Семинар для 11 класса по математике "Применение интеграла для нахождения площадей фигур"

Семинар для 11 класса

Тема: «Применение интеграла для нахождения площадей фигур»

Цель: сформировать знания разбиения фигуры на криволинейные                 трапеции, умения находить площади этих трапеций. Развивать навыки логического мышления при решении поставленных задач.                  Воспитывать чувство ответственности и умение решать любыезадачи путем сведения их к решению простейших.

Ход семинара.

I. Подготовка к семинару.

1) С помощью кодокарточки проверить выполнение домашнего          задания. На дом было задано: построить фигуры, ограниченные линиями:

               а) y=3х + 6, х=-1,  х=2,   у=0;

               б) y=3 + 2x – x²,   y=0;

               в) у=x² - 2x -3,     y=0;

               г) у=x² - 2x -3,  y=0,    x=0,   x=2;

               ) у=x² - 2x -3,     y=0,   у=x² - 18x + 17;

               е) у=-x² + 4;    у=x² - 2x .

2) Повторить вопросы фронтально:

               а) В чем геометрический смысл интеграла?

               б) Какие ограничения накладываются на функцию y=f(x)?

               в) Назовите криволинейные трапеции по рисункам домашнего

                  задания

г) Для каких из названных фигур мы можем найти площади

                  используя определение интеграла?

Сегодня на уроке мы познакомимся, как находить площади различных фигур с помощью интеграла.

          II. Выступление учащихся.

I тема

(выполняет первая группа)

а) Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=0, x=a, x=b,  то  из геометрического смысла интеграла следует, чтоплощадь фигуры равна:

S=

Пример: Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=3x²+1,y=0, x=-1, x=2

y

 

                                         -1                 2                      x

 

 Решение.

б) Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=0, то чтобы найти площадь криволинейной трапеции надо сначала найти a и b - это точки, в которых график функции y=f(x) пересекаетось ОХ.Для этого надо решить уравнение   f(x)=0

          Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=3+2x–x² и y=0

y

 

                                        -1                     3                                       x

 

Решение

Решим уравнение f(x)=0. То есть  3 + 2x – x²=0. Получим  х₁= -1 и х₂=3 (х1 < x2). Поэтому а = х₁ = -1,b = x₂ = 3. И тогдаS=

II тема.

(выполняет вторая группа учащихся)

1. Если фигура ограничена линиями y=f(x), y=0, x=a, x=bно графикфункции y=f(x) лежит ниже оси ОХ на[a;b], то есть f(x)<0 на [a;b]. Так как f(x)<0 на [a;b],то –f(x)>0 на [a;b]. И поэтому  S =   .

Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x²-2x-3, y=0, x=0, x=2.y

 

                                       -1                     3                                       x

 

Так как f(x)< O на [O, 2], то S = –

2. Если фигура ограничена линиями y=f(x), y=0, но график функции y =f(x) лежит ниже оси ОХ на [a,b],то есть  f(x) <0 на [a,b],то площадь фигуры вычисляется то же по формуле. Пределы интегрирования,числа aи bнаходятся из уравнения f(x)=0.

Пример 4. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x²-2x-3, y=0.

y

                                       -1                     3                                       x

 

Решение

Найдем пределы интегрирования. Для этого решим уравнениеx²-2x-3=0.Получим корни х₁=-1 и х₂=3. Поэтому а=-1, b=3.Значит 

III тема

(выполняет 3  группа учащихся)

Если фигура ограничена линиями y=f(x) и y=g(x), тов этом случае фигура получается как разность двух криволинейных трапеций. Площадь такой фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b и y=g(x), y=0, x=a, x=b. Чтобы найти           пределы интегрирования, надо решить уравнениеf(x)=g(x). Итогда , если f(x)>g(x) на [a;b].Или  , если g(x)>f(x) на [a,b].

Пример 5.    Найти площадь фигуры ограниченной линиями f(x)=-x²+4 и g(x)=x²-2x

y

                                       -1                     3                                       x

 

Решение.

В этом случае площадь фигуры находим как разность площадейдвух криволинейных трапеций. Пределы интегрирования найдем из уравнения f(x)=g(x), то есть:  ;; ; . Поэтому a = -1   b = 2  и f(x) > g(x) на [-1,2].Таким  образомS===== =

IV тема.

(выполняет 3  группа учащихся)

Если фигура, ограничена линиями y = f(x), y = g(x), y = 0,то в этом случае фигура состоит из двух криволинейных трапеций: трапеции – ограниченной  линиями y=f(x), x = a, x = b и трапеции, ограниченной линиями ограниченной  линиями y = g(x), x = b, x = c. Площадь этой фигуры равна сумме площадей двух криволинейныхтрапеций. Из уравнения f(x) = 0 находим а, из уравнения           f(x) = g(x) находим b, из уравнения  g(x) = O находим с.

И тогда S = ,a<b<c

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

f(x) = x²+ 2x - 3,  g(x) = x² -10x+21,  y = O

y

3                                       x

                                                   1    2

Решение.

Находим  пределы интегрирования.  . Значит а=1.. Таким образом  b=2.Таким образом с = 3. Из этого следует, что площадь искомой  фигуры равна S =  +  =  +  = + ==