Статья "Анализ содержания школьных учебников математики по вопросу решения систем рациональных уравнений и неравенств"

Анализ содержания школьных учебников математики по вопросу решения систем рациональных уравнений и неравенств

В школьном курсе математики изучение уравнений и неравенств условно можно разделить на несколько направлений, изучение которых происходит чаще всего одновременно.

1.Теоретико-математический. Данное направление делится на две линии. Первая линия – изучение теоретической базы, опирающееся на знания теории чисел, свойств уравнений и неравенств, а также методов и алгоритмов их решения. Вторая линия – математическая, состоит из умения применять полученные знания в практической деятельности. На практике обучающиеся учатся использовать методы и алгоритмы, чтобы решить конкретные задачи из школьных учебников.

2.Связующий. Данное направление связывает ранее изученную информацию с той, что изучается в данный момент времени. Это необходимо для обеспечения преемственности изучения учебного материал, чтобы знания были усвоены в системе.

3.Прикладной. Выступает в качестве инструмента для решения различных задач из реальной математики. Также решение уравнений и неравенств, а также их систем является неотъемлемой частью математического моделирования.

Пособия представленные ниже взяты из федерального перечня учебников (утверждён приказом Министерства просвещения РФ от 20 мая 2020 г. № 254, сроком на 5 лет).

 Проанализируем содержание учебников по алгебре для 7  классов по вопросу тем, связанным с системами уравнений (Приложение 1).

В УМК Дорофеева Г.В. данный материал изучается начиная с 8 класса. В учебниках Ю.М.Колягина, Ю.Н.Макарычева и А.Г.Мордковича материал представлен в  главах, а в учебниках А.Г.Мерзляк и С.М.Никольский параграфы. Практически в каждом дается четкое понятия решения системы уравнений, за исключением учебника Макарычева Ю.Н. Во всех пяти учебниках представлены три способа решения уравнений предусмотренных в школьном курсе: графический, подстановки, сложения.  План решения систем уравнений в зависимости от способа решения отсутствует только в учебнике А.Г. Мордковича. Большее количество упражнений базового уровня представлено в учебниках Ю.Н.Макарычева и А.Г.Мордковича.   Задания повышенной сложности есть во всех учебниках, за исключением С.М.Никольского. Дополнительные задания можно встретить лишь в учебниках Ю.М.Колягина и Ю.Н.Макарычева.

В результате чего можно сделать вывод, что учебник Ю.М.Колягина является самым оптимальным для самостоятельного изучения учащихся, т.к. в нем представлен полный теоретический материал.

В учебнике А.Г.Мордковича теоретический материал изложен подробно и доступно для учащихся. Главной особенностью учебника является то, что содержание основано на принципах развивающего и опережающего обучения. Содержание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту.

У автора Ю.Н.Макарычева достаточное количество упражнений базового и повышенного уровня сложности, но нет заданий для самостоятельного решения.

В учебнике С.М.Никольского хорошо раскрыт теоретический материал, но недостаточное количество заданий для отработки. В дополнении к главе приведён Метод Гаусса для решения систем уравнений, что является несомненным плюсом при углубленном изучении алгебры.

Учебник  А.Г.Мерзляка дает полный объем теоретического материала, но не достаточное количество упражнений для прорешивания. Самостоятельные задания представлены в виде теста (возможность ученикам оценить свои знания сами). Большинство авторов учебников алгебры 7 класса придерживаются одной последовательности изучения темы «Системы уравнений». Отличия есть только в количестве часов на ее изучение.

Как видно из Приложения 2, учебник Г.В.Дорофеева данную тему начинает рассматривать с 8 класса. Авторы посвящают целую главу изучению систем линейных уравнений, как это было у других авторов в 7 классе. Приводится соответствующий материал и вводится понятие системы уравнений, рассматривается понятие уравнения, графический метод решения систем уравнений; описываются такие методы решения систем уравнений, как методы сложения и подстановки. Задает достаточное количество упражнений для закрепления темы и дает задачи повышенной сложности. Дополнительные, а так же задачи для самостоятельного решения в данной учебнике не предусмотрены.

В учебнике Ю.М.Колягина после курса 7 класса идет продолжение изучения систем и здесь уже выделяют две главы на темы: «Неравенства» (параграфы «Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Решение систем неравенств») и «Квадратные уравнения» (Параграфы «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени. Различные способы решения систем уравнений») [28]. Задается очень хороший теоретический материал с немалым количеством упражнений. Также представлены задачи повышенной сложности и дополнительные упражнения.

Учебник Ю.Н.Макарычева, как и Ю.М.Колягина, дает продолжение изучения темы и выделяет отдельную главу, посвященную на решение систем неравенств, с большим объемом упражнений различного вида.

Системы рациональных уравнений берет продолжение в учебники С.М.Никольского в виде отдельной главы с богатым количеством задач различного вида, как упражнения для закрепления темы, задач повышенной сложности, задач для самостоятельного решения и дополнительные упражнения.

Рассмотрев оставшиеся два учебника, А.Г.Мерзляк и А.Г.Мордковича, мы не найдем теоретического материала и упражнений по отдельно данной теме. Отметим, что некоторые авторы учебников 8 класса вводят понятие систем уравнений с помощью квадратных уравнений, другие в 8 классе только начинают рассматривать тему «Системы уравнений».

Перейдем к анализу учебников 9 класса по алгебре (Приложение 3).

В учебнике алгебры для 9 класса Ю.Н.Макарычева раскрывается содержание темы «Системы квадратных уравнений» и «Решение систем квадратных уравнений», которые были уже изучены 8 классе у некоторых других авторов. Автором рассматриваются системы квадратных уравнений и методы их решения – графический метод и метод подстановки. Позже в конце главы в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше» приводятся и другие методы их решения – метод сложения, метод введения новой переменной.

Г.В.Дорофеев в учебнике алгебры 9 класса, подобно Ю.Н. Макарычеву, вводит системы квадратных уравнений, их методы решения и описывает решение задач на применение систем уравнений, содержащих квадратные уравнения.

В учебнике С.М.Никольского описываются системы уравнений, содержащие уравнения второй степени. Автор более полно раскрыл данную тему. Приводятся системы уравнений второй степени с параметром и системы уравнений, содержащие три переменные.  Рассматриваются методы решения систем уравнений, содержащих квадратные уравнения – метод подстановки, метод введения новой переменной, метод алгебраического сложения и способ решения системы с применением теоремы Виета.

У автора учебника алгебры для 9 класса А.Г.Мордковича наиболее широко раскрыта тема «Система уравнений». Рассматриваются системы уравнений и методы их решения. Автор подробно описывает различные примеры решения систем уравнений [28].

Учебник  Ю.М.Колягина не рассматривает данную тему в 9 классах, так как в 7-8 классах он подробно излагал теоретический материал с упражнениями как о системе уравнений, так и о системе неравенств.

В учебнике А.Г.Мерзляка тема раскрыта двумя главами, где достаточно подробно изложен теоретический материал по системам линейных  неравенств с одной переменной и систем уравнений с двумя переменными (различными методами). Достаточное количество упражнений разного уровня сложности.

Можно сделать вывод, что в учебниках 9 класса по алгебре уже целенаправленно изучают такие темы как: «Система уравнений и неравенств». В каждой из них выделены минимум по две главы изучению и закреплению материала. Рассматриваются системы уравнений с двумя переменными и решение систем уравнений второй степени. Каждый учебник оснащен минимум по 26 упражнений, дополнительно к ним предусмотрены задачи повышенной сложности, дополнительные упражнения и задания для самостоятельного решения. В учебниках дается цельное и полное представление изучаемой темы. Изложение теоретического материала ведется очень подробно.

 

Приложения

Приложение 1

Таблица 1.1

Анализ учебников по алгебре для 7 класса

Учебники алгебры для 7 класса
Критерии для анализа	Авторы учебников
	Г.В. Дорофеев	Ю.М. Колягин	Ю.Н. Макарычев	А.Г. Мерзляк	С.М. Никольский	А.Г Мордкович
Наличие теоретического материала в учебнике по теме исследования	нет	Глава 7.Системы двух уравнений с двумя неизвестными	Глава 8. Системы линейных уравнений	П. 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными	П. 10 Системы линейных уравнений	Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Наличие понятия решения системы уравнений	нет	Решить систему уравнений, значит найти все ее решения или установить, что их нет	нет	Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.	Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или доказать, что их нет.	Решить систему уравнений, значит найти все ее решения или установить, что их нет.
Наличие сведений о способах решения систем уравнений	нет	1) способ подстановки; 2) способ сложения; 3) графический способ	1) графический способ; 2) способ подстановки;  3) способ сложения	1) графический способ; 2) способ подстановки;  3) способ сложения	1) способ уравнивания коэффициентов или способ подстановки; 2)  способ подстановки	1) графический метод; 2) метод подстановки; 3) метод алгебраического сложения
Наличие плана решения системы уравнений в зависимости от способа решения	нет	да	да	да	да	нет

Окончание табл. 1.1
Критерии для анализа	Авторы учебников
	Г.В. Дорофеев	Ю.М. Колягин	Ю.Н. Макарычев	А.Г. Мерзляк	С.М. Никольский	А.Г Мордкович
Кол-во упражнений базового уровня	нет	10	21	12	12	25
Количество задач повышенной сложности	нет	10	10	10	нет	7
Количество дополнительных упражнений	нет	4	7	нет	нет	нет
Наличие заданий для самостоятельного решения	нет	есть	нет	есть	нет	есть

Приложение 2

Таблица 1.2

Анализ учебников по алгебре для 8 класса

Учебники алгебры для 8 класса
Критерии для анализа	Авторы учебников
	Г.В. Дорофеев	Ю.М. Колягин		Ю.Н. Макарычев		А.Г. Мерзляк		С.М. Никольский	А.Г Мордкович
Наличие теоретического материала в учебнике по теме исследования	Глава 4. Системы уравнений	Глава 1. Неравенства.  - Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. - Решение систем неравенств Глава 4. Квадратные уравнения. - Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени. - Различные способы решения систем уравнений		Глава 4. Неравенства. - Неравенства с одной переменной и их системы		Не рассмотрена		Глава 4. Системы рациональных уравнений. - Системы рациональных уравнений. - Графический способ решения систем уравнений	Не рассмотрена
Количество упражнений базового уровня	19	48		25		-		27	-
Количество задач повышенной сложности	6	5		4		-		15	-
Количество дополнительных упражнений	нет	9		1		-		12	-
Окончание табл. 1.2
Критерии для анализа	Авторы учебников
	Г.В. Дорофеев		Ю.М. Колягин	Ю.Н. Макарычев	А.Г. Мерзляк		С.М. Никольский			А.Г Мордкович
Наличие заданий для самостоятельного решения	нет		нет	есть	-		есть			-

Приложение 3

Таблица 1.3

Анализ учебников по алгебре для 9 класса

Учебники алгебры для 9 класса
Критерии для анализа	Авторы учебников
	Г.В. Дорофеев	Ю.М. Колягин	Ю.Н. Макарычев	А.Г. Мерзляк	С.М. Никольский	А.Г Мордкович
Наличие теоретического материала в учебнике по теме исследования	Глава 1. Неравенства. - Решение систем линейных неравенств. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. - Системы уравнений с двумя переменными. - Решение систем уравнений второй степени.	Не рассмотрена	Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными. - Графический способ решения систем уравнений. - Решение систем уравнений 2 степени - Системы неравенств с двумя переменными.	Глава 1. Неравенства - Системы линейных неравенств с одной переменной. Глава 2. Квадратичная функция. - Системы уравнений с двумя переменными.	Глава 1. Неравенства. Системы линейных неравенств с одной переменной. Системы рациональных неравенств.	Глава 1. Рациональные неравенства и их системы. Глава 2. Системы уравнений.
Количество упражнений базового уровня	26	-	37	48	30	40
Количество задач повышенной сложности	4	-	22	26	6	16
Количество дополнительных упражнений	10	-	15	10	18	24
Наличие заданий для самостоятельного решения	нет	-	нет	есть	есть	есть