Статья"Метод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств"

Грищенко Т.М.,

МАОУ СОШ № 37

с углубленным изучением

искусств и английского языка

г. Таганрог

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

            Показательные и логарифмические неравенства часто встречаются в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ). Эффективным методом решения неравенств подобного типа является метод декомпозиции. Суть метода состоит в следующем:

1) если Ф – композиция элементарных функций, которая монотонно возрастает на ОДЗ или на некотором ее подмножестве М, то

2) если Ф – монотонно убывает, то

            Метод декомпозиции очень эффективен для решения показательно-степенных неравенств и логарифмических неравенств с переменной в основании.

            Теорема 1. При всех допустимых , ,  справедливы следующие утверждения:

1)

2)

3)

4)

            Доказательство.

            Рассмотрим первое утверждение (остальные доказываются аналогично).

            Покажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства  следует неравенство .

            Если , то из неравенства  следует, что , то есть , а значит, .

            Если , то из неравенства  следует, что , т.е. , значит, .

            Теперь докажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства  следует неравенство .

            Поскольку  то либо  либо

            Если  то  и из неравенства  следует, что  и  и ввиду того, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастающая, то .

            Если  то  и из неравенства  следует, что , , и ввиду того, что показательная функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то .

            Равносильность неравенств доказана.

            Пример 1. Решите неравенство

.

Решение.

Ответ.

Теорема 2. При всех ,  и всех допустимых значениях  и  верны следующие утверждения:

1)

2)

3)

4)

            Доказательство.

            Докажем первое утверждение, остальные доказываются аналогично.

            Докажем, что из неравенства  следует неравенство .

            Если , то из неравенства  следует , значит, , следовательно, .

            Если , то  и из неравенства  следует ,  и, следовательно, .

            Докажем теперь, что из неравенства  следует неравенство .

            Так как  то  или  

Если  то  и, значит, из неравенства  следует, что  и , и так как логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то .

Если , то , тогда произведение , если , то есть  и, учитывая, возрастание логарифмической функции с основанием, большим единицы, получим неравенство .

Следовательно, данные неравенства равносильны.

Пример 2. Решите неравенство

            Решение.

    

            Ответ:    (1;  ).

            Декомпозиция простейших показательных и логарифмических неравенств приведена в таблице.

Данное неравенство	ОДЗ неравенства	Декомпозиция неравенства