Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья"Метод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Статья"Метод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств"

библиотека
материалов


Грищенко Т.М.,

МАОУ СОШ № 37

с углубленным изучением

искусств и английского языка

г. Таганрог




МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ



Показательные и логарифмические неравенства часто встречаются в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ). Эффективным методом решения неравенств подобного типа является метод декомпозиции. Суть метода состоит в следующем:

1) если Ф – композиция элементарных функций, которая монотонно возрастает на ОДЗ или на некотором ее подмножестве М, то


hello_html_2090e8e2.gif


2) если Ф – монотонно убывает, то


hello_html_34e95367.gif


Метод декомпозиции очень эффективен для решения показательно-степенных неравенств и логарифмических неравенств с переменной в основании.


Теорема 1. При всех допустимых hello_html_6b2b2fe8.gif, hello_html_m1a267428.gif, hello_html_m6c8e0300.gif справедливы следующие утверждения:


1) hello_html_m7b22146d.gif

2) hello_html_4115a0ae.gif

3) hello_html_6f201c9f.gif

4) hello_html_m47072ac4.gif


Доказательство.


Рассмотрим первое утверждение (остальные доказываются аналогично).

Покажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует неравенство hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_m6b6be6a5.gif, то из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует, что hello_html_7b140bed.gif, то есть hello_html_37f67149.gif, а значит, hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_339168ba.gif, то из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует, что hello_html_m305332bb.gif, т.е. hello_html_ec08227.gif, значит, hello_html_m769d9238.gif.




Теперь докажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует неравенство hello_html_1eb2979f.gif.

Поскольку hello_html_m49d78831.gif то либо hello_html_3fcad869.gif либо hello_html_643dbae.gif

Если hello_html_3fcad869.gif то hello_html_45259fbf.gif и из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_37f67149.gif и hello_html_7b140bed.gif и ввиду того, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастающая, то hello_html_1eb2979f.gif.

Если hello_html_75ad8c7b.gif то hello_html_m2b828731.gif и из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_ec08227.gif, hello_html_10b67173.gif, и ввиду того, что показательная функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то hello_html_1eb2979f.gif.

Равносильность неравенств доказана.


Пример 1. Решите неравенство


hello_html_501d0fb8.gif.


Решение.


hello_html_m44737f4a.gif

hello_html_657e05ee.gifhello_html_m739d14ab.gif

hello_html_4353bad0.gif


Ответ. hello_html_m6483992e.gif


Теорема 2. При всех hello_html_6b2b2fe8.gif, hello_html_m2291da6e.gif и всех допустимых значениях hello_html_m1a267428.gif и hello_html_m6c8e0300.gif верны следующие утверждения:


1) hello_html_m5f159764.gif


2) hello_html_370744ec.gif


3) hello_html_1932f8dd.gif


4) hello_html_m7abfaa1f.gif

Доказательство.


Докажем первое утверждение, остальные доказываются аналогично.

Докажем, что из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует неравенство hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_339168ba.gif, то из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует hello_html_10b67173.gif, значит, hello_html_ec08227.gif, следовательно, hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_m6b6be6a5.gif, то hello_html_45259fbf.gif и из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует hello_html_2935ae1b.gif, hello_html_2573d650.gif и, следовательно, hello_html_m769d9238.gif.

Докажем теперь, что из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует неравенство hello_html_m5d483085.gif.

Так как hello_html_m49d78831.gif то hello_html_339168ba.gif или hello_html_60cf7dd0.gif

Если hello_html_75ad8c7b.gif то hello_html_m2b828731.gif и, значит, из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_ec08227.gif и hello_html_10b67173.gif, и так как логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то hello_html_m5d483085.gif.

Если hello_html_m6fa39580.gif, то hello_html_45259fbf.gif, тогда произведение hello_html_m769d9238.gif, если hello_html_2573d650.gif, то есть hello_html_2935ae1b.gif и, учитывая, возрастание логарифмической функции с основанием, большим единицы, получим неравенство hello_html_m5d483085.gif.

Следовательно, данные неравенства равносильны.


Пример 2. Решите неравенство


hello_html_m860a910.gif

Решение.


hello_html_2aa8773f.gifhello_html_m739d14ab.gif

hello_html_m4d566e72.gif

Ответ: (1; hello_html_4d8ad5ef.gif).


Декомпозиция простейших показательных и логарифмических неравенств приведена в таблице.



hello_html_702674c.gif


hello_html_m3c634100.gif



hello_html_18901c18.gif




hello_html_m185afeae.gif


hello_html_m528a3023.gif





hello_html_18901c18.gif





hello_html_m4c46ac9f.gif


hello_html_m4e9f64ce.gif






hello_html_509da887.gif





hello_html_m4c7284cd.gif


hello_html_m7c44737f.gif






hello_html_m60f9b4f2.gif


Общая информация

Номер материала: ДБ-122655

Похожие материалы