Статья на тему "Метод вспомогательных переменных",в рассматриваются некоторые приемы решения нестандартных задач.

Элистинская многопрофильная гимназия

Метод вспомогательных переменных – один из способов решения нестандартных задач.

Спиридонов Ю. Б-Г.,

учитель математики

Элиста, 2011

Оглавление.

Введение.                                                                                                 3

§ 1. Метод вспомогательных переменных.                                          4

§ 2. Как поймать мышь в куче камней?                                                6                                    

§ 3. Тригонометрия помогает алгебре.                                                 9

§ 4. Решение уравнений, содержащих несколько переменных.       10       

Заключение.                                                                                           13

Литература.                                                                                            14

Введение.

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математической подготовки, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач. И вот тут обнаруживается, что многие из учащихся не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, но запутывается при решении весьма несложной задачи.

За время обучения в школе решается огромное число задач, в результате чего учащиеся овладевают общим умением решения задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: «А мы такие задачи не решали!!!».

Известный математик, профессор МГУ С. А. Яновская (1896 - 1966) однажды выступала перед участниками олимпиад с лекцией «Что значит решить задачу?». Её ответ оказался поразительно простым, но несколько неожиданным для слушателей: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым».

Когда ученик приступает к решению какой-либо задачи и в результате её анализа не сумеет распознать в ней знакомый вид/ иными словами/ обнаружит, что данная задача принадлежит к незнакомому ему виду, для которого не известен общий метод решения, то что ему остаётся? Только попытаться свести к знакомым, ранее решённым задачам. Это-то и рекомендовала С. А. Яновская.

§ 1. Метод вспомогательных переменных.

Совет С. А. Яновской абсолютно верный и простой, но практически им воспользоваться не так-то просто. Ведь нет определённых правил для точного сведения незнакомых задач к знакомым. Однако, если внимательно анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были решены задачи, то постепенно у учащихся выработается умение в таком сведении.

Покажем на примерах, как такое сведение производится.

Задача 1 (В3). Найти сумму всех корней уравнения

 

Решение: Выполним «бросающуюся в глаза» замену, взяв радикал за новую переменную и записав основную равносильность для арифметического квадратного корня:

 

Исходное уравнение примет вид

t² + 3 + 3t = 21 или

t² + 3t - 18 = 0 (КВУР относительно t).

t₁ = 3 ≥ 0 (верно),

t₂ = -6 ≥ 0 (ложно), тогда х² – х = 3² + 3,

х² – х – 12 = 0.

Сумму его корней найдём по теореме Виета (её можно применить, т. к. D > 0):

х₁ + х₂ = -(-1) = 1.

Ответ: 1.

Как видим, здесь для сведения незнакомой задачи к знакомым использован приём замены переменных. Назовём его «Метод вспомогательных переменных».

Этот метод довольно-таки популярен. Одной из первых «встреч» учащегося с этим приёмом произошла в 7 классе при изучении темы «Умножение многочленов». Например.

(a + b)(c + d) = x(c + d) = xc + xd = (a + b)c+(a + b)d = ac + bc + ad + bd.

Некоторые классы уравнений с помощью замены переменных сводятся к стандартным, чаще всего к квадратным уравнениям.

              

Задача 2 (С1). Решить уравнение

(х² + х + 1)² = х²(3х² + х + 1)

Решение. Выполним замену х + 1 = t, х² = z. В результате этой замены данное уравнение примет вид:

(z + t)²  = z(3z + t);

z² + 2zt + t² = 3z² + zt;

t² + zt -2z² = 0.

Если трактовать последнее уравнение как квадратное относительно переменной t, то его дискриминант равен:

D = z² + 8z = (3z)², и поэтому его корни есть

 , т. е.

t₁ = z или t₂ = -2z.

При t = z имеем: х + 1 = х²;   х² – х - 1 = 0

D = 5,

,    .

При t = -2z имеем: х + 1 = -2х²;   2х² + х + 1 = 0

D < 0, корней нет.

Ответ:  .  

§ 2. Как поймать мышь в куче камней?

Когда встречаешься с незнакомой и хитроумной задачей, то все известные рекомендации и советы почему-то не помогают. И снова возникает вопрос: «Как же всё-таки искать решение задачи?».

Известный математик В. А. Тартаковский, один из первых организатор математических олимпиад, отвечая на этот вопрос, сравнивал поиск решения с задачей поймать мышь в куче камней. «Есть два способа поймать мышь, - рассказывал он. – Можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь, тогда бросайтесь и ловите её. Но можно иначе. Надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-либо хвостик мыши. Как только заметите его – хватайте и вытягивайте мышь из кучи».

Задача 3. Проверить равенство

Решение. Рассмотрим уравнение

, решим его. Если в ответе получится , значит равенство верное.

Итак, пусть:

            

Тогда

v = 4 – u,   →   (2):

u² – u (4 - u) + 16 – 8u + u² = 10

3u² – 12u + 6 = 0

u² – 4u + 2 = 0

Т. е. и , что и требовалось доказать.

Часто иррациональное уравнение содержит радикалы различной степени.

Задача 4 (С2).

Решение: Применим метод составления систем уравнений. Обозначим

, где

v ≥ 0; x = 12 – v².

Тогда новые переменные будут связаны соотношениями:

Делая обратную замену, получим:

Ответ: -24; -88; 3.

3. Тригонометрия помогает алгебре.

Часто при решении алгебраических задач бывает удобно заменить переменную (или переменные, если их несколько) тригонометрической функцией и свести тем самым алгебраическую задачу к тригонометрической. Такие замены – тригонометрические подстановки – порой существенно упрощают решение. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения. Например, если из условия следует, что допустимые значения переменной х определяются неравенством |х| ≤ 1, то удобны замены

В случаях, когда переменная может принимать любые значения, используются замены:

Задача 5. Решить уравнение

  

Решение: В данном случае  |х| ≤ 1. Положив

,

приходим к уравнению:

Т. к.

Условию 0 ≤ α ≤ π удовлетворяют три значения

, поэтому

Ответ:

§ 4. Решение уравнений, содержащих несколько переменных.

Задачи подобного типа относятся к параметрическим задачам. Действительно, решая одно уравнение можно найти значения только одной переменной, входящей в него. Все остальные переменные объявляются параметрами.

Начнём с парадоксального примера, прекрасно иллюстрирующего решение подобных уравнений. Хотя в этом уравнении только одна переменная, однако, решать его приходится несколько экстравагантным способом.

Задача 6. Уравнение

Решение: Решение уравнения 4-ой степени общего вида, да ещё и с иррациональными коэффициентами, есть задача сложная.

Представим это уравнение как квадратное относительно √2.

Ответ:        

                                 Задача 7. Уравнение 5х²    + 2у² + 2ху + 2х - 2у + 1 =0.

Решение: Представим в КВУР относительно х:

5х²    + 2(у + 1)х  + (2у² – 2у + 1) = 0.

D(у)/4 = (у + 1)²   - 5(2у² – 2у + 1)   = - (3у - 2)² .

D(у) ≥ 0      при у = 2/3, при этом значение параметра D равен 0, а при других – отрицателен.

Тогда при у = 2/3 существует единственное значение х, удовлетворяющее уравнению:

 Ответ:

        

Заключение.

Сформулируем основные рекомендации для поиска решения математических задач:

1.     Прочтя задачу, надо попытаться определить, к какому вид задач она принадлежит.

2.     Если Вы узнали в ней стандартную задачу, то примените для её решения известное Вам общее правило.

3.     Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:

v вычленять из задачи или разбивать её на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);

v ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (метод вспомогательных переменных);

v переформулировать её, заменить её другой равносильной задачей (способ моделирования).

4.     Решение нестандартных задач – есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных.

Помните, что решение задач – есть вид творческой деятельности, а поиск решения – есть процесс изобретательства.

Учитесь творить и изобретать в процессе решения задач!

Литература.

1.                           А. Г. Рубин, Л. В. Боложник «Тематические тесты для подготовки к итоговой аттестации и ЕГЭ», изд. «Баласс», Москва, 2006 г.

2.                           А. Р. Рязановский, В. В. Мирошин «Математика. Решение задач повышенной сложности», Москва, изд. «Интеллект-Центр», 2007 г.

3.                            «Математика. Тесты для подготовки к ЕГЭ – 2008». Под ред. Ф. Ф. Лысенко. Изд. «Легион», Ростов-на-Дону, 2008 г.

4.                           «Практикум абитуриента» « 3, 1995 г. Приложение к ж. «Квант».

5.                           Приложение «Математика»к «1 сентября» № 5, 2004 г.