Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья"Метод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья"Метод декомпозиции при решении логарифмических и показательных неравенств"

библиотека
материалов


Грищенко Т.М.,

МАОУ СОШ № 37

с углубленным изучением

искусств и английского языка

г. Таганрог




МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ



Показательные и логарифмические неравенства часто встречаются в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ). Эффективным методом решения неравенств подобного типа является метод декомпозиции. Суть метода состоит в следующем:

1) если Ф – композиция элементарных функций, которая монотонно возрастает на ОДЗ или на некотором ее подмножестве М, то


hello_html_2090e8e2.gif


2) если Ф – монотонно убывает, то


hello_html_34e95367.gif


Метод декомпозиции очень эффективен для решения показательно-степенных неравенств и логарифмических неравенств с переменной в основании.


Теорема 1. При всех допустимых hello_html_6b2b2fe8.gif, hello_html_m1a267428.gif, hello_html_m6c8e0300.gif справедливы следующие утверждения:


1) hello_html_m7b22146d.gif

2) hello_html_4115a0ae.gif

3) hello_html_6f201c9f.gif

4) hello_html_m47072ac4.gif


Доказательство.


Рассмотрим первое утверждение (остальные доказываются аналогично).

Покажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует неравенство hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_m6b6be6a5.gif, то из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует, что hello_html_7b140bed.gif, то есть hello_html_37f67149.gif, а значит, hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_339168ba.gif, то из неравенства hello_html_1eb2979f.gif следует, что hello_html_m305332bb.gif, т.е. hello_html_ec08227.gif, значит, hello_html_m769d9238.gif.




Теперь докажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует неравенство hello_html_1eb2979f.gif.

Поскольку hello_html_m49d78831.gif то либо hello_html_3fcad869.gif либо hello_html_643dbae.gif

Если hello_html_3fcad869.gif то hello_html_45259fbf.gif и из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_37f67149.gif и hello_html_7b140bed.gif и ввиду того, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастающая, то hello_html_1eb2979f.gif.

Если hello_html_75ad8c7b.gif то hello_html_m2b828731.gif и из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_ec08227.gif, hello_html_10b67173.gif, и ввиду того, что показательная функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то hello_html_1eb2979f.gif.

Равносильность неравенств доказана.


Пример 1. Решите неравенство


hello_html_501d0fb8.gif.


Решение.


hello_html_m44737f4a.gif

hello_html_657e05ee.gifhello_html_m739d14ab.gif

hello_html_4353bad0.gif


Ответ. hello_html_m6483992e.gif


Теорема 2. При всех hello_html_6b2b2fe8.gif, hello_html_m2291da6e.gif и всех допустимых значениях hello_html_m1a267428.gif и hello_html_m6c8e0300.gif верны следующие утверждения:


1) hello_html_m5f159764.gif


2) hello_html_370744ec.gif


3) hello_html_1932f8dd.gif


4) hello_html_m7abfaa1f.gif

Доказательство.


Докажем первое утверждение, остальные доказываются аналогично.

Докажем, что из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует неравенство hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_339168ba.gif, то из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует hello_html_10b67173.gif, значит, hello_html_ec08227.gif, следовательно, hello_html_m769d9238.gif.

Если hello_html_m6b6be6a5.gif, то hello_html_45259fbf.gif и из неравенства hello_html_m5d483085.gif следует hello_html_2935ae1b.gif, hello_html_2573d650.gif и, следовательно, hello_html_m769d9238.gif.

Докажем теперь, что из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует неравенство hello_html_m5d483085.gif.

Так как hello_html_m49d78831.gif то hello_html_339168ba.gif или hello_html_60cf7dd0.gif

Если hello_html_75ad8c7b.gif то hello_html_m2b828731.gif и, значит, из неравенства hello_html_m769d9238.gif следует, что hello_html_ec08227.gif и hello_html_10b67173.gif, и так как логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то hello_html_m5d483085.gif.

Если hello_html_m6fa39580.gif, то hello_html_45259fbf.gif, тогда произведение hello_html_m769d9238.gif, если hello_html_2573d650.gif, то есть hello_html_2935ae1b.gif и, учитывая, возрастание логарифмической функции с основанием, большим единицы, получим неравенство hello_html_m5d483085.gif.

Следовательно, данные неравенства равносильны.


Пример 2. Решите неравенство


hello_html_m860a910.gif

Решение.


hello_html_2aa8773f.gifhello_html_m739d14ab.gif

hello_html_m4d566e72.gif

Ответ: (1; hello_html_4d8ad5ef.gif).


Декомпозиция простейших показательных и логарифмических неравенств приведена в таблице.



hello_html_702674c.gif


hello_html_m3c634100.gif



hello_html_18901c18.gif




hello_html_m185afeae.gif


hello_html_m528a3023.gif





hello_html_18901c18.gif





hello_html_m4c46ac9f.gif


hello_html_m4e9f64ce.gif






hello_html_509da887.gif





hello_html_m4c7284cd.gif


hello_html_m7c44737f.gif






hello_html_m60f9b4f2.gif


Автор
Дата добавления 15.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров535
Номер материала ДБ-122655
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх