Развивающие возможности задач на пропорциональную зависимость

Тема: «Развивающие возможности задач на пропорциональную зависимость».
РМО 1 ноября 2018 г.  Коренева Л.А.

Одна из основных целей начального курса математики - формирование умения решать текстовые задачи.

В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи, выявленные Лев Моисеевич Фридманом (российский советский психолог, педагог, математик, крупный специалист в области педагогической и математической психологии):
«1) общее умение решать задачи; 
2) умения решать задачи определенного вида (частное умение)»

Общее умение проявляется при решении учащимися любой незнакомой задачи, т. е. задачи такого вида, способ решения которой неизвестен ему.

Частное умение заключается в распознавании вида задач и применении известного теоретического материала и правила решения «таких» задач.

В основе этого подхода лежат классификации задач по видам и типам.

Существует много видов задач, как простых, так и составных. Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами.

Среди этих задач выделяют такие основные виды:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление;

3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Эти задачи вводятся в курс математики с 3 класса.

В задачах  рассматриваются группы пропорциональных величин: масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, количество вещей, общий расход материи и т. д.

Какая подготовительная работа должна быть проведена перед введением задач на пропорциональную зависимость?

1.     Формирование у младших школьников умения  анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами.

2.     Работа над величинами. (Дети должны хорошо знать названия величин: длина, масса, вместимость или объём, время и т.д.  и единицы их измерения).

3.     Путём решения простых задач на нахождение одной из величин по данным  значениям двух других величин, установить связи.  Например, задачи на нахождение стоимости по известным цене и количеству.  

·        Ручка стоит 8 рублей. Дима купил 3 такие ручки. Сколько денег заплатил Дима за покупку?

·        Вася купил 2 пирожка с мясом, заплатив за них 18 рублей. Какова цена пирожка?

·        Таня купила блокноты, заплатив 24 рубля. Сколько блокнотов купила Таня, если цена каждого - 6 рублей?

Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице. Это и есть задачи на нахождение четвёртого пропорционального. Решая такие задачи, учащиеся практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости.

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.

Рассмотрим задачу.  За 6 м ленты заплатили 18 рублей. Сколько  стоят 9 м такой ленты?

Запишем условие и вопрос задачи в таблицу.

Цена	Количество	Стоимость
? руб.  Одинаковая	6 м	18 руб.
? руб.   Одинаковая	9 м	? руб.

В содержании задачи на так называемое простое тройное правило участвуют три величины. Две из них  связанны пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти второе значение этой величины, при условии, что третья, связанная с ними величина остается без изменения. Условие и вопрос задачи удобно записывать в виде таблицы.

За 5 дней израсходовали 10 кг овощей. Сколько кг овощей израсходовали за 3 дня, если каждый день расходовали овощей поровну?

Запишем условие и вопрос задачи в таблицу. 

Расход овощей в 1 день	Количество дней	Общий расход овощей
? кг   Одинаковый	5 д.	10 кг
? кг   Одинаковый	3 д.	? кг

18 л морса разлили в 6 банок поровну. Сколько надо банок для 24 л морса?

Запишем условие и вопрос задачи в таблицу. 

Объем 1 банки	Количество банок	Общий объём
? л  Одинаковая	6 б.	18 л
? л  Одинаковая	?  б.	24 л

В 6 клетках живут 24 попугая. В скольких клетках живут 16 попугаев, если в каждой клетке живет одинаковое количество попугаев?

Запишем условие и вопрос задачи в таблицу. 

В 1 клетке	Количество клеток	Всего попугаев
? п.  Одинаково	6 к.	24 п.
? п.  Одинаково	?  к.	16 п.

Задачи на пропорциональное деление

Детям купили: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоят 6 стульев, купленных Оле, и сколько стоят 4 стула, купленных Кате?

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая - ?	6 стульев 4 стула

В задаче участвуют три  величины. Две из них  связаны  пропорциональной зависимостью: 1-я из них- постоянная, 2 и 3-я- переменные. Причем для одной из переменных величин даны 2 значения, для другой - сумма соответствующих значений. Слагаемые этой суммы являются искомыми. Основной признак задач этого вида - содержащиеся в задаче требования распределить одно числовое значение величины  пропорционально данным числам. Задачи на пропорциональное деление снова лучше всего представить в виде таблицы.

Подготовкой к решению задач данного вида является умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. Для ознакомления с задачами на пропорциональное деление в учебнике предлагается одновременно две задачи (Моро М.И. и др. Математика, 3 кл., 1997):

1) Детям купили: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?

2) Детям купили: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоят 6 стульев, купленных Оле, и сколько стоят 4 стула, купленных Кате?

Авторы предлагают следующую методику работы с этими задачами:

 Задача №1 является подготовительной ко второй задаче. Ученики читают задачу и рассматривают рисунок в учебнике. После этого записывают задачу кратко под руководством учителя и решают устно.

·        Какие величины даны в задаче? (Цена, количество, стоимость.) Запишем.

·        Что известно? (Количество стульев: Оле купили 6 одинаковых стульев, а Кате - 4 таких же стула; известна стоимость - все стулья стоили 500 р.)

·        Что надо узнать? (Цену.)

·        Что известно о цене? (Она одинаковая.) Запишем. Получается запись.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	6 стульев 4 стула	500 р.

·        Можно ли сразу узнать цену стула? (Нет.)

·        Почему? (Не знаем, сколько всего стульев купили.)

·        А это можно узнать? (Можно.)

·        Как решим эту задачу? (Сначала узнаем, сколько стульев купили: к 6 прибавим 4, получится 10. Купили 10 стульев.

·        Теперь узнаем цену стула: разделим 500 на 10, получится 50. Цена стула - 50 р.)

·        Прочитайте задачу № 2 и скажите, чем она отличается от предыдущей. (Эта задача отличается вопросом: здесь надо узнать не цену стула, а стоимость 6 стульев и 4 стульев.)

·        Запишем в краткой записи два вопросительных знака в колонке стоимость:

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая - ?	6 стульев 4 стула

·        Здесь два вопроса задачи. Назовите их. (Сколько стоят 6 стульев и сколько стоят 4 стула.)

·        Как узнать, сколько стоят 6 стульев? (Надо цену стула умножить на 6, а как находить цену, мы уже знаем.)

·        Как же решить задачу? (Сначала узнаем, сколько купили всего стульев, затем цену стула, потом стоимость 6 стульев.) Нельзя ли теперь узнать стоимость 4 стульев? (Можно: цену стула умножить на 4.)

Эту первую задачу на пропорциональное деление полезно решить с записью отдельных действий и пояснений к ним или так называемых вопросов:

1) Сколько всего стульев купили?

6+4=10 (ст.)

2) Сколько стоит один стул?

500:10=50 (р.)

3) Сколько стоят 6 стульев?

50·6=300 (р.)

4) Сколько стоят 4 стула?

50·4=200 (р.)

Ответ: 6 стульев стоят 300 р., 4 стула - 200 р.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

В этих задачах также участвуют три величины. Одна величина остается постоянной, у другой известны два значения, а для третьей дается разность значений, по которым надо найти два его значения, соответствующие двум значениям другой величины.

Задача.

Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Цена		Количество	Стоимость
П. Ш.	Одинаковая Одинаковая	14 м 10 м	? р., на 280 р. > ? р.

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше.

Подготовкой к решению задач этого вида является решение простых задач вида:

1)    Боря купил 5 тетрадей, а Миша 3 такие же тетради. Кто из них больше уплатил за свои тетради?

·        За сколько тетрадей Боря уплатил столько же, сколько Миша? (Решив эту задачу, учащиеся сравнивают разность количеств и разность стоимостей: купил на 2 тетради больше, и уплатил больше).

2) Боря и Миша купили тетради по одинаковой цене. Боря купил на 2 тетради больше и уплатил на 4 р. больше, чем Миша. Сколько стоила 1 тетрадь? (Решив задачу, учащиеся делают вывод, что по разности двух величин можно определить цену).

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

Среди  многообразия наиболее сложные задачи -  это задачи с пропорциональной зависимостью между величинами.