Решение задач по теме «Кредиты, с заданной последовательностью долгов»
Бабинер Е.С.,
старший преподаватель кафедры общего образования и воспитания
ОГАОУ ДПО «Институт повышения квалификации педагогических работников»
Для выявления закономерности составим следующую таблицу:
0
1
2
3
…
…
…
…
Тогда
. (1)
Откуда
Если последовательность задана в частях, то есть , то таблица принимает вид:
0
1
2
3
…
…
…
…
Тогда
(3)
Если последовательность задана в процентах, то переводим проценты в части и используем в решении формулу (3).
Задача 1
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: .
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего месяца, где целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (млн.руб.)
1
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Найти наибольшее значение , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Решение.
По формуле (1) получаем:
.
Учитывая то, что :
Откуда:
Так как требуется наибольшее значение , следовательно, или 8%.
Задача 2
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: наименьшее .
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг (млн.руб.)
0,7
0,4
0
Найти наименьшее значение , при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
Так как наименьшая выплата , поэтому решаем неравенство:
Поэтому млн.рублей.
Задача 3
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: .
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным S тыс рублей;
выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс рублей;
к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найти общую сумму выплат за 5 лет.
Решение.
Составим таблицу для , и , с учетом условия и :
0 Так как
, то .
Так как
, то .
Сумма все выплат:
тыс рублей.
Задача 4
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: .
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – натуральное число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг (млн.руб.)
0,7
0,4
0
Найти наименьшее значение , при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
Перейдем к обыкновенным дробям:
Для того, чтобы каждая из выплат составляла целое число, надо чтобы млн руб.
Задача 5
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: наибольшее .
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на S млн рублей, где S – целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
2016
2017
2018
2019
2020
Долг (в млн.рублей)
S
0,8S
0,5S
0,1S
0
Найдите наибольшее значение S, чтобы общая сумма выплат была меньше 50 млн рублей?
Решение.
Используя формулу (3), получаем:
Следовательно, млн руб.
Задача 6
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: наименьшее .
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на 10 по сравнению с концом предыдущего месяца;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг (млн.руб.)
0,8
0,3
0
Найти наименьшее значение , при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Решение.
Находим выражение для каждой из выплат:
Решаем неравенство:
Следовательно,
Задача 7
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: .
В конце сентября 2016 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на 6% по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;
в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;
долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
1
2
3
4
Долг (в процентах)
75
40
0
На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение.
Представим последовательность долгов в частях:
1
2
3
4
Долг (в процентах)
1
0,75
0,4
0
По формуле (3) определяем общую сумму выплат:
Чтобы узнать, на сколько процентов общая сумма выплат будет больше суммы кредита, надо найти значение выражения:
Задача 8
Известно: .
Неизвестно: .
Найти: .
Виктория Викторовна взяла в банке кредит 1 500 000 рублей на 5 лет при условии:
долг будет возвращаться пятью платежами, производимыми в конце каждого из пяти лет;
имеющийся в начале каждого (начиная с первого) года долг будет в конце года увеличиваться на 15%;
в конце года, уже после начисления процентов, часть долга необходимо погасить в таком объеме, чтобы остаток был равен сумме указанной в таблице:
1
2
3
4
5
Текущий долг (в рублях)
1 200 000
900 000
600 000
300 000
0
На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение.
По формуле (1) находим общую сумму выплат:
Чтобы узнать, на сколько процентов общая сумма выплат будет больше суммы кредита, надо найти значение выражения:
Источники задач
https://ege.sdamgia.ru/
http://alexlarin.net/
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года: учебно-методическое пособие Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-наДону: Легион,2016. – 384 с.
Семенов А.В. Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие./А.В. Семенцов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров; под редакцией И.В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2017. – 192 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.