположите?

Ученики: достроить до прямоугольника либо провести еще одну высоту и получится два одинаковых треугольника и в середине прямоугольник.

Учитель: а что еще мы можем сделать:

Ученик: можем разделить на два треугольника.

Учитель: каким образом?

Ученик: провести диагональ.

Учитель: все верно. Итак, если мы достроим до прямоугольника, что нам это даст?

Ученик: так как мы знаем формулы прямоугольника и треугольника, мы найдем их площади, далее из площади прямоугольника вычтем две площади треугольника и найдем площадь трапеции.

Учитель: а когда получим прямоугольник внутри, если проведем еще одну высоту?

Ученик: тогда мы сложим все эти площади.

Учитель: все верно, а если разбить на два треугольника с помощью диагонали?

Ученик: мы просто сложим площади этих треугольников.

Учитель: сейчас мы рассмотрим только один случай – разбиение на два треугольника при помощи диагонали, а остальные два случая вы рассмотрите дома.

Дано: BC=8, BH=3, AD=10

Найти: S_ABCD–?

В ₈ С

A H 10 D

Рис. 15 Трапеция

Решение: надо разбить на два треугольника – провести диагональ. Найти площадь треугольника ABD и площадь треугольника BCD

S_ABD=310=15 (см²), S_BCD= 38=12 (см²), S_ABCD=S_ABD+S_BCD, S=15+12=27 (см²).

Ответ: 27 см²

Учитель: вывод: как удалось найти площадь трапеции, не зная ее формулы?

Ученик: 1) провели диагональ и разбили на два треугольника.

2) нашли площадь каждого треугольника

3) сложили площади этих треугольников

Учитель: а если будут другие числа, то изменится ли ход решения задачи?

Ученик: нет.

Учитель: значит при любых значениях a,b и h мы, поступая так же, найдем площадь трапеции?

Ученик: да.

Учитель: решим задачу и с ее помощью выведем формулу трапеции.

Дано: ABCD – трапеция, S, a, b, h

Найти: S_тр = h

В а С

A b D

Рис. 16 Трапеция

Работаем по плану:

1. Разбиваем диагональю BD на ΔABD и ΔBDC

2. Найдем S_ΔABD = ah; S_BCD = b h;

3. Найдем S_тр как сумму площадей S_тр= a h + bh= h (a+b)

S_тр= a+b)h

Подведем итоги

Учитель: что нужно знать, чтобы найти площадь?

Ученик: длины оснований и высоту.

Учитель: сформулируйте теорему о том, что площадь трапеции равна

Ученик: произведению полусуммы оснований на высоту.

Учитель: прочитайте формулу несколькими способами

Ученик: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту; половина высоты умноженная на сумму оснований.

Учитель: какие элементы можно вычислить, зная площадь? S= (a+b)h

Ученик: высоту h=; первое основание a=; второе основание b= .

5. Закрепление, решение задач

Учитель: решаем задачи по готовым чертежам. Сформулируйте задачу по условию. Определите, достаточно ли данных? Если данных достаточно найдите S_тр=?

Ученик: найдите площадь трапеции, если известно, что высота равна 5, а ее основания 4 и 8

Дано: ABCD – трапеция. AD=4, BC=8, CD – высота, CD=5

Найти: S_тр–? B 8 C

5

A 4 D

Рис.17 Трапеция

Решение: S_тр= (a+b)h => S_тр= (8+4)5=30 (см²)

Ответ: 30 см²

Учитель

–Сформулируйте задачу. Какое полезное свойство нужно учесть, чтобы решить задачу?

Ученик

–Трапеция равнобедренная, основания и площадь нам известны, высоту мы можем найти.

Дано:

ABCD – трапеция. AD=28, BC=12, AB–высота, S=40 см²

Найти: АВ – ?

B 12 C

? S=40 см²

А 28 D

Рис. 18 Трапеция

Решение: S_тр= (a+b)h => h= =>АВ = = 2 (см)

Ответ: 2 см.

6. Подведение итогов урока

Учитель: чему научились на уроке?

Ученик: вычислять площадь трапеции

Учитель: с какой теоремой познакомились?

Ученик: с теоремой о площади трапеции.

Учитель: расскажите мне ее.

Ученик: площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Учитель: молодцы.

7. Домашнее задание. №480 п. 53 (выучить теорему, знать формулу и доказательство) [22, c.129].

2.3. Разработка тестов по теме «Площади геометрических фигур», способствующих развитию критического мышления

Тестом (от английского слова test ‒ проба, испытание, опыт) называют небольшие стандартизированные задания (вопросы и задачи), с помощью которых можно развивать критическое мышление учащихся. Существенные признаки тестов и их функции нашли отражение в современных словарных определениях тестов в психолого-педагогической области:

1) тест – это объективное и стандартизированное измерение, легко поддающееся количественной оценке, статистической обработке и сравнительному анализу;

2) тест – это специфический инструмент, состоящий из совокупности заданий или вопросов и проводимый в стандартных условиях, позволяющий выявить типы поведения, уровень развития критического мышления.

Тесты достижений как инструмент оценивания имеют значительные отличия от контрольных работ. Во-первых, тесты – более качественный и достоверный способ оценивания и, во-вторых, что наиболее важно и принципиально, показатели тестов ориентированы на измерение степени, определение уровня усвоения ключевых понятий, тем и разделов учебной программы, умений, навыков и прочее, а не на констатацию формально усвоенных знаний.

Известно несколько классификаций видов тестов, направленных на развитие критического мышления. Ознакомимся с представлением А.Н. Майорова о существующих видах тестов. Они могут быть классифицированы по следующим основаниям с выделением соответствующих видов [33].

1. По процедуре могут быть выделены стандартизированные и нестандартизированные тесты.

2. Классификация тестов по назначению:

• общедиагностические (тесты личности по типу вопросников Кеттелла или Айзенка, тесты общего интеллекта Векслера, Бине-Симона в редакции Термена и Меррила и другие);

• профессиональной пригодности;

• специальных способностей (технических, музыкальных, тест для пилотов, радиооператоров и так далее);

• достижений, например, произношения, качества письменных сочинений и тому подобное, то есть тесты, предназначенные для оценивания результатов, достигнутых учащимися в процессе обучения.

3.По средствам, используемым в процессе тестирования: бланковые, предметные, аппаратные, практические, компьютерные.

4. По количеству одновременно обследуемых людей: индивидуальные и групповые.

5. По форме ответа тесты делятся на устные и письменные.

6. По ведущей ориентации: тесты скорости, тесты мощности или результативности, смешанные тесты.

7. По характеру действий:

• вербальные (связанные с необходимостью производить умственные действия: словесно-логические тесты, вопросники на проверку знаний, установление закономерностей и прочее);

• невербальные (связанные с практическим манипулированием предметами: карточками, блоками, деталями).

8. По направленности: тесты интеллекта, выявляющего особенности; личностные тесты (иногда называемые тестами темперамента) и другие.

9. По характеру ответов на вопросы:

• открытого типа (со свободными ответами, когда испытуемому необходимо самостоятельно дописать слово, словосочетание, предложение, знак, формулу и так далее);

• закрытого типа (с предписанными ответами, когда испытуемому необходимо выбрать из предложенных вариантов ответов тот или иной вариант).

Функции тестового контроля. В ходе учебного процесса тест выполняет следующие функции важные для развития критического мышления:

• контролирующая функция состоит в выявлении состояния знаний и умений учащихся, уровня их умственного развития, в изучении степени усвоения приемов познавательной деятельности, навыков рационального учебного труда;

• обучающая функция контроля заключается в совершенствовании знаний и умений, их систематизации, в процессе проверки учащиеся повторяют и закрепляют изученный материал, они не только воспроизводят ранее изученное, но и применяют знания и умения в новой ситуации;

• диагностическая функция заключается в получении информации об ошибках, недочетах и пробелах в знаниях и умениях учащихся и порождающих их причинах затруднений учащихся в овладении учебным материалом, о числе, характере ошибок;

• развивающая функция контроля состоит в стимулировании познавательной активности учащихся, в развитии их творческих способностей;

• ориентирующая функция заключается в получении информации: насколько усвоен и как глубоко изучен учебный материал отдельным учеником и классом в целом, контроль помогает учащимся лучше узнать себя, оценить свои знания и возможности;

• воспитывающая функция контроля состоит в воспитании у учащихся ответственного отношения к учению, дисциплины, аккуратности, честности [32].

В учебном процессе сами функции проявляются в разной степени и различных сочетаниях. Реализация выделенных функций на практике делает контроль более эффективным, а также эффективней становится и сам учебный процесс, направленный на развитие критического мышления.

Тестовый контроль должен быть целенаправленным, объективным, всесторонним регулярным и индивидуальным. Раскроем эти принципы контроля, необходимые для развития критического мышления подробнее.

а) Целенаправленность предполагает четкое определение цели каждой проверки. Постановка цели определяет всю дальнейшую работу. Цели тестового контроля предполагают ответы на следующие вопросы: что должно проверяться, кто должен опрашиваться, какие выводы можно будет сделать на основе результатов проверки, какой ожидается эффект от проведения проверки.

б) Объективность контроля предупреждает случаи субъективных и ошибочных суждений, которые искажают действительную успеваемость учащихся и снижают воспитательное значение контроля.

в) Под всесторонностью тестового контроля понимается охват большого по содержанию проверяемого материала. Этот принцип включает в себя усвоение ключевых идей данного курса и знание учащимися отдельных и существенных фактов, понятий, закономерностей, теорем, способов действий и ключевых особенностей критического мышления.

г) Под регулярностью подразумевается систематический тестовый контроль, который сочетается с самим учебным процессом.

Для того чтобы тесты могли выявлять достижение учащимися одного из уровней усвоения в процессе обучения, сами тесты должны отвечать определенным требованиям:

• надежность задания – это его способность с достаточной для практики одинаковостью характеризовать исследуемый в дидактических экспериментах показатель, как задания в целом, так и его частей;

  • валидность (или адекватность целям проверки) – при составлении задания выделяются существенные и несущественные признаки элементов знаний, существенные признаки закладываются в эталонный ответ, в другие ответы закладываются несущественные признаки с учетом характерных ошибок;

  • определенность – после прочтения заданий каждый ученик понимает: какие действия он должен выполнить, какие знания продемонстрировать, если учащийся после прочтения правильно действует и отвечает, задание считается определённым;

  • простота – формулировки заданий и ответы должны быть чёткими и краткими, показателем простоты является скорость выполнения задания;

  • однозначность – задание должно иметь правильный единственный ответ – эталон;

  • равнотрудность – при составлении тестов в нескольких вариантах равнотрудность определяется стабильностью результатов по вопросам во всех вариантах одного и того же задания.

Теоретический тест по теме «Площади многоугольников» (8 класс)

Цель: развитие критического мышления.

1 вариант

1. Выберите верное утверждение:

1. площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;

2. площадь квадрата равна квадрату его стороны;

3. площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.

2. Закончите фразу: «Площадь ромба равна половине произведения…»:

1. его сторон;

2. его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;

3. его диагоналей.

3. По формуле S=ah_a  можно вычислить площадь:

1. параллелограмма;

2. треугольника;

3. прямоугольника.

4. Площадь трапеции ABCD с основанием AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле:

1. S=ABCDBH;

2. S= (AB+BC)BH;

3. S= (AB+CD)BH.

5. Выберите верное утверждение.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

1. половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

2. половине произведения его катетов;

3. произведению его стороны на проведенную к ней высоту.

6. В треугольниках ABC и MNK <B=<N. Отношение площадей треугольников ABC и MNK равно:

1. ;

2. ;

3. .

2 вариант

1. Выберите верное утверждение:

1. площадь квадрата равна произведению его сторон;

2. площадь прямоугольника равна произведению его противолежащих сторон;

3. площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

2. Закончите фразу: «Площадь параллелограмма равна произведению…»

1. двух его соседних сторон;

2. его стороны на высоту, проведенную к этой стороне;

3. двух его сторон.

3. По формуле  d₁d₂ можно вычислить площадь:

1. параллелограмма;

2. треугольника;

3. ромба.

4. Площадь трапеции ABCD с основанием BС и АD и высотой СH вычисляется по формуле:

1. S= (BС+AD)CH;

2. S= (AB+BC)CH;

5. Выберите верное утверждение.

Площадь треугольника равна:

1. половине произведения его сторон;

2. половине произведения двух его сторон;

3. произведению его стороны на какую-либо высоту.

6. В треугольниках ABC и DEF <C=<F. Отношение площадей треугольников ABC и DEF равно:

1. ;

2. ;

3. .

Теоретико-практический тест по теме «Площади многоугольников» (8 класс)

Вариант 1

1. На данном чертеже площадь закрашенного прямоугольника равна_____________.

1 см

2. Основное свойство площадей: равные фигуры имеют равные _________.

3. По основному свойству площадей S_KLMNP = ____________________.

M

L N

K P

4. Свойство площадей: площадь квадрата равна _______________________.

5. Площадь прямоугольника, смежные стороны которого равны 2,5см и 4см

равна _____________________________________________.

6. Площадь параллелограмма равна ______________________________.

7. Площадь треугольника АВС, данного на чертеже равна ______________.

В

А С

8. Площадь прямоугольного треугольника равна _______________________.

9. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся

как ________________________________________.

10. Формула площади трапеции АВСD, данной на чертеже, имеет вид S_ABCD = _______________________.

B C

A H D

11. Теорема Пифагора: ______________________________________________

_________________________________________________________________ 12. Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 5дм и 21 дм и боковой стороной 10 дм.

Вариант 2

1. На данном чертеже площадь закрашенного прямоугольника равна________________________.

1 см

2. Основное свойство площадей: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна________________________.

3. По основному свойству площадей S_ABCDEF = _______________________

C D

B E

А F

4. Свойство площадей: площадь квадрата, сторона которого равна 2,5 см, равна _________.

5. Площадь прямоугольника равна________________________________.

6. Площадь параллелограмма, данного на чертеже, равна S_KLMN= _________

L M

K H N

7. Площадь треугольника равна____________________________________

8. Площадь треугольника ABC, данного на чертеже, равна S_ABC = _________

C

A B

9. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как________________________________________________

10. Площадь трапеции равнa____________________________________ ______________________________________________________________________

11. Теорема, обратная теореме Пифагора: __________________________________________________________________________________________________________________________________________

12. По данным на чертеже найти площадь ромба CDFE__________________

D E

C 4 дм F

Выводы по второй главе

Подводя итог, необходимым будет отметить, что тест – это специфический инструмент, состоящий из совокупности заданий или вопросов и проводимый в стандартных условиях, позволяющий выявить не только уровень развития критического мышления, но и типы поведения, уровень владения какими-либо видами деятельности.

Так же мы выяснили, что тесты имеют значительные отличия от контрольных работ. Во-первых, тесты – более качественный и достоверный способ оценивания и, во-вторых, что наиболее важно и принципиально, показатели тестов ориентированы на измерение степени, определение уровня усвоения ключевых понятий, тем и разделов учебной программы, умений, навыков и пр., а не на констатацию формально усвоенных знаний.

Мы выяснили, что площадь геометрических фигур – это одно из важнейших понятий школьного курса математики. Практические умения и навыки, которые получают школьники при изучении этой темы, необходимы для развития всех ключевых компонентов критического мышления и профессиональной подготовки. Поэтому научить учащихся применять формулы площадей в различных жизненных ситуациях и использовать в повседневной жизни - одна из важных задач обучения математики.

Заключение

Данная квалификационная работа посвящена исследованию «Развитие критического мышления учащихся при обучении теме «Площади многоугольников» в 8 классе».

Определены актуальность и необходимость изучения заявленной проблемы, поставлены цель и задачи, которые были решены в процессе исследования.

Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, используя критическое мышление, при этом развивается самоконтроль, саморазвитие, абстрактное мышление и т.д.

Развитием ключевых компонентов критического мышления учащихся является: органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях учащегося 8-го класса, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Задачи нахождения (вычисления) площадей служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для выявления наиболее способных к критическому мышлению.

Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью задач повышенной трудности позволит учителю добиться больших успехов в развитии критического мышления у учащихся и всего класса в целом.

При решении геометрических задач, не всем учащимся удается, дается решать их по алгоритму, так как требуется критическое мышление, что способствует развитию у учащихся не только знаний, умений и навыков, а так же развивается воображение. В ходе обучения необходимо ставить перед учениками такие проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться, применяя самостоятельно изученный ими материал.

Также нами была написана статья «Ключевые особенности развития алгоритмического мышления у учащихся в процессе обучения математике», которая опубликована в сборнике «Конструктивное обучение в образовательной системе школа-вуз: проблемы и решения». С этой статьей я принял очное участие во второй Международной научно-практической (очно-заочной) конференции «Конструктивное обучение в образовательной системе школа-вуз: проблемы и решения».

Материал выпускной квалификационной работы прошел апробацию в МКОУ Горбуновской средней общеобразовательной школе и получил положительный отзыв коллег, которые рекомендовали использовать его в учебном процессе.

Список использованной литературы

1. Авдонина Г.Г. Формирование независимости мышления в ходе решения задач / Г. Авдонина // Математика (Прилож. к газ. «Первое сентября»). - 2006. - № 18. - С. 17.

2. Адамар Ж. Четыре лекции по математике [Электронный ресурс] : учебное пособие / Ж. Адамар. - Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Ижевский институт компьютерных исследований, 2002. - 60 с. - Доступна эл. версия. ЭБС "IPRbooks". - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/16659. - ISBN 5-93972-185-0 (дата обращения: 12.09.2014).

3. Ассоциативная психология. Основания психологии / Г. Спенсер. Физиологическая психология лекциях / Т. Циген / предисл. и коммент. А. А. Карелина; худож. Ю. Д. Федичкин. - Москва : АСТ, 1998. - 560 с.

4. Белобрысова Т. С. Планирование и контрольные работы по геометрии в VIII и IX классах / Т. С. Белобрысова // Математика в школе. - 2006. - № 2. - С. 42-47.

5. Бессонова М. А. Право на ошибку / М. Бессонова // Математика (Прилож. к газ. «Первое сентября»). - 2005. - № 2. - С. 7-11.

6. Борель Э. Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки / Э. Борель // Математика в образовании и воспитании / сост. В. Б. Филиппов. - Москва : ФАЗИС, 2000. - С. 22-38.

7. Брунер Дж. Психология познания: за пределами непосредственной информации / Дж. Брунер; пер. с англ. К. И. Бабицкого; под общ. ред. А. Р. Лурия. - Москва: Прогресс, 1977. - 412 с.

8. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие для студ-тов вузов / Л. В. Виноградова. - Ростов н/Д: Феникс, 2005. - 252 с.

9. Вирясова Г. Опережающие практические работы / Г. Вирясова // Математика - Первое сентября. - 2014. - № 5/6: Опережающее обучение. - С. 15-18. - К материалу есть приложение на сайте www. 1september. ru. - табл.

10. Выготский Л. С. Лекции по психологии / Л. С. Выготский. - Санкт-Петербург: Союз, 2006. - 144 с. 

11. Геометрия : 7-9 кл. : учебник для общеобразоват. организаций : рек. М-вом образования и науки РФ / [Л. С. Атанасян и др.; науч. рук. А. Н. Тихонов]. - 2-е изд. - Москва : Просвещение, 2014. - 383 с. 

12. Горькова С. А. Актуальные проблемы развития критического мышления при изучении математики / [Электронный ресурс] / С. А. Горькова. - Электрон. Текстовые данные (17 349 bytes). - Москва: ГПНТБ РФ, 2006. - Режим доступа: users.kpi.kharkov/lre/mcad2000/5.htm, свободный. - (дата обращения: 03.10.2014).

13. Горькова С. А. Актуальные проблемы развития критического мышления при изучении математики / С. А. Горькова. - Харьков: Украина, 2003. - 144 с.

14. Далингер В. А. Критическое мышление учащихся и его развитие средствами примеров и контрпримеров по математике : учебно-методическое пособие / В. А. Далингер ; Омск. гос. пед. ун-т. - Омск: Омский гос. пед. ун-т, 2009. - 33 с.

15. Епишева О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности : книга для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. - Москва : Просвещение, 2000. - 128 с.

16. Жидова Л. А. Повышение качества профессиональной подготовки учителей посредством формирования критического мышления: на примере подготовки учителей математики : автореф. дис. ... канд. пед. наук : 13.00.08 / Жидова Любовь Александровна. - Томск : Изд-во Томского гос. пед. ун-та, 2009. - 22 с. 

17. Журавлева Е. Г. Подготовка будущего учителя к развитию критического мышления школьников в процессе решения математических задач / Е. Г. Журавлева // Наука и школа. - 2008. - № 2. - С. 43-44.

18. Загашев И. О. Критическое мышление: технология развития / И. О. Загашев, С. И. Заир-Бек. - Санкт-Петербург : Альянс «Дельта», 2003. - 284 с.

19. Загашев И. О. Учим детей мыслить критически / И. О. Загашев, С. И. Заир-Бек, И. В. Муштавинская. - Санкт-Петербург: Альянс «Дельта», 2003. - 192 с.

20. Заир-Бек С. И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителя / С. И. Заир-Бек, И. В. Муштавинская. - Москва : Просвещение, 2004. - 175 с.

21. Иванова Е. И. Формируя критическое мышление / Е. И. Иванова //Школьная библиотека. - 2000. - № 3. - С. 21-23.

22. Изучение геометрии в 7, 8, 9 кл.: методические рекомендации к учебнику : книга для учителя / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др. - 6-е изд. - Москва : Просвещение, 2003. - 255 с.

23. Ильясов И. И. Критическое мышление: организация процесса обучения /И. И. Ильясов // Директор школы. - 2005. - № 2. - С. 50-55.

24. Как научить ребенка учится : беседы с родителями, советы школьного психолога / авт. - сост. Н. С. Мозговая и др. - Волгоград : Учитель, 2007. - 98 с.

25. Каплунович И. Я. Пять подструктур математического мышления как их выявить и использовать в преподавании / И. Я. Каплунович, Т. А. Петухова // Математика в школе. - 1998. - № 5. - С. 45-48.

26. Квинн В. Н. Прикладная психология / В. Н. Квинн. - Санкт-Петербург: Питер, 2000. - 560 с.

27. Кларин М. В. Развитие критического и творческого мышления / М. В. Кларин // Школьные технологии. - 2004. - № 2. - С. 3-10.

28. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии : в 2-х т. Т. 1 / Ф. Клейн ; пер. с нем. Н. М. Нагорного ; под ред. М. М. Постникова ; подгот. к печати Р. Курантом, О. Нейгебауером. - Москва : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 456 с. 

29. Клустер Д. Что такое критическое мышление? / Д. Клустер // Математика - Первое сентября. - 2014. - № 11: О чтении и говорении. - С. 15-19.

30. Коржуев A. B. Как формировать критическое мышление? / А. В. Коржуев, В. А. Попков, E. JI. Рязанова // Высшее образование в России. - 2001. - № 5. - С. 55-58.

31. Корнилова Л. М. Воспитывать у учащихся критическое мышление / Л. М. Корнилова // Учитель. - 2011. - № 2. - С. 63-64.

32. Майоров А. Н. Теория и практика создания тестов для системы образования : как выбирать, создавать и использовать тесты с целей образования / А. Н. Майоров. - Москва : Народное образование, 2000. - 352 с.

33. Майоров А. Н. Тесты и их виды. Тесты достижений / А. Н. Майоров // Школьные технологии. - 1998. - № 4. - С. 176-189.

34. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики : книга для учителя / С. Г. Манвелов. - 2-е изд. - Москва : Просвещение, 2005. - 176 с.

35. Метельский Н. В. Дидактика математики: общая методика и ее проблемы / Н. В. Метельский. - 2-е изд., перераб. - Минск: БГУ, 1982. - 256 с.

36. Мишина Е. Н. Развивать критическое мышление учащихся / Е. Н. Мишина // Учитель. - 2009. - № 2. - С. 62-63.

37. Мищенко Т. М. Первые уроки геометрии / Т. М. Мищенко // Математика в школе. - 2008. - № 9. - С. 35-48.

38. Мордухай-Болтовской Д. Д. Философия. Психология. Математика / Д. Д. Мордухай-Болтовской. - Москва: Серебряные нити, 1998. - 540 с.

39. Петров А. Е. Критическое мышление, постмодернизм и информатика / А. Е. Петров // Вопросы интернет образования. - 2003. - № 16.

40. Пиаже Ж. Избранные психологические труды : психология интеллекта : генезис числа у ребенка : логика и психология / Ж. Пиаже ; пер. с фр. А. М. Пятигорский и др, пер. с англ. Н. Г. Алексеев. - Москва: Междунар. пед. академия, 1994. - 680 с.

41. Пиаже Ж. Психология интеллекта / Ж. Пиаже. - Санкт-Петербург: Питер, 2004. - 192 с.

42. Пуанкаре А. Избранные труды: в 3 т. Т. 3: Математика; Теоретическая физика; Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре: пер. с фр. / А. Пуанкаре ; под ред. Н. Н. Боголюбова ; АН СССР. - Москва: Наука, 1974. - 770 с

43. Ребер А. С. Большой толковый психологический словарь: пер. с англ.: Т. 1 (А-О) / Ребер Артур. - Москва: Вече, Аст, 2000. - 592 с.

44. Сластенин В.А. Педагогика: учебник для вузов: рекомендовано УМО вузов РФ / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; под ред. В.А. Сластенина. – 10-е изд., перераб. – Москва: Академия, 2011. – 608 с.

45. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике : методическое пособие / З. И. Слепкань. - Киев : Радянська школа, 1983. - 192 с.

46. Столяр А. А. Логическое введение в математику / А. А. Столяр. - Минск: Вышэйшая школа, 1971. - 224 с.

47. Тематические планирования и контрольные работы : геометрия: 7-11 классы // Математика (Прилож. к газ. "Первое сентября"). - 2006. - № 13. - С. 3-48.

48. Фаткуллина Р. Б. Развитие критического мышления личности на основе информационных образовательных технологий / Р. Б. Фаткуллина // Педагогическое образование и наука. - 2010. - № 6. - С. 103-107.

49. Хабибуллин К. Л. Несколько простых вопросов преподавания геометрии / К. Л. Хабибуллин // Учитель. - 2012. - № 3. - С. 10-12.

50. Халперн Д. Ф. Психология критического мышления / Д. Ф. Халперн. - Санкт-Петербург : Питер, 2000. - 512 с.

51. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики / А. Я. Хинчин // Математика в образовании и воспитании / сост. В. Б. Филиппов. - Москва : ФАЗИС, 2000. - С. 64-103.

52. Хинчин А. Я. Педагогические статьи : вопросы преподавания математики : борьба с методическими штампами / А. Я. Хинчин ; под ред. и с предисл. Б. В. Гнеденко ; послесл. А. И. Маркушевича. - 2-е изд., стер. - Москва : КомКнига, 2006. - 208 с.

53. Шакирова Д. М. Технология формирования критического мышления старшеклассников и студентов / Д. М. Шакирова // Педагогика. - 2006. - № 9. - С. 72-77.

54. Шибаева С. Развиваем критическое мышление / С. Шибаева // Учитель. - 2012. - № 3. - С. 46-49.

55. Янчевская Л. А. Вопросы к тексту : 8 класс / Л. А. Янчевская // Математика - Первое сентября. - 2014. - № 11: О чтении и говорении. - С. 20-22.

66