Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам.

утверждено на заседании ЦМК ОПД протокол №1о от 16.05.2014 г.

Таблицы по геометрии к темам по стереометрии и методические рекомендации к задачам. МСО 1 курс Балаковский медицинский колледж / Ожго Н.В. – Балаково: БМК, 2014. – 20с.

Данные методические рекомендации являются неотъемлемой частью учебного процесса по геометрии, в частности по стереометрии. Они помогут наиболее рационально использовать предлагаемые наглядные пособия, организовать работу с ними на уроках.

Пособие предназначено для студентов 1 курса МСО Балаковского медицинского колледжа.

© Балаково

БМК

2014

Методические рекомендации к решению задач стереометрии

Методика решения задач по стереометрии

I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:

1)развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;

2)изучение основных свойств пространственных фигур;

3)овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;

4)развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.

В изучении стереометрии можно выделить два основных этапа:

) Систематический курс стереометрии (10-11 классы).

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:

1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2.Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

.Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

.Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

.Многогранники.

.Тема вращения.

.Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

.Изображение пространственных фигур на плоскости.

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых в пространстве

Параллельность плоскостей

Тетраэдр и параллелепипед

Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

Двугранный угол.

Перпендикулярность плоскостей

Понятие многогранника

Пирамида

Правильные многогранники

Вектор в пространстве.

Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число.

Компланарные вектора

Площадь поверхности пирамиды и круглых тел

Задача №1

Точка A лежит в плоскости α , ортогональная проекция отрезка AB на эту плоскость равна 1, AB = 2 . Найдите расстояние от точки B до плоскости α . 
Решение

Пусть B1 – ортогональная проекция точки B на плоскость α . Тогда BB1 – перпендикуляр к плоскости α , AB1 – ортогональная проекция отрезка AB на плоскость α , а расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BB1 . Прямая BB1 перпендикулярна плоскости α , поэтому треугольник ABB1 – прямоугольный. По теореме Пифагора 

BB1 =  =  = .

Ответ

 . 

Задача №2

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости. 
Решение

Докажем, что указанная сумма равна 90^o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости αпроведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n – произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая nперпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m  β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM  α . Значит, AM – ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM – угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что 

 BAM +  ABM = 90^o.

Ответ

90^o . 

Задача №3

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что 
ADB = DBC; 
ABD = BDC; 
BAD = ABC. 
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см².

Решение

Используя признаки равенства треугольников, докажем, что все грани пирамиды - равные треугольники.

1. ADB = CBD (II признак равенства треугольников), следовательно, AD = BC и AB = CD.

2.   ADB = ACB (I признак равенства треугольников).

3.   ABС = CDA (III признак равенства треугольников). Следовательно, все четыре треугольника имеют одинаковые площади.

Ответ: 40 см².

Задача№4

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a . 
Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC . Поскольку DM – высота тетраэдра, треугольник AMD прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что 

DM =  =  = a = a.

Следовательно, 

V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · a = .

Ответ . 

Задача №5

Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды. 
Решение

Пусть O – центр параллелограмма ABCD , лежащего в основании пирамиды PABCD , PO – высота пирамиды, AB = 18 , BC = 10 . Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках M и K , то по теореме о трёх перпендикулярах PM  AD и PK  BC . Значит,PM и PK – высоты треугольников ADP и BCP . Поскольку MK – высота параллелограмма ABCD , а O – середина MK , то 

90 = S_ABCD = BC· MK = 10MK,

поэтому 

MK = 9, OM = OK = ,

PM = PK =  =  = ,

S_{Δ ADP} = S_{Δ BCP} = BC· PK = · 10·  = .

Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AB и CD параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках E и F , то аналогично предыдущему 

EF =  =  = 5, OF = OE = ,

PF = PE =  =  = ,

S_{Δ CDP} = S_{Δ ABP} = AB· PE = · 18·  = .

Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD равна 

2S_{Δ ADP} + 2S_{Δ ABP} = 2(S_{Δ ADP} + S_{Δ ABP}) = 2( + ) = 192.

Ответ: 192.00

Задача №4

Докажите, что диагональ AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится ими на три равные части.

Решение

Первый способ.

Пусть O и O₁ - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁, P - точка пересечения отрезков AC₁ и A₁O (лежащих в плоскости AA₁C₁C), Q - отрезков AC₁ и CO₁. Тогда A₁O - медиана треугольника A₁BD, CO₁ - медиана треугольника CB₁D₁.

Из подобия треугольников AOP и C₁A₁P следует, что

OP/A₁P = AO/C₁A₁ = AO/AC = 1/2.

Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A₁BD. Кроме того, AP/PC₁ = AO/C₁A₁ = 1/2, т.е. AP = AC₁.

Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB₁D₁ и C₁Q = AC₁. Следовательно,

AP = C₁Q = PQ = AC₁,

что и требовалось доказать.

Второй способ.

Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то

 = ( +  + ).

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA₁. Тогда

 = ( +  + ) = .

Поэтому векторы  и  коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC₁ и AP = AC₁. Аналогично для треугольника CB₁D₁.

Условие

Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V . Найдите объём пирамиды ABCC1 . 
Решение

Пусть S – площадь основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , h – высота параллелепипеда. Тогда 

V_ABCC1 = S_{Δ ABC}· h = ·  S· h = Sh = V.

Ответ V . 

61