Тема: "Подобие треугольников" (кейсы задач двух уровней, практические задачи, задания зачета) 8 класс

Билет №1

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. ∠ АСО = ∠ ODB, АС = 5см, АО = 6см,  OD = 8см, DB = 10см.  Найдите СО и ОВ.

Билет №2

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Найдите АС, если ВС =12см, NM = 6см, CN = 4см, ВМ = NC.  

                 B

                                 

                                    N

          M                                   

      

    А                                                          С

Билет №3

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Доказать: А₁В₁С₁.

  А                              В

          50⁰                      С₁                                                      В₁                                        

                                             60⁰

                                                                    70⁰

                       60⁰    

                            С                                        А₁

Билет №4

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

Продолжение боковых сторон трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников  ВОС и АОD.  AD = 5см, ВС = 2см, АО = 25см.    

Билет №5

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

АВ и СD пересекаются в точке  О, АО = 12см, ВО = 4см, СО = 30см, DО=10см.

Найдите угол САО,  если ∠ DBO = 61⁰. Найдите отношение площадей треугольников  АОС и ВОD.

Билет №6

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

На рисунке АО = 6см, АС = 15см,  ОВ = 9см, BD = 5см, АВ = 12см. Найдите СD.     О

                                               

                                        А

    

                  В

                D                                C        

               D

Билет №7

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. ∠ АСО = ∠ ODB, АС = 5см, АО = 6см,  OD = 8см, DB = 10см.  Найдите СО и ОВ.

Билет №8

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Найдите АС, если ВС =12см, NM = 6см, CN = 4см, ВМ = NC.  

                 B

                                 

                                    N

          M                                   

      

    А                                                          С

Билет №9

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Доказать: А₁В₁С₁.

  А                              В

          50⁰                      С₁                                                      В₁                                        

                                             60⁰

                                                                    70⁰

                       60⁰    

                            С                                        А₁

Билет №10

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

Продолжение боковых сторон трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников  ВОС и АОD.  AD = 5см, ВС = 2см, АО = 25см.    

Билет №11

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

АВ и СD пересекаются в точке  О, АО = 12см, ВО = 4см, СО = 30см, DО=10см.

Найдите угол САО,  если ∠ DBO = 61⁰. Найдите отношение площадей треугольников  АОС и ВОD.

Билет №12

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

На рисунке АО = 6см, АС = 15см,  ОВ = 9см, BD = 5см, АВ = 12см. Найдите СD.     О

                                               

                                        А

    

                  В

                D                                C        

               D

Билет №13

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. ∠ АСО = ∠ ODB, АС = 5см, АО = 6см,  OD = 8см, DB = 10см.  Найдите СО и ОВ.

Билет №14

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Найдите АС, если ВС =12см, NM = 6см, CN = 4см, ВМ = NC.  

                 B

                                 

                                    N

          M                                   

      

    А                                                          С

Билет №15

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.      Решить задачу.

Доказать: А₁В₁С₁.

  А                              В

          50⁰                      С₁                                                      В₁                                        

                                             60⁰

                                                                    70⁰

                       60⁰    

                            С                                        А₁

Билет №16

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

Продолжение боковых сторон трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников  ВОС и АОD.  AD = 5см, ВС = 2см, АО = 25см.    

Билет №17

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

АВ и СD пересекаются в точке  О, АО = 12см, ВО = 4см, СО = 30см, DО=10см.

Найдите угол САО,  если ∠ DBO = 61⁰. Найдите отношение площадей треугольников  АОС и ВОD.

Билет №18

1.      Сформулировать признаки подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано.

2.       Решить задачу.

На рисунке АО = 6см, АС = 15см,  ОВ = 9см, BD = 5см, АВ = 12см. Найдите СD.     О

                                               

                                        А

    

                  В

                D                                C        

               D

Билет №1

1.      Сформулировать I признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

 Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

3.      Решить задачу.

Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

Билет №2

1.      Сформулировать II  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

В ∆ АВC  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

3.      Решить задачу.

Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

Билет №3

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                      В    

           х+6                     8

           D           10               E

         x              

                            15   

    А                                                   С

3.      Решить задачу.

Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О; АО = 18см, ОВ = 10см,

 ОС = 12см,  ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

Билет №4

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                        5                       2х-3

                            х         4

             b                   1

3.      Решить задачу.

Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

Билет №5

1.      Сформулировать I признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

 Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

3.      Решить задачу.

Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

Билет №6

1.      Сформулировать II  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

В ∆ АВC  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

3.      Решить задачу.

Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

Билет №7

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                      В    

           х+6                     8

           D           10               E

         x              

                            15   

    А                                                   С

3.      Решить задачу.

Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О; АО = 18см, ОВ = 10см,

 ОС = 12см,  ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

Билет №8

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                        5                       2х-3

                            х         4

             b                   1

3.      Решить задачу.

Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

Билет №9

1.      Сформулировать I признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

 Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

3.      Решить задачу.

Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

Билет №10

1.      Сформулировать II  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

В ∆ АВC  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

3.      Решить задачу.

Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

Билет №11

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                      В    

           х+6                     8

           D           10               E

         x              

                            15   

    А                                                   С

3.      Решить задачу.

Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О; АО = 18см, ОВ = 10см,

 ОС = 12см,  ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

Билет №12

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                        5                       2х-3

                            х         4

             b                   1

3.      Решить задачу.

Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

Билет №13

1.      Сформулировать I признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

 Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

3.      Решить задачу.

Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

Билет №14

1.      Сформулировать II  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

В ∆ АВC  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

3.      Решить задачу.

Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

Билет №15

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                      В    

           х+6                     8

           D           10               E

         x              

                            15   

    А                                                   С

3.      Решить задачу.

Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О; АО = 18см, ОВ = 10см,

 ОС = 12см,  ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

Билет №16

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                        5                       2х-3

                            х         4

             b                   1

3.      Решить задачу.

Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

Билет №17

1.      Сформулировать I признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

 Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

3.      Решить задачу.

Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

Билет №18

1.      Сформулировать II  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.       Решить задачу.

В ∆ АВC  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

3.      Решить задачу.

Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

Билет №19

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                      В    

           х+6                     8

           D           10               E

         x              

                            15   

    А                                                   С

3.      Решить задачу.

Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О; АО = 18см, ОВ = 10см,

 ОС = 12см,  ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

Билет №20

1.      Сформулировать III  признак подобия треугольников, сделать чертеж, записать дано, доказать.

2.      Решить задачу.

Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                        5                       2х-3

                            х         4

             b                   1

3.      Решить задачу.

Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

Индивидуальная работа с практической частью кейса №1.

1.1.            Треугольник АВС и MNP подобны. Известно, что АВ = 3см, АС = 7см, МР = 21см.

Найдите сторону MN.

1.2.            Подобны ли треугольники, если стороны одного равны 2см, 4см,и 5см,а стороны другого – 10дм, 15дм,и 20дм ?

1.3.             На рисунке АО = 3см, ВО = 4см,  DO = 12см, ОС = 9см. Докажите, что треугольник и АОВ и СОD подобны.

              А                                     В

                                 О

   D                                                             C

1.4.            Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. ∠ АСО = ∠ ODB, АС = 5см, АО = 6см,  OD = 8см, DB = 10см.  Найдите СО и ОВ.

1.5.            Найдите АС, если ВС =12см, NM = 6см, CN = 4см, ВМ = NC.  

                 B

                                  

                                    N

          M                                   

      

    А                                                          С

1.6.       Доказать: А₁В₁С₁.

  А                              В

          50⁰                      С₁                                                      В₁                                        

                                             60⁰

                                                                    70⁰

                       60⁰    

                            С                                        А₁

1.7.            Продолжение боковых сторон трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников  ВОС и АОD.  AD = 5см, ВС = 2см, АО = 25см.    

1.8.             АВ и СD пересекаются в точке  О, АО = 12см, ВО = 4см, СО = 30см, DО=10см.

Найдите угол САО,  если ∠ DBO = 61⁰. Найдите отношение площадей треугольников  АОС и ВОD.

1.9.            На рисунке АО = 6см, АС = 15см,  ОВ = 9см, BD = 5см, АВ = 12см.   

Найдите СD.     О

                                               

                                        А

    

                  В

                D                                        C        

Индивидуальная работа с практической частью кейса №2.

2.1. Прямая параллельная стороне АС   АВС, пересекает стороны   АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите  АС и отношение площадей треугольника АВС и ВМН, если  МВ=14см, АВ=16см, МН =28см.

2.2. В ∆ АВ  АВ = 15см, АС = 20см, ВС = 32см. На стороне АВ отложен отрезок АD = 9см, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12см. Найдите DЕ и отношение площадей треугольников   АВС и АDЕ.

2.3. Найдите АВ и ВС, если DЕ ││ АС.

                         

                             В    

                 х+6                     8

                 D           10               E

               x              

                                         15   

           А                                                   С

2.4. Треугольник АВС прямоугольный,  ВО – высота, опущенная на гипотенузу  АО = 4см, ОС = 16см. Найдите катет ВС.

2.5. Прямые a и b параллельны. Найдите х и у.

            a

                                           у

                              5                       2х-3

                                  х         4

                b                 

                                       1

2.6.  Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС  треугольника АВС. Соответственно: АС=16см, ВС=12см,    СМ = 12см, СN = 9см. Докажите, что МN || ВА.   

2.7. Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О;

       АО = 18см, ОВ = 10см, ОС = 12см,

       ОD =15см. Докажите, что АВСD – трапеция.    

2.8. Через точку М стороны КР треугольника FКР проведена прямая параллельная стороне FК и пересекающая сторону FР в точке Т. Найдите ТМ, если FК =52см.  FТ = 12см, ТР = 36см.

2.9.  Продолжение боковых сторон АВ и СD  трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите высоту треугольника АЕD,    опущенную на сторону АD, если  ВС = 7см, АD = 21см и высота трапеции равна 3см.

• 1 слайд

  Дерево высотой 5,4 м стоит на расстоянии 14 шагов от дома, на котором установлен прожектор. Тень от дерева равна трём шагам. Какова высота дома в метрах (см. рис.)? 
   
  
  

• 2 слайд

  Семья Ивановых решила построить двухэтажный домик на своем дачном участке. Но сосед по даче просил расположить домик так, чтобы он не бросал тень
  на его любимую клумбу.
  
  Перед семьей Ивановых стоит проблема: как определить нужное расстояние от дачи до забора соседа, что бы тень от домика не падала на любимую клумбу соседа, если высота планируемого домика 3м, а дача располагалась в нижнем левом углу участка (смотри схему). Сыновья Ивановых, Олег и Валера, припомнили, что аналогичную задачу решали на уроках геометрии в 8 классе и решили помочь семье разрешить эту проблему.
  Вопрос: используя признаки подобия треугольников, как определить нужное расстояние от дачи до забора соседа, что бы тень от домика не падала на клумбу соседа, если высота планируемого домика 3м?
  

• 3 слайд