Самостоятельная работа в тестовой форме «Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений»

Самостоятельная работа в тестовой форме

«Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений»

Базовая теория по теме

Система m уравнений с n неизвестными х₁, х₂, ... , х_n вида:

                                     (1.1)

называется системой линейных уравнений.

Если b₁ = b₂ = ... = b_m = 0, то система называется однородной, и неоднородной в противном случае.

Набор чисел  называется решением системы, если при подстановке этих чисел в уравнения системы (2.1) вместо неизвестных все уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной, и несовместной, если решений нет.

Система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если решений более одного.

Коэффициенты при неизвестных a_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу , которая называется матрицей системы.

Матричное решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:

Пусть матрица системы  является невырожденной. Обозначим через Х матрицу-столбец, составленную из неизвестных х₁, х₂, ..., х_n, и через В матрицу-столбец из свободных коэффициентов b₁ , b₂ ,..., b_n , т.е.

.

Тогда систему можно записать в матричном виде:

.

Для того чтобы найти решение системы, умножим левую и правую части последнего равенства на матрицу А^–1 слева (произведение матриц не коммутативно), получим:

.

Отсюда матричное решение системы будет:

.                                                    (1.2)

Образцы решения типовых задач

Дана система линейных уравнений

Решить систему средствами матричного исчисления

Решение.

Формируем матрицы, состоящие из элементов системы

, ,

Определитель системы , следовательно, матричный метод применим. Запишем систему в матричном виде

             

Вычисляем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; ;

; ;

Составляем обратную матрицу

 

Воспользуемся формулой

                                                      получаем

; ; .

Ответ: ; ; .

Тестовое задание

1.	Формула матричного решения систем линейных алгебраических уравнений имеют вид
	1)	3)
	2)	4)
2.	Формула для вычисления обратной матрицы
	1)	3)
	2)	4)
3.	Алгебраическим дополнением элемента  матрицы А называется число, вычисляемое по формуле
	1)	3)
	2)	4)
4.	Если , , тогда матрица  имеет вид …
	1)	3)
	2)	4)
5.	Если , , тогда матрица  имеет вид …
	1)	3)
	2)	4)
6.	Если , , тогда матрица  имеет вид …
	1)	3)
	2)	4)
7.	Если , , тогда матрица  имеет вид …
	1)	3)
	2)	4)
8.	Если , , тогда матрица  имеет вид …
	1)	3)
	2)	4)
9.	Алгебраическое дополнение элемента  матрицы  имеет вид…
	1)	3)
	2)	4)
10.	Алгебраическое дополнение элемента  матрицы  имеет вид…
	1)	3)
	2)	4)
11.	Алгебраическое дополнение элемента  матрицы  имеет вид…
	1)	3)
	2)	4)
12.	Алгебраическое дополнение элемента  матрицы  имеет вид…
	1)	3)
	2)	4)
13.	Алгебраическое дополнение элемента  матрицы  имеет вид…
	1)	3)
	2)	4)
14.	Алгебраическое дополнение элемента   матрицы системы , равно
	1)  1	3)  4
	2)-1	4)  -4
15.	Алгебраическое дополнение элемента   матрицы системы , равно
	1)  3	3)  4
	2)-1	4)  -4
16.	Алгебраическое дополнение элемента   матрицы системы , равно
	1)  1	3)  2
	2)-1	4)  -2
17.	Алгебраическое дополнение элемента   матрицы системы , равно
	1)  1	3)  2
	2)-1	4)  -2
18.	Обратная матрица к матрице системы , имеет вид
	1)	3) )
	2)	4)
19.	Обратная матрица к матрице системы ,  имеет вид
	1)	3) )
	2)	4)
20.	Обратная матрица к матрице системы имеет вид
	1)	3) )
	2)	4)

Критерии оценивания

Критерии оценки самостоятельной работы студента по результатам выполнения тестового задания. :

-     5 «отлично» - от 85% до 100% правильно выполненных заданий;

-     4 «хорошо» - от 75% до 85% правильно выполненных заданий;

-     3 «удовлетворительно» - от 60% до 75% правильно выполненных заданий;

-     2 «неудовлетворительно» - до 60% правильно выполненных заданий.

Каждый тест содержит 20 задач разных уровней сложности.

Каждое правильно решённое тестового задания оценивается в 1 балл. Максимально возможное количество баллов:   (баллов).

Тест оценивается:

-     на «неудовлетворительно» в случае, если при проверке работы набрано
менее 12 баллов;

-     на «удовлетворительно» в случае, если при проверке работы набрано
12 – 14 баллов;

-     на «хорошо» в случае, если при проверке работы набрано 15 -17 баллов;

-     на «отлично» 18-20 баллов.

Основные источники

1. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т 1/ Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. – Москва: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2020.-304 с. – (Среднее профессиональное образование). Электронно-библиотечная система znanium.com – URL: http://znanium.com/catalog/product/615108/  (дата обращения: 08.08.2023). –  Режим доступа: для авториз. пользователей

2. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т 2 / Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. – Москва: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2020.-368 с. – (Среднее профессиональное образование). Электронно-библиотечная система znanium.com –  URL: http://znanium.com/catalog/product/872363/  (дата обращения: 08.08.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей

Дополнительные источники

1.   Туганбаев, А. А. Основы высшей математики. Часть 1: учебник для СПО /  А. А. Туганбаев. – Санкт-Петербург: Лань, 2021. – 312 с. – ISBN 978-5-8114-6374-9. – Текст: электронный // Лань: электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/159503 (дата обращения: 10.09.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

2.   Российская государственная библиотека [Электронный ресурс] / Центр ин­форм. технологий РГБ. – Электрон.дан. – М.: Рос.гос. б-ка,  – Режим досту­па: http://www.rsl.ru/   

3.   Электронная математическая энциклопедия [Электронный ресурс] / мате­ма­тический портал – Режим доступа: http://www.algebraic.ru/