Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сообщение по математике на тему "Неравенство Птолемея"

Сообщение по математике на тему "Неравенство Птолемея"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея: Для любых точек A,B,C,D плоскости выполнено неравенство

|AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства

Следствия

  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения

  • Соотношение Бретшнайдера

  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A_1, A_2, \dots A_6 произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)), то

Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси

|A_1A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_3A_6|\le |A_1A_2|\cdot |A_3A_6|\cdot |A_4A_5|+|A_1A_2|\cdot |A_3A_4|\cdot |A_5A_6| +

+|A_2A_3|\cdot |A_1A_4|\cdot |A_5A_6|+|A_2A_3|\cdot |A_4A_5|\cdot |A_1A_6|+|A_3A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_1A_6|,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A_1\dots A_6 — вписанный шестиугольник.

  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности \alpha,\beta,\gamma и \delta, касающиеся данной окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть t_{\alpha\beta} — длина общей касательной к окружностям \alpha и \beta(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta} и т. д. определяются аналогично. Тогда

t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}.

Общая информация

Номер материала: ДВ-388503

Похожие материалы