Сообщение по математике на тему "Неравенство Птолемея"

Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея: Для любых точек  плоскости выполнено неравенство

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда  (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства

·           Один из вариантов доказательства — применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.^[1]

·           Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E такую, что , а потом черезподобие треугольников.

·           Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

·           Теорема Помпею. Рассмотрим точку  и правильный треугольник . Тогда из отрезков ,  и  можно составить треугольник, причём этоттреугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка  лежит на описанной окружности треугольника .

·           Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

·           Формула Карно

Вариации и обобщения

·           Соотношение Бретшнайдера

·           Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если  произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)), то

Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  — вписанный шестиугольник.

·           Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности  и , касающиеся данной окружности в вершинах  и  выпуклого четырехугольника . Пусть  — длина общей касательной к окружностям  и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  и т. д. определяются аналогично. Тогда

.