РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ И МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФФЕСИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ДОНЕЦКИЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия

 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ И МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

2020

         Методическая разработка «Решение систем  линейных уравнений с использованием метода простых итераций и метода Зейделя» по учебной дисциплине ОП.14 «Численные методы» для студентов IV курса. – Донецк : ДОНПЭК, 2020г. - 18с. 

Специальность: 09.02.03  Программирование в компьютерных системах.

Разработчик:

Пономарёва Любовь Александровна, преподаватель математики Государственного профессионального образовательного учреждения « Донецкий промышленно-экономический колледж», квалификационной категории «специалист высшей категории»

Цель методической разработки – показать применение интерактивных информационных технологий во время проведения практических занятий с целью организации самостоятельной познавательной активности студентов; показать результативность репродуктивного и наглядного методов в организации самостоятельной работы студентов и проведение практических занятий; усовершенствовать методику проведения занятий с использованием мультимедийных методов обучения.

Рецензенты: 

            Чайковская Ирина Станиславовна, преподаватель математики, специалист высшей квалификационной категории, преподаватель-методист ГПОУ «Донецкий электрометаллургический техникум».

Подгорная Наталья Семёновна, председатель цикловой комиссии специальных технологических и технических дисциплин ГПОУ «Донецкий промышленно-экономический колледж», квалификационной категории «специалист высшей категории»

Рассмотрена и одобрена на заседании
цикловой комиссии специальных
технологических и технических дисциплин.

Протокол №_06_ от «_14_»___января___ 2020 г.

Председатель _________ Н.С. Подгорная

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка			4
План занятия			6
Структура занятия			8
Ход занятия			9
1.	Организационный момент		9
2.	Ознакомление студентов с темой и целью занятия		9
3.	Мотивация обучения		10
4.	Актуализация опорных знаний		11
5.	Комментарий ответов студентов		12
6.	Выполнение практической работы		12
	6.1	Выполнение практического задания	12
	6.2	Выполнение задания  для самостоятельной работы	16
7.	Закрепление материала		17
8.	Подведение итогов занятия		17
9.	Домашнее задание		17
Литература и информационные ресурсы			18
Приложения

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В данное время многие счётные задачи могут быть решены только с помощью современных вычислительных машин. Умение пользоваться прикладными программными пакетами, знание основ численных методов и способность к реализации базовых численных алгоритмов являются необходимыми навыками современного выпускника технического ГПОУ

Решение заданной проблемы содержит следующие основные этапы:

1. Физическая постановка задачи. На данном этапе описываются физические параметры задачи

2. Математическая постановка задачи. Выбор соответствующей математической модели, которая описывает данную физическую задачу в математических терминах.

3. Выбор числового метода для реализации математической модели.

4. Реализация метода на любом языке программирования или с помощью пакета решения прикладных задач (Excel).

5. Тестирование. Проведение тестовых расчетов и сравнение с точными решениями или данными эксперимента.

Простая математическая модель - это совокупность алгебраических уравнений, из которых явным образом вычисляются искомые величины. Однако чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями с частными производными. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием современных быстродействующих ЭВМ.

Даже для того, чтобы воспользоваться стандартной, то есть уже готовой программой, нужно иметь представления о существующих методах решения, их преимущества, недостатки и особенности использования.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближенные. Точные методы получают решения в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачи можно решить только приблизительно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

         Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в процесс решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на ЭВМ, а также связаны с точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность выбирают с учетом реализуемости алгоритма на той ЭВМ, которую предполагается использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить решение с заданной точностью за минимальное количество операций и, следовательно, за минимальное расчетное время.

При изучении темы «Решение систем  линейных уравнений с использованием метода простых итераций и метода Зейделя» мы знакомимся с основными методами, используемыми для решения систем линейных уравнений.

 В результате проведения практической работы студент должен  знать:

-  фундаментальные разделы математики для использования математического аппарата в процессе решения профессиональных задач;

-    построения математических моделей;

-    принципы теории численных методов решения математических задач;

-    основные понятия численных методов решения систем уравнений;

-    основные схемы численного решения систем уравнений.

Выполнение практической работы предусматривает, что подготовленные специалисты должны уметь:

-  применять базовые знания математики и физики, выполнять необходимые расчеты для осуществления профессиональной деятельности;

-  решать системы линейных уравнений больших порядков прямыми и итерационными методами;

-  применять вычислительные методы в разных областях науки для разработки и реализации математических моделей;

-  строить алгоритмы и программы решения соответствующих математических задач численными методами.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

Дата: 05.02.2020 г.

         Дисциплина: Численные методы

Группа: П-41/9

Специальность: 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»

Тема занятия: Решение систем  линейных уравнений с использованием метода простых итераций и метода Зейделя.

Цель занятия:

методическая – показать применение интерактивных информационных технологий во время проведения практических занятий с целью организации самостоятельной познавательной активности студентов; усовершенствовать методику проведения занятий с использованием мультимедийных методов обучения;

дидактическая – расширить, углубить и детализировать знания, полученные студентами на лекциях и в процессе самостоятельной работы, которые направлены на повышение уровня усвоения учебного материала. Сформировать представление о применении метода простых итераций и метода Зейделя при решении систем линейных уравнений. Выработать умение и навыки использования табличного процессора Excel при решении систем линейных уравнений численными методами

воспитательная - развивать познавательную активность студентов, их память и внимание; содействовать формированию познавательного интереса, развития технических умений  и профессиональных качеств в процессе обучения; воспитывать чувство ответственности и творческого мышления.

развивающая - развивать познавательную активность студентов, творческие навыки в познавательной деятельности, память и внимание, желание получению новых знаний.

Вид занятия: практическое занятие

Тип занятия: обобщение и закрепление полученных знаний,  с элементами интерактивных моделей обучения.

Форма проведения занятия: репродуктивная беседа с элементами  практической и самостоятельной работы с применением интерактивных технологий.

Методы и приемы: репродуктивная и эвристическая беседа с элементами метода проектов и наглядного информационно-исследовательского метода.

Междисциплинарные связи:

Обеспечивающие:  Элементарная математика, Информатика, Высшая математика, Дискретная математика

Обеспечиваемые: Программирование и алгоритмические языки, Основы программной инженерии

Методическое обеспечение занятия: рабочая программа, план занятия, инструкции к выполнению практической работы, слайды в виде презентаций в программе Power Point к актуализации опорных знаний.

Технические средства обучения: мультимедийный проектор; экран; компьютер.

Программное обеспечение: MS Office Excel; MS Office PowerPoint;

СТРУКТУРА  ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент                                                                                  1мин.

2. Ознакомление студентов с темой, целью, планом занятия                           2мин.

3. Мотивация обучения                                                                                     2мин.

4. Актуализация опорных знаний                                                                    15мин.

5. Комментирование ответов студентов                                                            2мин.

6.Выполнение практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с использованием метода простых итераций и метода Зейделя»  45мин.

6.1.Выполнение практического задания

6.2. Выполнение задания  для самостоятельной работы

7. Закрепление знаний студентов                                                                       5мин.

8. Подведение итогов занятия                                                                           2мин.

9. Объявление оценок                                                                                        1мин.

10. Домашнее задание                                                                                       1мин.

_________________________________________

Общее время занятия 80мин.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент

1.1.Преподаватель проводит проверку присутствия студентов, проверяет готовность студентов к занятию. Проверяет готовность аудитории к занятию.

2. Ознакомление студентов с темой  и  целью  занятия

         Преподаватель объявляет тему, цель занятия (тема и цель на слайде №1, Приложение 2):

Тема: Решение систем линейных уравнений с использованием методов простых итераций и метода Зейделя.

Цель:

методическая – показать применение интерактивных информационных технологий во время проведения практических занятий с целью организации самостоятельной познавательной активности студентов; усовершенствовать методику проведения занятий с использованием мультимедийных методов обучения;

дидактическая – расширить, углубить и детализировать знания, полученные студентами на лекциях и в процессе самостоятельной работы, которые направлены на повышение уровня усвоения учебного материала. Сформировать представление о применении метода простых итераций и метода Зейделя при решении систем линейных уравнений. Выработать умение и навыки использования табличного процессора Excel при решении систем линейных уравнений численными методами

воспитательная - развивать познавательную активность студентов, их память и внимание; содействовать формированию познавательного интереса, развития технических умений  и профессиональных качеств в процессе обучения; воспитывать чувство ответственности и творческого мышления.

развивающая - развивать познавательную активность студентов, творческие навыки в познавательной деятельности, память и внимание, желание получению новых знаний.

Преподаватель объявляет план занятия (план на слайде №2, Приложение 2):

План занятия

1. Выполнение практического задания

2. Выполнение заданий для самостоятельной работы

3. Мотивация обучения

Преподаватель объясняет мотивацию занятия:

Линейная алгебра, численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и численному исследованию процессов решения задач линейной алгебры.

Среди задач линейной алгебры самое большое значение имеют две: решение системы линейных алгебраических уравнений, определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, то есть нахождение обратной матрицы, вычисление определителя и т.д.

Любой цифровой метод линейной алгебры можно рассматривать как определенную последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется прямым. В противоположном случае численный метод называется итерационным. Прямые методы - это такие, как метод Гаусса, метод окаймления, метод пополнения, метод сопряжённых градиентов и др. Итерационные методы - это метод простой итерации, метод обращений, метод сменных направлений, метод релаксации и др.

Рассмотрим численные методы в электронных таблицах Excel.

Программа Excel, которая является одной из наиболее известных в обработке электронных таблиц, без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы.

Обработка текста, управление базами данных - программа настолько мощная, что во многих случаях превосходит специализированные программы - редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может сначала запутать, чем заставить применять их на практике. Но по мере обретения опыта начинаешь достойно ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.

За всю историю табличных расчетов с применением персональных компьютеров требования пользователей к подобным программам существенным образом изменились. В начале основной акцент в такой программе был на вычислительные функции. Сегодня, положение другое. Рядом с инженерными и бухгалтерскими расчетами организация и графическое изображение данных приобретают все большего значения. Кроме того, многообразие функций, предлагаемое такой расчетной и графической программой, не должно усложнять работу пользователя. Программы для Windows создают для этого идеальные предпосылки.

В последнее время многие как раз перешли на использование Windows в качестве своей пользовательской среды. Как следствие, много фирм, которые создают программное обеспечение, начали предлагать большое количество программ для Windows.

4. Актуализация опорных знаний

Для актуализации опорных знаний группа делится на две команды.

1.     По одному студенту (по желанию) из каждой команды вызываются к доске и решают задачу разными методами (метод Крамера, метод Гаусса), которые были изучены в курсе дисциплины «Линейная алгебра»

2.     Другие члены команд отвечают на вопросы, которые представлены на экране проектора (Приложение 3).

Вопросы:

1.     Какой вид имеет общая постановка задачи решения систем линейных уравнений?

2.     На рисунке изображено графическое решение двухмерной задачи решения систем линейных уравнений. Что можно сказать о наборе входных данных и об обусловленности задачи?

3.     От чего зависит характер и точность полученного решения систем линейных уравнений?

4.     Какие методы решения систем линейных уравнений вам известны?

5.     Что такое норма матрицы? Какие свойства норм матрицы вам известны?

6.     На чем основывается метод простых итераций приближенного решения системы А∙х=b?

7.     К какому виду необходимо привести задачу решения систем линейных уравнений? Каким образом можно это осуществить?

8.     Какое необходимое условие сходимости итерационного процесса?

9.      Каким образом выбирается начальное приближение х⁽⁰⁾ и по какому рекуррентному соотношению происходит многоразовое уточнение корня?

10. При каком условии прерывается итерационный процесс и что будет принято запрещение системы линейных уравнений?

11. Как можно определить необходимое количество итераций для итерационного процесса, чтобы достичь необходимой точности вычислений?

12. В чем состоит отличие метода Зейделя от метода простых итераций?

13. Какое достаточное условие сходимости метода Зейделя?

14. Как называется процесс метода Зейделя?

За каждый правильный ответ и комментарии команда получает вознаграждение в виде карточек-эмблем «Дополнительных баллов за знания» (Приложение 1)

5.     Комментарий ответов студентов

Преподаватель комментирует результат решения систем линейных уравнений студентов, которые решали пример на доске, обращает внимание на ошибки и указывает на  правильный ответ в случае неверного решения.

6. Выполнение практической работы

Преподаватель: Переходим к выполнению практической работы.

Преподаватель раздает инструкции к выполнению практической работы по теме «Решение систем линейных уравнений с использованием метода простых итераций и метода Зейделя»

Преподаватель: Прежде чем мы начнем выполнять практическую работу, вспомним методику решения систем линейных уравнений итерационным методом(на проекторе представлены слайды №1и №2 с методикой решения систем Приложение 4)

6.1. Выполнение практического задания

Студенты переходят за компьютеры и с помощью преподавателя (в случае необходимости) выполняют практическую работу.

Ход работы.

         (представленное в инструкциях к выполнению практических работ Приложение 5)

Методом простых итераций и методом Зейделя с точностьюΔ=0,0001 решить систему уравнений:

Решение.

1.     Преобразим систему видак виду .

Для начала проверим преобладание диагональных элементов, имеем

строка 1: - условие не выполняется,

строка 2: - условие не выполняется,

строка 3:  - условие не выполняется.

С помощью перестановки уравнений в системе приведем систему к виду, где будет выполнено условие преобладания диагональных элементов:

Из этой системы выразим , получим систему вида:

, где матрицаи вектор .

Найдем норму и норму :

2.     Зададим начальное приближение . По условию Δ=0,0001.

Метод простых итераций.

Введем исходные данные в лист Excel, как показано ниже,

где           С10=$H$4,   D10=$H$5,   Е10=$H$6.

Следующая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации:

С11 =$C$4*C10+$D$4*D10+$E$4*E10+$H$4

D11 =$C$5*C10+$D$5*D10+$E$5*E10+$H$5

Е11 =$C$6*C10+$D$6*D10+$E$6*E10+$H$6

F11{=МАКС(ABS(C11:E11-C10:E10))}, фигурные скобки означают нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enterпосле набора формулы.

Другие формулы для вычисленияполучаются копированием.

В результате имеем таблицу решения, при этом процесс решения остановился, когда выполнилось условие неравенства<0,0001.

Метод Зейделя.

Введем исходные данные в лист Excel, как показано ниже,

где           С10=$H$4,   D10=$H$5,   Е10=$H$6.

Следующая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации:

С11 =$C$4*C10+$D$4*D10+$E$4*E10+$H$4

D11 =$C$5*C11+$D$5*D10+$E$5*E10+$H$5

Е11 =$C$6*C11+$D$6*D11+$E$6*E10+$H$6

F11{=МАКС(ABS(C11:E11-C10:E10))}, фигурные скобки означают нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enterпосле набора формулы.

Другие формулы для вычисления получаются копированием.

 В результате имеем таблицу решения, при этом процесс решения остановился, когда выполнилось условие неравенства<0,0001.

6.2. Выполнение задания для самостоятельной работы

Студенты, которые были раньше разделены на 2 команды, начинают выполнять самостоятельную работу.

Сначала члены команды 1 выполняют решение задачи методом простых итераций, а члены команды 2 выполняют решение задачи методом Зейделя.

Потом после выполнения студенты меняются местами и начинают решение другим методом. При этом одновременно проверяют правильность решения своего оппонента.

Задача для самостоятельного выполнения

Решить систему уравнений методом простых итераций и методом Зейделя, с точностью Δ=0,0001, предварительно определить количество итераций.

Где k - порядковый номер компьютера, за которым сидит студент, N – номер команды, в которой он находится.

7.     Закрепление знаний студентов

Студенты каждой команды задают друг другу вопрос относительно выполнения практической работы и в случае необходимости дают комментарии (при правильном ответе преподаватель выдает студентам вознаграждение «Дополнительные баллы за знания» Приложение 1)

8. Подведение итогов занятия

Преподаватель комментирует активность студентов на лекции, правильности ответов при фронтальном опросе. Далее преподаватель делает общий итог занятия, акцентирует внимание на достижении цели занятия.

Проводится подсчет вознаграждения каждого студента и согласно этому выставляется оценка.

9. Домашняя задача.

Преподаватель задает домашнюю задачу к оформлению практической работы с указанием требований к оформлению практической работы.

(указания оформления практической работы Приложение Е).

Преподаватель                                                  ______________  Л.А.Пономарёва.

ЛИТЕРАТУРА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ

Основная

1.     Баминалов Н.С., Ляпин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб.пособие/ Подред. В.А.Садовничего – М.: Высш.шк.2000, - 190 с.

2.     Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал.-М.: Академия,2003,-192 с.: ил

3.     Численные методы в примерах и задачах: Учеб.пособие/В.І. Киреев,

А.В. Пантелеев.-М.: Высш. шк., 2004.-480 с.: ил

4.     Методические рекомендации к практикуму по методам вычислительной математики ( для студентов специальностей 01.01 и 01.02)/Сост.: О.П. Абрамова, Е.В. Алтухов, М.Д. Гремалюк и др. – Донецк: Донгу, 1990. - 80с.

Вспомогательная

1.     Данко П.Е.Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч.: Учеб.пособие для вузов. - М.: ОНИКС 21 век, 2005. - 304÷416с.

2.     Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебн. пособ., М.: Высш. шк., 2005, 544 с.

3.     Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Учебник для вузов. М.:  Физматлит, 2003, 400 с.

4.     Мышкис, Анатолий Дмитриевич. Элементы теории математических моделей. Изд. 2-е,  испр. - М.:  2004. - 192 с

5.     Гельман, В.Я. Решение математических задач средствами Ехсеl: Практикум / Гельман  В.Я. – Спб.: Питер, 2003. - 237 с.

6.     Каганов, Вильям Ильин. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad. - М.:  Горячая линия – Телеком, 2003. - 328с. «Академкнига», 2006.

Информационные ресурсы

1.     Образовательный математический сайт «Exponenta.ru»

http://www.exponenta.ru/educat/free/free.asр

2.     Математический портал «Lineyka»

http://www.lineyka.inf.ua/

3.     Математический сайт «math.ru»

http://www.math.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ   1

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ БАЛЛЫ ЗА ЗНАНИЯ

(каждая эмблема приравнивается одному балу)

Эмблема 1.

Эмблема 2.

Эмблема 3.

Эмблема 4.

Эмблема 5.

ПРИЛОЖЕНИЕ   2

Слайд №1 «Тема и цель занятия»

Слайд №2  «План занятия»

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Слайд №1.	Слайд №2.
Слайд №3.	Слайд №4.
Слайд №5.	Слайд №6.
Слайд №7.	Слайд №8.
Слайд №9.	Слайд №10.
Слайд №11.	Слайд №12.
Слайд №13.	Слайд №14.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Слайд №1.

Слайд №2.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФФЕСИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ДОНЕЦКИЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

ИНСТРУКЦИЯ

к выполнению практической работы

учебной дисциплины «Численные методы»

по теме «Решение систем линейных уравнений с использованием

метода простых итераций и метода Зейделя»

специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»

2020

Инструкция к выполнению практической работы дисциплины «Численные методы» специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах». – ГПОУ «ДОНПЕК»: Донецк, 2018.    

Составитель: Пономарёва Любовь Александровна, преподаватель математики и информатики, квалификационной категории «специалист высшей категории»

Задания инструкции, охватывающие теоретические вопросы, направленные на практическое обобщение, закрепление и проверку знаний студентов с дисциплины «Численные методы», содержат методические рекомендации к оформлению и защите практической работы.

Рассмотрена и одобрена на заседании
цикловой комиссии специальных
технологических и технических дисциплин.

Протокол №_06_ от «_14_»___января___ 2020 г.

Председатель _________ Н.С. Подгорная

СОДЕРЖАНИЕ

ВСТУПЛЕНИЕ…………………………………………………………….			3 стр.
1.	Требования к написанию отчета практической работы
	1.1.	Методика оформления отчета………………………	4 стр
	1.2.	Оформление списка использованной литературы…..	4 стр
	1.3.	Требования к оцениванию практических работ………..	5 стр.
2.	Задание к практической работе…………………………		6 стр.
3.	Литература и информационные ресурсы…………………….		14 стр.

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель методических указаний – научиться правильно оформлять отчеты практических работ по дисциплины «Численные методы».

Методические указания предназначены для ознакомления студентов с дисциплиной «Численные методы». В них рассматриваются вопросы, связанные с изучением фундаментальных понятий, законов и методов численных методов, которые позволяют решать разные задачи из профессиональной деятельности.

Для закрепления материала по дисциплине, в каждой работе приведены контрольные вопросы.

Практическая работа является важнейшей формой организации учебного процесса. Цель проведения и выполнения практических работ по дисциплине «Численные методы»:

- обобщение, углубление и расширение знаний студентов в процессе выполнения конкретных практических задач;

- овладение практическими приемами по дисциплине «Численные методы»;

- развитие у студентов профессиональных привычек, а также практическое овладение методами экспериментальных исследований и обработки результатов;

- приобретение умений и навыков применения методов расчетов основных статистических характеристик с применением ПК.

Практические занятия являются частью учебного процесса курса «Численные методы». Выполнение практической работы студентами дает возможность показать свои знания как теоретические, так и практические по данной теме курса.

Цель практических работ - приобретение студентами практических навыков при решении задач из всех разделов дисциплины.

После завершения практического курса студенты должны

знать:

-  фундаментальные разделы математики для использования математического аппарата в процессе решения профессиональных задач;

-  построения математических моделей;

-  принципы теории численных методов решения математических задач;

-  основные понятия численных методов решения уравнений, аппроксимации функций, численного дифференцирования и интегрирования;

-  основные схемы численного решения уравнений, аппроксимации функций, численного интегрирования

уметь:

-     применять базовые знания математики и физики, выполнять необходимые расчеты для осуществления профессиональной деятельности;

-       решать нелинейные уравнения и системы линейных уравнений больших порядков прямыми и итерационными методами, выполнять аппроксимацию функций и вычислять интегралы;

-       применять вычислительные методы в разных областях науки для разработки и реализации математических моделей;

-       составлять алгоритмы и программы решения соответствующих математических задач численными методами.

1.ТРЕБОВАНИЯ К НАПИСАНИЮ ОТЧЕТА

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

1.1 Методика оформления отчета

Выполнение практического или лабораторного занятия оформляется письменно в виде небольшого отчета. Эта работа должна сформировать у студента навыки к самостоятельной работе, творческого, научного подхода к профессиональной подготовке, умению работать с документами, нормативными инструкциями, используя для этого компьютер и программное обеспечение, а также с учебной литературой по данной теме, которая содействует закреплению учебного материала.

Отчет по каждой практической работе должен содержать:

-        тему практического занятия;

-        цель занятия;

-                номер варианта;

-        письменные ответы на контрольные вопросы;

-        ход решения задачи с описанием всех использованных формул, свойств и теорем.

Работа выполняется рукописно в тетради для практических работ.

Каждая практическая работа содержит то количество вариантов задач сколько студентов в группе. Номер варианта студента совпадает с последней цифрой его порядкового номера в учебном журнале.

После написания темы занятия и его цели, студенты выполняют работу ("ход работы").

После описания выполнения работы, студенты записывают контрольные вопросы теоретической части и должны письменно ответить на контрольные вопросы к данной работе.

В конце выполненной работы студенты делают вывод по выполненной работе, обосновывают и аргументируют его, указывают на основные моменты занятия.

1.2 Оформление списка использованной литературы.

Список использованной литературы размещается в конце отчета и оформляется таким образом:

-                     номер по порядку;

-                     перечень учебной литературы и периодических изданий: Ф.І.О. автора, название работы, особенности издания, организация-издатель, дата издания, указать страницы, использованные при выполнении практической работы.

Пример написания списка использованной литературы:

Ярмуш О. В., Редьког.Р. Информатика и компьютерная техника: Навч. Пособие.-К.: Вещее образование,2006.

1.3. Требования к оцениванию практических работ и отчетов

На оценку «5» (отлично) студент должен:

·              верно решить все практические задачи с использованием и полным описанием всех необходимых теорем, формул, свойств и соотношений;

·              достичь цель занятия;

·              опрятно, грамотно составить отчет;

·              уметь защитить отчет.

На оценку «4» (хорошо) студент должен:

·     с незначительными неточностями и ошибками решить все практические задачи

·     достичь цель занятия;

·     опрятно, грамотно составить отчет с некоторым нарушением требований оформления;

·     защитить отчет.

На оценку «3» (удовлетворительно) студент должен:

·     не в полном объеме решить практические задачи;

·     составить отчет с нарушением норм оформления;

·     допустить ограниченное количество грамматических ошибок во время составления отчета.

На оценку «2» (неудовлетворительно) студент должен:

·     не решить практические задачи;

·     не оформить отчет;

·     не защитить отчет.

2.ЗАДАЧА К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2.

Тема: Решение систем линейных уравнений с использованием метода  простых итераций и метода Зйделя.

Цель: Закрепить использование алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений. Сформировать представление о применении метода простых итераций и метода Зейделя при решении прикладных задач. Выработать умение и навыки использования табличного процессора Excel при решении систем линейных уравнений численными методами.

ПЛАН

1.     Ознакомление с правилами техники безопасности.

2.     Актуализация знаний.

3.     Рассмотрение основных понятий.

4.     Выполнение практической работы.

5.     Задание для самостоятельного выполнения.

1. Инструкция по технике безопасности и правил поведения в компьютерной аудитории

1.     К работе в компьютерной аудитории допускаются лица, ознакомленные с данной инструкцией по технике безопасности и правилами поведения, и которые поставили подпись в журнале по технике безопасности.

2.     Работа студентов в компьютерной аудитории разрешается только в присутствии преподавателя (инженера, лаборанта).

3.     Во время занятий посторонние лица могут находиться в аудитории только с разрешения преподавателя.

4.     Напряжение в сети аудитории включается и выключается только преподавателем.

Перед началом работы необходимо:

-       убедиться в отсутствии видимых повреждений на рабочем месте;

-       разместить на столе тетради, учебные пособия так, чтобы они не мешали работе на компьютере;

-       принять правильную рабочую позу;

-       если сеанс работы предыдущего пользователя не был завершен, завершить его.

При работе в компьютерной аудитории категорически запрещается:

-       входить в класс без разрешения преподавателя (инженера, лаборанта);

-       находиться в аудитории в верхней одежде, грязной обуви; работать во влажной одежде;

-       класть одежду и сумки на компьютерные столы;

-       загромождать проходы в кабинете сумками, портфелями, стульями;

-       находиться в аудитории с пищей и напитками;

-       располагаться позади или сбоку от включенного монитора;

-       присоединять или отсоединять кабели, трогать разъёмы, проводы и розетки;

-       подключать другую аппаратуру к компьютеру;

-       передвигать компьютеры;

-       открывать системный блок;

-       стараться самостоятельно устранять неисправности в работе аппаратуры;

-       перекрывать вентиляционные отверстия на системном блоке и мониторе;

-       ударять по клавиатуре, нажимать бесцельно на клавишу, нажимать на клавишу инородными телами;

-       эксплуатировать неисправную технику;

-       класть книги, тетради и т.п. на клавиатуру;

-       удалять или перемещать чужие файлы;

-       приносить и запускать компьютерные игры;

-       брать со стола преподавателя аппаратуру, документацию.

Находясь в компьютерной аудитории, студенты обязаны:

-       работать только на том компьютере, который выделен на данное занятие;

-       соблюдать тишину и порядок;

-       выполнять все требования преподавателя, инженера и лаборанта;

-       работать только под своим именем и паролем;

-       соблюдать режим работы (продолжительность беспрерывной работы за компьютером не больше двух часов с обязательным 10-минутным перерывом и гимнастикой для глаз; продолжительность интенсивной работы с клавиатурой не больше 30 минут с дальнейшей гимнастикой для рук; общая продолжительность работы не больше 4 часов на день);

-       при появлении рези в глазах, резкое ухудшение видимости, невозможность сосредоточить взгляд или привести его на резкость, появлению боли в пальцах и кистях рук, усиление сердцебиения немедленно оставить рабочее место, сообщить о событии преподавателю и обратиться к врачу;

-       после окончания работы завершить все активные программы и корректно выключить компьютер;

-       оставить рабочее место чистым.

Работая за компьютером, необходимо соблюдать правильную позу:

-       расстояние от экрана до глаз 70-80 см (расстояние вытянутой руки);

-       спина прямая, держать вертикально;

-       плечи опущены и расслаблены;

-       ноги на подлоге, если она есть и не скрещены;

-       локти, запястья и кисти рук на одном уровне;

-       локтевые, тазобедренные, коленные, голеностопные суставы под прямым углом.

5.     При появлении программных ошибок или сбои оборудования студент обязан немедленно обратиться к преподавателю (инженеру, лаборанту).

6.     В случае неисправности или выхода из строя оборудование компьютерного класса по вине пользователя ремонт или замена оборудования проводится за счет пользователя. Помните, что Вы отвечаете за состояние рабочего места и сохранения размещенного на нем оборудования!

7.     На перерыве аудитория закрывается для проветривания.

8.     Необходимо постоянно соблюдать правила техники безопасности. Нарушение этих правил может привести к поражению электрическим током, вызвать загорание.

При эксплуатации необходимо остерегаться:

–        поражение электрическим током;

–        механических повреждений, травм.

2. Актуализация опорных знаний.

Контрольные вопросы.

1.      В чем состоит суть итерационных методов решения систем линейных уравнений?

2.      Что такое норма матрицы и как определить норму матрицы?

3.      Какое достаточное условие сходимости метода простых итераций?

4.      При каком условии сходится итерационный процесс исходной системы линейных уравнений?

5.      Как определить необходимое количество итераций?

6.      Каким образом превратить систему видак виду ?

7.      При каком условии прерывается итерационный процесс?

8.      В чем состоит отличие метода простых итераций от метода Зейделя?

3. Основные понятия.

Алгоритм метода простых итераций:

1.     Исходная задачапревратится к равносильному виду. Для этого необходимо, чтобы норма матрицы a была меньше единице: .

2.     Вектор b принимается в качестве начального приближения . Задать малое положительное число( (точно). Положить k=0.

3.      Многократно выполняются действия по уточнению решения согласно рекуррентному соотношению:

4.     Если выполнено условие то процесс завершается и положить. Иначе положить k=k+1 и перейти к п. 3.

Образец  вычисления нормы матрицы:

Норма матрицы равняется максимальной из суммы модулей элементов строк матрицы

Метод преобразования матрицык равносильному виду:

Уравнения, которые входят в системупредставляются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов:

Потом первое уравнение  разрешается относительно , второе относительно  и т.д. При этом выходит матрица ( с нулевыми диагональными элементами.

Формула определения количества итераций необходимых для достижения заданной точности:

Алгоритм метода Зейделя:

1.     Исходную  систему преобразовать  к равносильному виду. Для этого необходимо, чтобы норма матрицы a была меньше единице: .

2.     Вектор b принимается в качестве начального приближения . Задать самостоятельно малое положительное числоили взять из условия задачи. Положить k=0.

3.     Многократно выполняются действия по уточнению решения согласно рекуррентному соотношению:

4.     Если выполняется  условие,то процесс завершается и положить. Иначе положить k=k+1 и перейти к п. 3

4. Ход работы.

Методом простых итераций и методом Зейделя с точность ɛ=0,0001 решить систему уравнений:

Решение.

3.     Преобразим систему видак виду .

Для начала проверим преобладание диагональных элементов, имеем

строка 1: - условие не выполняется,

строка 2: - условие не выполняется,

строка 3:  - условие не выполняется.

С помощью перестановки уравнений в системе приведем систему к виду, где будет выполнено условие преобладания диагональных элементов:

Из этой системы выразим , получим систему вида:

, где матрицаи вектор .

Найдем норму и норму :

4.     Зададим начальное приближение . По условию ɛ=0,0001.

Метод простых итераций.

Введем исходные данные в Excel, как показано ниже,

где           С10=$H$4,   D10=$H$5,   Е10=$H$6.

Следующая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации:

С11 =$C$4*C10+$D$4*D10+$E$4*E10+$H$4

D11 =$C$5*C10+$D$5*D10+$E$5*E10+$H$5

Е11 =$C$6*C10+$D$6*D10+$E$6*E10+$H$6

F11{ =МАКС(ABS(C11:E11-C10:E10))}, фигурные скобки означают нажатие комбинации клавиш  ctrl+shift+enter  после набора формулы.

Другие формулы для вычислениявыходят копированием.

 В результате имеем таблицу решения, при этом остановили процесс решения при <0,0001.

Метод Зейделя.

Введем исходные дани в Excel, как показано ниже,

где           С10=$H$4,   D10=$H$5,   Е10=$H$6.

Следующая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации:

С11 =$C$4*C10+$D$4*D10+$E$4*E10+$H$4

D11 =$C$5*C11+$D$5*D10+$E$5*E10+$H$5

Е11 =$C$6*C11+$D$6*D11+$E$6*E10+$H$6

F11{ =МАКС(ABS(C11:E11-C10:E10))}, фигурные дужки означают нажатие комбинации клавиш  ctrl+shift+enter  после набора формулы.

Другие формулы для вычислениявыходят копированием.

 В результате имеем таблицу решения, при этом остановили процесс решения при <0,0001.

Таким образом можно заметить, что метод Зейделя быстрее сходится чем метод простых итераций и имеет большую точность.

5.     Задача для самостоятельного выполнения.

Решить систему уравнений методом простых итераций и методом Зейделя, с точностью ɛ =0,001, предварительно определить количество итераций

Где k - порядковый номер студента в списке, N - последняя цифра номера группы.

Литература:

1.     Численные методы в примерах и задачах: Учеб.пособие/В.І. Киреев,

 А.В. Пантелеев.-М.: Высш. шк., 2004.-480 с.: ил

2.     Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал.-М.: Академия,2003,-192 с.: ил

3.     БаминаловН.С., ЛяпинА.В., ЧижонковЕ.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб.пособие/ Подред. В.А.Садовничего – М.: Высш.шк.2000, - 190 с.

4.     Методические рекомендации к практикуму по методам вычислительной математики ( для студентов специальностей 01.01 и 01.02)/Сост.:

О.П. Абрамова, Е.В. Алтухов, М.Д. Гремалюк и др. – Донецк: Донгу, 1990. - 80с.