Решение задач (базовый уровень)

1.    Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из  В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 2 часа после встречи, а автомобилист в А через 30 минут после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?  Ответ: 3

2.    Маша и Настя могут вымыть окно за 20 минут. Настя и Лена могут вымыть  это же окно за 15 минут, а Маша и Лена – за 12 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? Ответ дайте в минутах.  Ответ: 10

3.    Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 2 литра бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 210 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 42 литра бензина. Сколько литров бензина расходует автомобиль на 100 км пробега  в городе. Ответ: 14

4.    Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой 300 метров, за 30 секунд. Найдите длину поезда (в метрах)  Ответ:450

5.    Велосипедист от дома до места работы едет со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно. Ответ дайте в километрах в час.    Ответ:12

6.    Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 8 часов. Через 2 часа после того, как один  из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен  весь заказ?   Ответ:5

7.    Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на один круг?     Ответ:120

8.    Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни? Ответ: 10

9.    Между стартом и финишем горнолыжного спуска круглосуточно действует подвесная канатная дорога. Кабинки сверху и снизу отправляются  одновременно каждые 3 минуты. Время движения в одну сторону составляет 14 минут. На старте и финише кабинка стоит 1 минуту, включая режим проскальзывания каната. Определите количество кабинок, двигающихся вниз, которые встречаются горнолыжнику при подъеме.  Ответ: 9

10. Брюки дороже  рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака? Ответ:  40

11. Смешали 14 литров 30-процентного водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Знак % в ответе не пишите.  Ответ:  25

12. Имеются два сосуда, содержащие 42 кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если  эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?    Ответ: 15,4

13.  Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше суммы его цифр и в 10, 5 раза больше произведения его цифр. Ответ:21

14. Найдите двузначное число, которое  в 3 раза больше произведения его цифр. Если переставить цифры этого числа в обратном порядке, то отношение полученного числа к данному будет равно 3,4. Ответ: 15

15. В течении февраля  цена на огурцы выросла на 30%, а в течении марта- на 20% от цены февраля. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?   Ответ: 56

16. Два каменщика работали вместе 12 дней на кладке стен дома, а затем один первый каменщик заканчивал работу еще 9 дней. За сколько дней сможет выполнить эту работу первый каменщик, работая один, если второму потребуется для этого на 13 дней меньше?  Ответ: 39

17. За шестичасовую смену рабочий сделал на 64 детали больше, чем его ученик, так как  тратил на изготовление одной детали на 2 минуты меньше. Сколько деталей сделал ученик за смену?   Ответ: 80

               Решение задач (повышенный уровень)

18. Два велосипедиста  стартовали  друг за другом с интервалом в 9 минут. Второй велосипедист догнал первого в 9 км от старта. Доехав до отметки 27-км, второй велосипедист повернул обратно и встретил первого на расстоянии 2 км от точки поворота. Найдите скорость второго велосипедиста.  (Скорость  велосипедистов считать постоянными. Ответ дать в км/ч)

Ответ: 15

19.   После того, как из котлована выкачали 3,8 находившейся в нем воды, насос заменили на более мощный. И вся работа двух насосов по осушению котлована заняла 15 часов. Если бы оба насоса работали одновременно, котлован осушили бы за 5 часов. За какое время можно выкачать воду из котлована одним более мощным насосом?

Ответ: 6

20. Объем ежемесячной добычи газа на первом, втором и третьем месторождениях относятся как 7:6:14.  Планируется  уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором тоже на 14%. На сколько процентов нужно увеличить месячную добычу газа на третьем месторождении, суммарный объем добываемого за месяц газа не изменился?

Ответ: 13

21. Для перевозки груза было заказано две машины разной грузоподъемности, которые должны были сделать одинаковое количество рейсов, при этом первая машина должна перевезти на 80 тонн груза больше, чем вторая. В действительности оказалось, что грузоподъемность этих машин больше, чем предполагалось: у первой машины – на 3 т, а у второй – на 2 т. В результате каждый водитель перевез свою часть груза, сделав на 4 рейса меньше, чем предполагалось. Какова плановая грузоподъемность  первой  машины? (ответ дайте в тоннах)

Ответ:12

22. По плану первый  цех мебельной фабрики должен изготовить на 180 изделий больше, чем второй цех. Из-за болезни в первом цехе работало на 6 человек меньше, а во втором цехе –  на 4 человека меньше, чем по плану, поэтому оба цеха выполнили план с опозданием на 1 день. Сколько человек по плану работает в первом цехе, если каждый рабочий изготавливает по одному изделию в день?

Ответ:60

23. Слесарь и его ученик, работая вместе, могут выполнить порученную работу за 15 часов. Если сначала будет работать слесарь, а потом его сменит ученик, то работа будет выполнена за 30 часов, при этом ученик выполнил на 40% меньше работы, чем слесарь. За сколько часов ученик сможет выполнить всю работу?

Ответ: 40

24. Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по  условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана.  Определите наименьшее время (в часах),  необходимое для разгрузки баржи. (Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы).

Ответ: 20

25.  Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, встречаются через каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то они встречались бы через каждые 8 минут. Если  при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами равно 40 м, то через 24 с оно будет 26 м ( в течении этих 24с тела не встретились). Найти скорости тел и длину окружности.

Ответ: 280 м, 20м/с и 15 м/с

26. В соревнованиях по прыжкам участвовали 45 человек. Из них 40 выполнили норму первого разряда по прыжкам в высоту,  30 – по прыжкам в длину, 25 – по прыжкам с шестом. Каждый участник выполнил норму первого разряда хотя бы по двум дисциплинам. Сколько участников выполнили норму первого разряда ровно по двум дисциплинам?

Ответ: 40

Задачи на проценты, сплавы, смеси

1.             К 40%  раствору соляной кислоты добавили 50 г чис­той   кислоты,   после   чего   концентрация   раствора   стала равной   60%.   Найдите   первоначальный   вес   раствора   в граммах.

2.             Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9% раствора уксуса, чтобы получить 3% раствор?

3.      В  январе  костюм  стоил   5000   рублей.   В  январе  его цена повысилась на 10%. В феврале цена была снижена на   10%.   Сколько   стал   стоить   костюм   после   снижения
цены?

4.                    Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили  бООг 15%-ного раствора. Сколько граммов 10%-ного раствора было взя­то?

5.                    Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержа­щий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску спла­ва, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

6.                    Два сосуда с раствором щелочи разных концентраций (по объёму)содержат вместе 20 л раствора. Первый сосуд содержит 4 л щелочи, а второй — 6 л. Сколько процентов щелочи содержит первый сосуд, если второй содержит щелочи на 40% меньше первого?

7.                     Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цин­ка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какова была первоначальная масса сплава, ес­ли известно, что она была меньше 20 кг?

8.                     Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повыси­лось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

9.      Количество элементов выпускаемой продукции неудачного предпри­ятия с момента открытия ежемесячно падало на 40% по отношению к предыдущему месяцу. В последний, пятый месяц работы предприятие вы­пустило 324 элемента продукции, после чего было закрыто. Сколько эле­ментов продукции было выпущено предприятием за время своего суще­ствования?

10.  Два литра шестипроцентного уксуса разбавили тремя литрами одно процентного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе?

11.                При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20%. Сколько процентов прибыли от этой коллекции получал магазин до распродажи?

12.                В связи с подорожанием энергоресурсов фирма по перевозке гру­зов планировала увеличить тарифы на свои услуги на 30%, но для сохра­нения прежнего объёма заказов её руководство установило тариф, который составил 90% от первоначально планируемого. На сколько процентов подорожали услуги фирмы?

13.                 Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная це­на его продукции возросла на 15%, а её себестоимость для завода, которая до этого составляла 3/4 отпускной цены, увеличилась на 20%?

14.                В результате расширения компании сотовой связи и одновременного удешевления тарифов на 50% ежемесячный объём продаж её услуг вырос в 3 раза. Через сколько месяцев дополнительная прибыль, полу­чаемая компанией, компенсирует затраты на расширение, если они сос­тавили половину прежнего годового дохода компании?

15.                Ювелирное изделие состоит из серебра и золота. В начале года се­ребро дорожает на 5%, а золото — на 20% по сравнению с предыдущим годом, в результате чего стоимость ювелирного изделия увеличивается на 15%. Какую часть ювелирного изделия составляет золото, если в пре­дыдущем году 1 г золота стоил в 18 раз дороже 1 г серебра? (Ответ дать в виде десятичной дроби.)

16.                В стране 10 аэропортов. С самого крупного за сутки взлетает 42 самолета, а с каждого последующего (в порядке убывания интенсивности) на 4 меньше. Сколько самолетов взлетает за сутки со всех 10 аэропортов?

17.                Василий Петрович собирается взять ссуду в коммерческом банке. Определите  максимальную величину суммы (в руб.) , которую Василий Петрович может взять у банка под 20% годовых, если он хочет полностью расплатиться с банком в течение двух лет, выплачивая в конце каждого года не более чем 90000 руб.

18.                Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 тыс. руб. А ещё через год сумма на её счёте составила 60950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной.

19.                Технологический процесс обогащения руды состоит из трёх этапов, на каждом из которых происходит уменьшение доли примесей в руде на определённое число процентов по отношению к предыдущему этапу. На первом этапе доля примесей уменьшается на 20%, на втором этапе — на 15%, на третьем этапе — на 10%. На сколько процентов уменьшается доля примесей в руде после завершения этого процесса?

20.                Расценки на грузоперевозки по железной дороге увеличивались за год дважды: на 20% в первый раз и на 10% во второй. Определите, на сколько процентов возрастут расходы почтовой фирмы на железнодорож­ный транспорт, если объём перевозимой ею по железной дороге почты вы­рос на 30%.

21.                При консервировании фруктов банок с абрикосовым компотом было закупорено на 10% больше, чем банок с вишнёвым компотом. Причем с вишнёвым компотом трёхлитровых банок было закупорено на 25% боль­ше, а литровых — на 15% меньше, чем с абрикосовым компотом. Сколько процентов составляют трёхлитровые банки с абрикосовым компотом от всех закупоренных с этим компотом банок? (Ответ округлите до целого числа.)

22.                В начале учебного года издательство выпустило на 20% книг по ма­тематике больше, чем книг по физике. Причём по физике книг для девя­того класса было выпущено на 10% больше, а для одиннадцатого класса — на 25% меньше, чем книг по математике. Сколько процентов состав­ляют книги по физике для девятого класса от всех книг, выпущенных по физике? (Ответ округлите до целого числа.)

23.                 Имеются два сплава, в первом из которых содержится 40%, а во вто­ром — 20% серебра. Сколько килограммов второго сплава необходимо добавить к 20 кг первого сплава, чтобы получить сплав, содержащий 30% серебра?

24.                Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полу­чившемся сплаве?

25.                Имеются два раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй — 40% це­мента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300 кг первого раствора и 400 кг второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе?

26.                В первой канистре находится пятипроцентный раствор соли, а во вто­рой канистре — десятипроцентный. В пустое ведро выливают половину раствора из каждой канистры. В результате ведро содержит семипроцент­ный раствор. Во сколько раз масса раствора в первой канистре больше массы раствора во второй?

27.                В первой колбе находится однопроцентный раствор уксуса, а во вто­рой колбе — пятипроцентный. В третью колбу выливают половину рас­твора из каждой колбы. В результате колба содержит двухпроцентный раствор. Во сколько раз масса раствора в первой колбе больше массы раствора во второй?

28.                 Фирма «Абрикос» занимается производством сока. В новом году фирма решила выпускать сок в новой, более качественной упаковке, которая на 15% дороже предыдущей. В результате стоимость сока увеличится на 5%. Сколько процентов от стоимости пакета сока первоначально со­ставляла стоимость упаковки? (Ответ округлите до целого числа.)

29.                Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл содер­жит 4% примесей. Сколько тонн руды необходимо взять, чтобы выплавить  неё 15 тонн металла?

30.                Сплавляя два одинаковых по весу куска чугуна с разным содержа­нием хрома, получили сплав, в котором содержится 12 кг хрома. Найдите процентное содержание хрома в полученном сплаве, если известно, что содержание хрома в первом куске чугуна было на 5% меньше, чем во втором, и что если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве оказалось бы 16 кг хрома.

31.                Сплавляя два одинаковых по весу слитка, состоящих только из зо­лота и серебра, с разным содержанием золота, получили сплав, в котором содержится 3 кг золота. Если бы второй слиток был в два раза тяжелее, то в сплаве содержалось бы 11 кг серебра. Известно, что процентное содержание золота в первом слитке было на 20% больше, чем во втором.
Сколько килограммов серебра содержится в полученном сплаве?

32.                  Имеется два раствора кислоты. Первый раствор состоит из 1056 г кислоты и 44 г воды, а второй — из 756 г кислоты и 1344 г воды. Из этих растворов нужно получить 1500 г нового раствора, содержание кислоты в котором 40%. Сколько граммов первого раствора нужно для этого взять?

33.                  Имеется два достаточно больших слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 92% золота, а второй — 80% золота. Из этих слитков надо получить 600 г сплава, содержание золота в котором 85%. Определите массу куска, который для этого необходимо взять от первого слитка.

34.                  Салон модной одежды выставил на продажу новую коллекцию, сделав наценку 80% от закупочной цены. После продажи 0,75 всей коллекции салон распродал оставшуюся часть коллекции со скидкой 60% от про­дажной цены. Сколько процентов от закупочной цены коллекции соста­вила прибыль салона?

35.                 За два года количество безработных в регионе снизилось на 60%. На сколько процентов снизилась безработица за первый год, если во второй год снижение было в два с половиной раза больше, чем в предыдущем (в процентном отношении)?

36.                После двух последовательных повышений размер пенсии был уве­личен на 56%. На сколько процентов повысили пенсию в первый раз, если второе повышение было в полтора раза больше первого (в процентном от­
ношении)?

37.                 Третий и четвёртый кварталы 2007 года предприятие работало по новой технологии, что позволило повысить производительность труда на 50%. На сколько процентов предприятие выпустило бы больше про­дукции за 2007 год, если бы новая технология использовалась уже со второго квартала?

38.                 Третий и четвёртый кварталы 2007 года предприятие работало по новой технологии, что позволило повысить производительность труда на 50%. На сколько процентов предприятие выпустило бы больше про­дукции за 2007 год, если бы новая технология использовалась с первого квартала?

39.                 В сосуде было 20 литров кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд  дополнили таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров воды доливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 36%—ный раствор кислоты?

40.                 В сосуде было 10 литров масла. Часть масла отлили, и сосуд допол­нили таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количе­ство смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько лит­
ров воды доливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 81%—ный раствор?

41.  Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску спла­ва, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

42.                В течение третьего квартала стоимость некоторого пакета акций из­менялась следующим образом: 15 августа стоимость пакета акций бы­ла на 25% выше, чем его стоимость 1 июля, а среднее арифметическое
его стоимости 30 сентября и 1 июля равнялось его стоимости 15 августа. На сколько процентов подорожал пакет акций за период с 15 августа по  30 сентября?

43.                                 Магазин выставил на продажу товар с наценкой 45% от закупочной цены. После продажи 0,6 всего товара магазин снизил назначенную цену на 40% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина? Билет   на   концерт   стоит   500   рублей.   Какое   макси­мальное   число   билетов   можно   купить   на   5000   рублей после повышения цены билета на 10%?

44.                                 Кресло  стоило  2000  рублей.  Сначала его  цену  повы­сили  на  20%,   затем  снизили  на   10%.   Какова  оконча­тельная цена кресла?

45.                                 Билет   на   концерт   стоит   500   рублей.   Какое   максимальное   число   билетов   можно   купить   на   5000   рублей после повышения цены билета на 20% ?

46.                                 Билет   на   концерт   стоит   500   рублей.   Какое   макси­мальное   число   билетов   можно   купить   на   5000   рублей после снижения цены билета на 10%?

47.              Билет   на   концерт   стоит   500   рублей.   Какое   макси­мальное   число   билетов   можно   купить   на   5000   рублей после снижения цены билета на 40%?

Задачи на движение

48.                 Автотурист проехал на автомобиле в первый день 720 км. В каждый следующий день он проезжал на 40 км меньше. Сколько дней путешество­вал автотурист, если за всё время путешествия он проехал 5040 км?

49.                Мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определён­ное время. Проехав 54 км, он должен был остановиться у закрытого шлаг­баума на 5 мин. Продолжив движение, он увеличил скорость на 6 км/ч и
прибыл к месту назначения в намеченное время. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.

50.                Два автомобиля выезжают одновременно из пунктов А и В навстре­чу друг другу по одной и той же дороге. Первый автомобиль прибывает в пункт В через 15 часов после выезда, а второй прибывает в пункт А че­рез 4 часа после их встречи. Сколько времени прошло от момента выезда автомобилей до момента их встречи, если оба автомобиля двигались с по­стоянной скоростью?

51.                Из пункта А в пункт В выезжает велосипедист и прибывает в пункт В через 45 минут. Одновременно с ним, по той же самой дороге, из пункта В в пункт А выходит пешеход. Пешеход прибывает в пункт А через 1 час после встречи с велосипедистом. Считая, что велосипедист и пешеход двигались с постоянной скоростью, определите, сколько минут прошло от начала движения велосипедиста и пешехода до момента их встречи.

52.                Спортсмен, стартуя с одного конца бассейна, доплывает до друго­го конца бассейна, поворачивает и плывёт обратно. В тот момент, когда он поворачивает, по соседней дорожке навстречу ему выплывает другой спортсмен, который проплывает бассейн за 40 секунд. Первый спортсмен вернулся к месту своего старта через 16 секунд после того, как поравнял­ся со спортсменом, плывшим ему навстречу. Предполагая, что скорость спортсменов всё время была постоянной, определите, через сколько минут после начала своего заплыва первый спортсмен вернулся к месту старта.

53.               Катер прошёл 10 км против течения реки, а затем 45 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 5 км/ч.

54.                Ученик идёт в школу со скоростью 5 км/ч. За минуту до звонка он спохватывается и бежит весь оставшийся путь со скоростью 20 км/ч. В результате он опаздывает на одну минуту. За сколько секунд до звонка должен был спохватиться школьник, чтобы успеть вовремя?

55.                Студент идёт в университет со скоростью 2 км/ч, за пять минут до начала занятий он прибавляет шагу и оставшийся путь проходит со ско­ростью 6 км/ч. В результате студент опаздывает на 20 минут. За какое минимальное время (в минутах) до начала занятий ему нужно было при­бавить шагу, чтобы опоздать не больше, чем на 15 минут?

56.              Водитель автобуса собирается проехать из пункта А в пункт Р,  в который ведут два маршрута: через пункт В и через пункт С.  Расстояние в километрах между сосед­
ними  пунктами  показаны  на  схеме.   Известно,   что  если ехать через С, то средняя скорость автобуса будет равна 50  км/ч,   а  если  ехать  через  В     —  60  км/ч.   Водитель выбрал маршрут так, чтобы доехать до пункта Р за наименьшее время. Сколько часов он будет в пути?

Задачи на работу

57.                Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 ч больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржуза 18 ч, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать толь­ко два крана. Определите наименьшее время (в часах), необходимое для разгрузки баржи. (Производительность каждого крана постоянна в течение всей работы.)

58.                Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются одновременно два механизма. Производительности этих механизмов не одинаковы, и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Одна­жды совместная работа двух механизмов продолжалась только 6ч, после чего один из них вышел из строя и всю остальную часть задания выполнил второй механизм за 40 ч.  За какое время (в часах) выполнил бы всё зада­ние механизм, который вышел из строя, работая самостоятельно с прису­щей ему производительностью? (Производительность каждого механизма постоянна в течение всей работы.)

59.                Рабочий за первый день выполнил 18% от всей порученной ему работы. В каждый следующий день он увеличивал производительность на 1% от всей работы. За сколько дней рабочий выполнит всю работу?

60.                Компьютер решает последовательно несколько задач. На решение каждой следующей задачи компьютер тратит на 0,2 с меньше времени, чем на решение предыдущей. Сколько было предложено задач компьюте­ру, если первая из них была решена за 1,8 с, а решение всех задач, кроме последней, заняло 7,8 с?

61.                Для подготовки в серьезный вуз школьник решал в течение 30 дней задачи. Для достижения прогресса он ежедневно увеличивал количество рассматриваемых им задач на одно и то же число. После подготовки школьник посчитал, что общее количество рассмотренных им задач за первые двадцать дней равно количеству задач, рассмотренных за послед­ние десять дней. Во сколько раз больше он рассмотрел задач за последние пятнадцать дней по сравнению с первыми пятнадцатью днями?

62.                В крупном лесхозе к новогодним праздникам производили вырубку сосен для поставки их в города. Каждый последующий день количество вырубленных сосен увеличивалось на 200% по сравнению с предыдущим днем. Сколько дней продолжалась вырубка сосен, если во второй день вырубки вырубили 12 сосен, а в последний день — 2916 сосен?

63.                Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на 2 часа быстрее, чем молодой рабочий изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих ра­бочих изготовят вместе 120 деталей, если за 1 час опытный рабочий изго­тавливает на 5 деталей больше молодого рабочего?

64.                Автоматизированная мойка машин обслуживает 20 автомобилей на 5 часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает 45 автомобилей. За сколь­ко часов ручная мойка обслужит 105 автомобилей, если автоматизирован­ная мойка обслуживает за 1 час на 7 автомобилей больше, чем ручная?

65.                Бригада рабочих за несколько дней должна была изготовить 360 деталей, работая с постоянной производительностью. Изготавливая еже­дневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на 1 день раньше срока. Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?

66.                Ученик, выполняя домашнее задание по математике, решил первую задачу за 1 ч. На решение каждой следующей задачи он тратил на 6 мин. меньше, чем на решение предыдущей. Оказалось, что на выполнение всего домашнего задания по математике школьник потратил 5 ч 24 мин. Сколько дач было задано ученику?

67.                Бассейн заполняется водой за 6 часов с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности первого и второго насосов относятся как 3 : 5, причём первый и второй насосы, работая вместе, заполняют бассейн в 4 раза быстрее, чем третий насос, работая один. На сколько процентов будет заполнен бассейн за 3 часа 36 минут совместной работы первого и третьего насосов?

68.                Цистерна заполняется бензином за 5 часов с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительности второго и третьего насосов от­ носятся как 2 : 3, причём первый насос, работая в одиночку, заполняет цистерну в 3 раза медленнее, чем второй и третий насосы, работая вместе.
На сколько процентов окажется заполнена цистерна, если 6 часов она бу­дет заполняться первым насосом, а потом ещё 5 часов вторым?

69.                В цехе есть новые и старые станки. Производительности старого и нового станков относятся как 2 : 9. Заказ можно выполнить с помощью пяти старых и двух новых станков за определённое время. Сколько про­
центов заказа можно выполнить за это же время с помощью шести старых и одного нового станка?

70.                Из трёх насосов бассейн заполняется за 5 часов. Производительно­сти насосов относятся как 3:4:5. Сколько часов заполнялся бассейн, если сначала работал только первый насос, через час включились второй и третий, а ещё через час первый насос сломался?

71.                Два каменщика могут выложить стену за 6 часов. Через три часа по­сле начала работы второй каменщик получил травму и ушел, после чего первый закончил работу за 4 часа. Сколько часов потребовалось бы для
того, чтобы выложить стену, второму каменщику, если бы он не получил  травму и работал один?

72.    Первый автопогрузчик работает вдвое быстрее второго, а вместе они  загружают вагон за 10 часов. Известно, что сначала работал только первый, а потом они работали вместе, в результате чего вся погрузка заняла 11 часов. Сколько часов работал только первый автопогрузчик?

73.                   Доставка грузов на станцию «Мир» осуществляется ракетой «Со­юз». Рейс в одну сторону на основном двигателе занимает 10 часов. В од­ном из рейсов был использован дополнительный двигатель в течение 2 ча­сов, при этом время полета составило 8 часов. Найдите отношение мощ­ности основного двигателя к мощности дополнительного двигателя, если считать, что скорость ракеты прямо пропорциональна мощности её дви­гателей, а при одновременной работе двух двигателей их мощности сум­мируются.

74.                  На   строительстве   стены   первый   каменщик   работал 5 дней один.  Затем к нему присоединился второй и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что первому каменщику потребовалось  бы  на выполнение  этой работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может   построить   эту   стену   первый   каменщик,   работая один?

75.  В офисе 853 светильника по 4 люминесцентные лампы в каждом. В квартале в среднем выходит из строя каждая  двухсотая лампа. Сколько упаковок ламп по 5 штук необходимо для полноценной работы офиса в течении полутора лет . (21)

76.  Транспортер за 40 минут работы подает 1,4 т руды. Далее следует 10-ти минутный перерыв. Сколько времени потребуется для загрузки двух семитонных вагонов? (Ответ дайте в часах и минутах через запятую.) (8,10)

77.                Для производства тысячи литров лимонада требуется один баллон углекислого газа. Какое минимальное количество целых баллонов углекислого газа потребуется комбинату для выпуска 1,4 млн бутылок лимонада емкостью 1,25 л? (1750)

Семинар для молодых специалистов

Тема семинара: «Решение текстовых задач»

План семинара.

1.   Роль текстовых задач в школьном курсе математики

2.   Текстовые задачи в материалах  ЕГЭ 9 и 11 класса.

3.   Задачи базового уровня

4.   Задачи повышенного уровня сложности

5.      Банк  задач

Учитель математики МОУ СОШ№1

Шелудько И.А

Роль текстовых задач в школьном курсе математики

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный.

Арифметический метод

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана ее решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.

Вторым этапом является решение задач по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.

Третьим этапом решения задачи является проверка решения. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена ее проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.

Алгебраический метод

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенства, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: при разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение  составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенства.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у  учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее развитие. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач  алгебраическим методом.

Комбинированный метод

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или решения неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов:

1.               Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть  рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.

2.               Выбор неизвестных.  Это зависит от видов задач (на движение, на работу, на проценты и т.д.)

3.               Составление и решение «математической модели».

При составлении  «математической модели» (уравнения, неравенства,  системы    уравнений или неравенств) еще раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый «знак» полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное.

Если решение задачи не получается, то нужно еще раз прочитать и проанализировать задачу.

4.               Решение сложной  текстовой задачи –процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы.

Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких  задач.

5.               Можно выделить несколько  вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

1.   О каком процессе идет речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (количество величин  соответствует числу столбцов таблицы).

2.   Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице)

3.   Что надо найти? Какую величину удобнее выбрать в качестве неизвестной? (стараться вопрос задачи обозначать за неизвестную величину в таблице).

4.   Что известно? (таблица заполняется данными задачи).

5.   Какие условия используются для составления «модели»? (Выписать полученную «модель»)

6.   Решить полученную «модель». (Если решить данную «модель» сложно, подумать о введении новых переменных и использовать другие соотношения).

Текстовые задачи в ЕГЭ 9 и 11 классов.

В связи с введением единого государственного экзамена по математике в 9 и 11 классе, возросла роль текстовых задач в школьном курсе по математике.  При отведении  на разной ступени обучения математике малого количества часов на решение текстовых задач,  учащиеся испытывают определенные трудности при  их решении.

В КИМах  за 9 и 11 класс текстовые задачи есть  как  в базовой части, так и в профильной части.

Поэтому отработка текстовых задач необходимо проводить с пятого класса при изучении тем

- Проценты

-Прямая и обратная пропорциональность

-Нахождение части от числа и числа по его части

-задачи на движение, работу, смеси, сплавы

При решении задач базового уровня, необходима последовательность и четкое объяснение условия задачи.

Необходимо  с пятого класса включать больше текстовых задач, акцентируя внимание на экзамен.  

Примерные схемы для составления уравнений или систем уравнений

1.               Задачи на движение

Велосипедист выехал с постоянной  скоростью из города А в город  В, расстояние между которыми равно 91 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 6 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов.  В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на пути из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В  в  А. Ответ дайте в км/ч.

2.               Задача на работу (по плану и по факту)

Писатель хочет набрать на компьютере рукопись объемом 480 страниц. Если он будет набирать на 8 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на два дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать писатель?

3.               Задача на совместную работу

На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут.  За какое время можно выполнить эту арботу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?

Ответ : 15 и 30

4.               Задачи на движение по реке

Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость ( в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч

5.               Задачи на смеси и сплавы

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение задач (базовый уровень)

1.                 Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из  В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 2 часа после встречи, а автомобилист в А через 30 минут после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист? 

   Ответ: 3

2.               Маша и Настя могут вымыть окно за 20 минут. Настя и Лена могут вымыть  это же окно за 15 минут, а Маша и Лена – за 12 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? Ответ дайте в минутах.

Ответ: 10

3.               Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 2 литра бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 210 км по загородному шоссе до заправки. Заправив машину он обнаружил, что в бак вошло 42 литра бензина. Сколько литров бензина расходует автомобиль на 100 км пробега  в городе.

Ответ: 14

4.               Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой 300 метров, за 30 секунд. Найдите длину поезда (в метрах)

Ответ:450

5.               Велосипедист от дома до места работы едет со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ:12

6.               Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 8 часов. Через 2 часа после того, как один  из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен  весь заказ?

Ответ:5

7.               Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на один круг?

Ответ:120

8.               Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

Ответ: 10

9.               Между стартом и финишем горнолыжного спуска круглосуточно действует подвесная канатная дорога. Кабинки сверху и снизу отправляются  одновременно каждые 3 минуты. Время движения в одну сторону составляет 14 минут. На старте и финише кабинка стоит 1 минуту, включая режим проскальзывания каната. Определите количество кабинок, двигающихся вниз, которые встречаются горнолыжнику при подъеме.

Ответ: 9

10.            Брюки дороже  рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака? Ответ:  40

11.            Смешали 14 литров 30-процентного водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Знак % в ответе не пишите.

 Ответ:  25

12.            Имеются два сосуда, содержащие 42 кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если  эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Ответ: 15,4

13.            Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше суммы его цифр и в 10, 5 раза больше произведения его цифр.

Ответ: 21

14.            Найдите двузначное число, которое  в 3 раза больше произведения его цифр. Если переставить цифры этого числа в обратном порядке, то отношение полученного числа к данному будет равно 3,4.

Ответ: 15

15.            В течении февраля  цена на огурцы выросла на 30%, а в течении марта- на 20% от цены февраля. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?

Ответ: 56

16.            Два каменщика работали вместе 12 дней на кладке стен дома, а затем один первый каменщик заканчивал работу еще 9 дней. За сколько дней сможет выполнить эту работу первый каменщик, работая один, если второму потребуется для этого на 13 дней меньше?

Ответ: 39

17.            За шестичасовую смену рабочий сделал на 64 детали больше, чем его ученик, так как  тратил на изготовление одной детали на 2 минуты меньше. Сколько деталей сделал ученик за смену?

Ответ: 80

Решение задач (повышенный уровень)

18.            Два велосипедиста  стартовали  друг за другом с интервалом в 9 минут. Второй велосипедист догнал первого в 9 км от старта. Доехав до отметки 27-км, второй велосипедист повернул обратно и встретил первого на расстоянии 2 км от точки поворота. Найдите скорость второго велосипедиста.  (Скорость  велосипедистов считать постоянными. Ответ дать в км/ч)

Ответ: 15

19.            После того, как из котлована выкачали 3,8 находившейся в нем воды, насос заменили на более мощный. И вся работа двух насосов по осушению котлована заняла 15 часов. Если бы оба насоса работали одновременно, котлован осушили бы за 5 часов. За какое время можно выкачать воду из котлована одним более мощным насосом?

Ответ: 6

20.            Объем ежемесячной добычи газа на первом, втором и третьем месторождениях относятся как 7:6:14.  Планируется  уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором тоже на 14%. На сколько процентов нужно увеличить месячную добычу газа на третьем месторождении, суммарный объем добываемого за месяц газа не изменился?

Ответ: 13

21.            Для перевозки груза было заказано две машины разной грузоподъемности, которые должны были сделать одинаковое количество рейсов, при этом первая машина должна перевезти на 80 тонн груза больше, чем вторая. В действительности оказалось, что грузоподъемность этих машин больше, чем предполагалось: у первой машины – на 3 т, а у второй – на 2 т. В результате каждый водитель перевез свою часть груза, сделав на 4 рейса меньше, чем предполагалось. Какова плановая грузоподъемность  первой  машины? (ответ дайте в тоннах)

Ответ:12

22.            По плану первый  цех мебельной фабрики должен изготовить на 180 изделий больше, чем второй цех. Из-за болезни в первом цехе работало на 6 человек меньше, а во втором цехе –  на 4 человека меньше, чем по плану, поэтому оба цеха выполнили план с опозданием на 1 день. Сколько человек по плану работает в первом цехе, если каждый рабочий изготавливает по одному изделию в день?

Ответ:60

23.            Слесарь и его ученик, работая вместе, могут выполнить порученную работу за 15 часов. Если сначала будет работать слесарь, а потом его сменит ученик, то работа будет выполнена за 30 часов, при этом ученик выполнил на 40% меньше работы, чем слесарь. За сколько часов ученик сможет выполнить всю работу?

Ответ: 40

24.            Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по  условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана.  Определите наименьшее время (в часах),  необходимое для разгрузки баржи. (Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы).

               Ответ: 20

25.             Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, встречаются через каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то они встречались бы через каждые 8 минут. Если  при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами равно 40 м, то через 24 с оно будет 26 м ( в течении этих 24с тела не встретились). Найти скорости тел и длину окружности.

26.            В соревнованиях по прыжкам участвовали 45 человек. Из них 40 выполнили норму первого разряда по прыжкам в высоту,  30 – по прыжкам в длину, 25 – по прыжкам с шестом. Каждый участник выполнил норму первого разряда хотя бы по двум дисциплинам. Сколько участников выполнили норму первого разряда ровно по двум дисциплинам?

Ответ: 40