Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат по математике на тему "Логарифмическая спираль"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Реферат по математике на тему "Логарифмическая спираль"

библиотека
материалов























«Логарифмическая спираль»

hello_html_a4fbdc0.png



















2016

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе.

История

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

r = ae^{b\theta}\,

либо

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),,

где \theta — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

В параметрической форме может быть записана как

x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,

y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,

где ab — действительные числаt — аналог \theta в выражении в полярный координатах

Свойства

\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi;\quad b = \mathrm{ctg}\,\varphi.

  • Производная функции \mathbf{r}'(\vartheta) пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 (\varphi=\pi/2)спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности (\varphi \rightarrow 0),спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий \varphi до 90°, называется наклоном спирали.

  • Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.

  • Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников, спиралям циклонов и галактик.

  • Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=e^{m\theta}, где m  — новый параметр.

  • Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.

Интересные факты

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Basel_-_Grabstein_Bernoulli.jpg/220px-Basel_-_Grabstein_Bernoulli.jpg

Надгробие Бернулли

  • Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется ввиду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

  • В репертуаре группы Tool композиция Lateralus посвящена спиралям.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/LogSpyr_1.png/282px-LogSpyr_1.png

a=0.01, b=0.15

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/LogSpyr_3.png/300px-LogSpyr_3.png

a=1, b=0.15

 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/LogSpyr_2.png/300px-LogSpyr_2.png

a=1000, b=0.15

 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/300px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg

Раковина моллюска по форме близка к логарифмической спирали

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/300px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg

Область низкого давления над Исландией

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/300px-Messier51.jpg

Спиральная галактика Водоворот

Список используемой литературы для данного реферата прошу вас найти самостоятельно.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров415
Номер материала ДВ-377355
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх