Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

библиотека
материалов



hello_html_m3292bf9.gifhello_html_m7ef2686b.gifhello_html_m754b389b.gifТаблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.


утверждено на заседании ЦМК ОПД

протокол №1о от 16.05.2014 г.









Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. МСО 1 курс Балаковский медицинский колледж / Ожго Н.В. – Балаково: БМК, 2014. – 20с.



Данные методические рекомендации являются неотъемлемой частью учебного процесса по геометрии, в частности по стереометрии. Они помогут наиболее рационально использовать предлагаемые наглядные пособия, организовать работу с ними на уроках.

Пособие предназначено для студентов 1 курса МСО Балаковского медицинского колледжа.








© Балаково

БМК

2014













Методические рекомендации к решению задач стереометрии


Методика решения задач по стереометрии



I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:

1)развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;

2)изучение основных свойств пространственных фигур;

3)овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;

4)развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.

В изучении стереометрии можно выделить два основных этапа:

) Систематический курс стереометрии (10-11 классы).

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:

1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2.Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

.Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

.Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

.Многогранники.

.Тема вращения.

.Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

.Изображение пространственных фигур на плоскости.








Параллельность прямых, прямой и плоскости


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100003.tif



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100003.tif



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100004.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100004.tif





























Взаимное расположение прямых в пространстве




C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100005.tif



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100005.tif



























Параллельность плоскостей




C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100006.tif














Тетраэдр и параллелепипед



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100006.tif

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100007.tif

Перпендикулярность прямой и плоскости


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100007.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100008.tif

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100008.tif



























Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100009.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100009.tif







Двугранный угол.

Перпендикулярность плоскостей



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100010.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100010.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100011.tif


































Понятие многогранника

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100011.tif


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100012.tif

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100012.tif



























Пирамида

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100013.tif










Правильные многогранники



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100014.tif

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100014.tif

Вектор в пространстве.

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100015.tif




















Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число.


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100016.tif







Компланарные вектора


C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100016.tif




C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100017.tif



C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100017.tif

























Площадь поверхности пирамиды и круглых тел

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100018.tif

C:\Users\Татьяна\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\100018.tif


Задача №1

Точка A лежит в плоскости α , ортогональная проекция отрезка AB на эту плоскость равна 1, AB = 2 . Найдите расстояние от точки B до плоскости α . 
Решение

Пусть B1 – ортогональная проекция точки B на плоскость α . Тогда BB1 – перпендикуляр к плоскости α , AB1 – ортогональная проекция отрезка AB на плоскость α , а расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BB1 . Прямая BB1 перпендикулярна плоскости α , поэтому треугольник ABB1 – прямоугольный. По теореме Пифагора 

BB1 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1654152 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1654153 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1654154.


Ответ

http://www.problems.ru/show_document.php?id=1654154 . 


Задача №2

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости. 
Решение

Докажем, что указанная сумма равна 90o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости αпроведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n – произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая nперпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m http://www.problems.ru/show_document.php?id=1628440 β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM http://www.problems.ru/show_document.php?id=1628440 α . Значит, AM – ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM – угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что 

http://www.problems.ru/show_document.php?id=1628441 BAM + http://www.problems.ru/show_document.php?id=1628441 ABM = 90o.

Ответ

90o . 

Задача №3

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что 
$ \triangle$ADB = $ \triangle$DBC; 
$ \triangle$ABD = $ \triangle$BDC; 
$ \triangle$BAD = $ \triangle$ABC. 
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника
 АВС равна 10 см2.

http://www.problems.ru/show_document.php?id=1179088


Решение

Используя признаки равенства треугольников, докажем, что все грани пирамиды - равные треугольники.

  1. $ \triangle$ADB = $ \triangle$CBD (II признак равенства треугольников), следовательно, AD = BC и AB = CD.

  2.   $ \triangle$ADB = $ \triangle$ACB (I признак равенства треугольников).

  3.   $ \triangle$ABС = $ \triangle$CDA (III признак равенства треугольников). Следовательно, все четыре треугольника имеют одинаковые площади.

Ответ: 40 см2.



Задача№4

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a . 
Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC . Поскольку DM – высота тетраэдра, треугольник AMD прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что 

DM = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648687 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648688 = ahttp://www.problems.ru/show_document.php?id=1648689 = ahttp://www.problems.ru/show_document.php?id=1648690.


Следовательно, 

VABCD = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648691SΔ ABC· DM = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648691· http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648692· ahttp://www.problems.ru/show_document.php?id=1648690 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1648693.


Ответhttp://www.problems.ru/show_document.php?id=1648693 . 

Задача №5

Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды. 
Решение

Пусть O – центр параллелограмма ABCD , лежащего в основании пирамиды PABCD , PO – высота пирамиды, AB = 18 , BC = 10 . Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках M и K , то по теореме о трёх перпендикулярах PM http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653693 AD и PK http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653693 BC . Значит,PM и PK – высоты треугольников ADP и BCP . Поскольку MK – высота параллелограмма ABCD , а O – середина MK , то 

90 = SABCD = BC· MK = 10MK,


поэтому 

MK = 9, OM = OK = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653694,




PM = PK = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653695 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653696 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653697,




SΔ ADP = SΔ BCP = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653698BC· PK = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653698· 10· http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653697 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653699.


Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AB и CD параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках E и F , то аналогично предыдущему 

EF = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653700 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653701 = 5, OF = OE = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653702,




PF = PE = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653703 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653704 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653705,




SΔ CDP = SΔ ABP = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653698AB· PE = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653698· 18· http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653705 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653706.


Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD равна 

2SΔ ADP + 2SΔ ABP = 2(SΔ ADP + SΔ ABP) = 2(http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653699 + http://www.problems.ru/show_document.php?id=1653706) = 192.

Ответ: 192.00


Задача №4

Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.

Решение


Первый способ.

Пусть O и O1 - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A1B1C1D1, P - точка пересечения отрезков AC1 и A1O (лежащих в плоскости AA1C1C), Q - отрезков AC1 и CO1. Тогда A1O - медиана треугольника A1BD, CO1 - медиана треугольника CB1D1.

Из подобия треугольников AOP и C1A1P следует, что

OP/A1P = AO/C1A1 = AO/AC = 1/2.

Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A1BD. Кроме того, AP/PC1 = AO/C1A1 = 1/2, т.е. AP = $ {\frac{1}{3}}$AC1.

Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB1D1 и C1Q = $ {\frac{1}{3}}$AC1. Следовательно,

AP = C1Q = PQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$AC1,

что и требовалось доказать.


Второй способ.

Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то

$\displaystyle \overline{TM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{TX}$ + $\displaystyle \overline{TY}$ + $\displaystyle \overline{TZ}$).

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA1. Тогда

$\displaystyle \overline{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{AB}$ + $\displaystyle \overline{AD}$ + $\displaystyle \overline{AA_{1}}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \overline{AC_{1}}$.

Поэтому векторы $ \overline{AM}$ и $ \overline{AC_{1}}$ коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC1 и AP = $ {\frac{1}{3}}$AC1. Аналогично для треугольника CB1D1.


Условие

Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V . Найдите объём пирамиды ABCC1 . 
Решение

Пусть S – площадь основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , h – высота параллелепипеда. Тогда 

VABCC1 = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630118SΔ ABC· h = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630118· http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630119 S· h = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630120Sh = http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630120V.



Ответ http://www.problems.ru/show_document.php?id=1630120V . 


61


Общая информация

Номер материала: ДВ-038401

Похожие материалы