Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат по математике на тему "Логарифмическая спираль"

Реферат по математике на тему "Логарифмическая спираль"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:























«Логарифмическая спираль»

hello_html_a4fbdc0.png



















2016

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе.

История

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

r = ae^{b\theta}\,

либо

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),,

где \theta — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

В параметрической форме может быть записана как

x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,

y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,

где ab — действительные числаt — аналог \theta в выражении в полярный координатах

Свойства

\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi;\quad b = \mathrm{ctg}\,\varphi.

  • Производная функции \mathbf{r}'(\vartheta) пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 (\varphi=\pi/2)спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности (\varphi \rightarrow 0),спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий \varphi до 90°, называется наклоном спирали.

  • Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.

  • Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников, спиралям циклонов и галактик.

  • Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=e^{m\theta}, где m  — новый параметр.

  • Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.

Интересные факты

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Basel_-_Grabstein_Bernoulli.jpg/220px-Basel_-_Grabstein_Bernoulli.jpg

Надгробие Бернулли

  • Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется ввиду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

  • В репертуаре группы Tool композиция Lateralus посвящена спиралям.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/LogSpyr_1.png/282px-LogSpyr_1.png

a=0.01, b=0.15

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/LogSpyr_3.png/300px-LogSpyr_3.png

a=1, b=0.15

 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/LogSpyr_2.png/300px-LogSpyr_2.png

a=1000, b=0.15

 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/300px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg

Раковина моллюска по форме близка к логарифмической спирали

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/300px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg

Область низкого давления над Исландией

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/300px-Messier51.jpg

Спиральная галактика Водоворот

Список используемой литературы для данного реферата прошу вас найти самостоятельно.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров213
Номер материала ДВ-377355
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх