Тема урока «Теорема Виета» 8 класс.

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс.

учитель Решетняк Марина Николаевна, СОШ№84

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Цели урока:

слайд

Образовательные цели:

• продолжить формирование навыков применения теоремы Виета и обратной к ней для решения квадратных уравнений;
• рассмотреть применение теоремы Виета для неприведенных квадратных уравнений;
• научить учащихся с помощью теоремы Виета находить сумму и разность корней квадратного уравнения, зная сумму и разность корней квадратного уравнения записывать квадратное уравнение;
• обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах² + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0 или  а - в + с = 0;

Развивающие цели:

• способствовать формированию умений применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей;
• способствовать развитию познавательного интереса к математике;
• познакомить с историческим материалом;

Воспитательные цели:

• побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности;
• прививать желание иметь качественные, глубокие знания.

Оборудование:  компьютер, телевизор, презентация в программе Power point, карточки  с заданием, выступления учащихся.

Ход урока

Слайд1.

1.      Организационный момент. (сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности);

Учитель: Мы продолжаем изучать тему «Квадратные уравнения». И как мы уже поняли, среди основных способов решения квадратных уравнений есть способ, основанный на навыках устного счета. Метод, который предполагает угадывание корней. Этот метод называется….ТЕОРЕМА ВИЕТА. В дальнейшем вы узнаете, а пока поверьте мне на слово, что решать квадратные уравнения с этих пор вам придется очень часто, потому что очень  много тем школьного курса математики базируется на этом умении. Я уже не говорю о прохождении ЗНО по математике, во время которого вы будете очень ограничены во времени. И значит, научиться решать квадратные уравнения быстро и правильно жизненно необходимо всем нам.

На сегодняшний момент, каждый из вас имеет определенный  багаж знаний по  теме и личный опыт его применения к решению задач. Сегодня мы постараемся поделиться друг с другом своим опытом и, следовательно приобрести новый.

Урок пройдет  в виде игры. Игра  будет  командной, вы разделились на команды, каждая команда  выбрала своего капитана, помощника капитана и консультанта. Играя и решая , вы приносите баллы всей команде и себе лично. В конце урока мы подведем итог. Команда – победитель заработает дополнительный балл к тематической аттестации.

Для того, чтобы  дело удалось, надо по возможности четко поставить перед собой цель. Вот задачи, которые я ставлю перед нашим коллективом на сегодняшнем уроке:

Слайд 2.

Мне бы хотелось узнать, а какие цели вы ставите перед собой.

Ответы учащихся…

Учитель:  В конце урока мы вернемся и проанализируем достигли ли мы поставленных целей.

2.Конкурс «Математический футбол»  (актуализация теоретических знаний )

Слайд 3.

Учитель: Перечень  вопросов есть у каждого из вас. Вашим заданием было ответить на них. Сейчас мы посмотрим, как вы умеете отбивать удары. Первая команда вбрасывает

« мяч», то есть   задает любой вопрос любому члену соседней команды. Если тот отвечает- удар отбит, и «защитник» приносит своей команде бал, если нет, то отвечает «нападающий» и приносит или не приносит своей команде балл.

ВОПРОСЫ:

1. Какие уравнения называются квадратными?

2. Какое квадратное уравнение называется полным, неполным?

3. Какое уравнение называется приведенным, не приведенным?

4. Метод решения неполного квадратного уравнения, в котором в=0

5.Метод решения неполного квадратного уравнени , в котором с=0

6. Может ли уравнение вида ах²+с=0 не иметь действительных корней?

7. Может ли неполное квадратное уравнение быть приведенным?

8. Какое выражение называется дискриминантом?

9. Скажите  формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

10. Как по дискриминанту определить, сколько и каких корней имеет квадратное уравнение?

11.Как звучит теорема Виета для приведенного квадратного уравнения?

12. Как  звучит теорема, обратная теореме Виета?

В листах самооценки по 0,25 балла за каждый правильный ответ

3. Конкурс «Разминка» ( актуализация базовых практических знаний)

Слайд 4.

Самостоятельная работа в двух вариантах с последующей взаимопроверкой. Задания записаны на доске.

2 балла каждому, кто решит все уравнения верно,1 балл если есть 1ошибка, 0,5 балла если есть 2 ошибки

Проверьте, написали ли вы номер варианта.

Вариант 1                            

1. (х-3) (х+8) = 0
2. х(х+0,2) = 0
3. х² – 5х = 0
4. 4х² – 1 = 0
5. 3,4 х²
6. 3 х² + 16 = 0
7. (4х – 9)² = 0

Вариант 2

1. (х-2)(х+7) = 0
2. (х – 2,3)х = 0
3. 9х² – 4 = 0
4. 0,06 х² = 0
5. х² – 7х = 0
6. 25 + 2х² = 0
7. (2х – 3)² = 0

Слайд 5 . сверим ответы.

ОТВЕТЫ:

Вариант 1

1. 3 и -8
2. 0 и -0,2
3. 0 и 5
4. ±
5. 0
6. нет корней
7. 

Вариант 2

1. 2 и -7
2. 2,3 и 0
3. ±
4. 0
5. 0 и 7
6. нет корней
7. 

Помощники капитанов проверяют листочки. Все остальные в это время проверяют ответы и комментируют решение.

4. Конкурс историков. 2 балла лучший

Слайд 6

Состязание среди любителей истории математики каждой команды.  Кто последний скажет факт из жизни Франсуа Виета получит 3 балла , второй 2 , третий 1 балл.

Франсуа Виет (1540 – 13.12.1603) – французский математик, “отец алгебры”, родился в г. Фонтен-ле-Конт. По профессии юрист. Получил бакалавра.Заинтересовавшись астрономией, Виет должен был заняться тригонометрией и алгеброй. Работы по математике, писал чрезвычайно трудным языком, поэтому они не получили распространения. В трудах Виета, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет, первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т.е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени, установил зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Достижения Виета в тригонометрии – полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля. За это Виета называли гальским, (т.е. французским) Аполлонием.

(Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.)

Виет впервые употребил фигурные скобки. Именем Виета назван кратер на видимой стороне луны.

Его современники вспоминают, что он обладал такой фантастической работоспособностью, что мог в течении трех суток не спать.

Говорят, что он был женат и имел единственную дочь. Его дворянское имя по поместью, которым он владел звучит сеньор де ла Биготье.

Прожил он 63 года.

Был советником вначале короля Генриха 3 , а потом и Генриха 4.

Основную свою работу написал в то время, когда в результате интриг  был удален из Парижа на 5 лет.

Он ввел понятие математических формул

Придумал термин коэффициенты, буквально, содействующие

Будучи приближенным к королевскому двору , оказался участником исторических событий .Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы использовали шпионскую связь. Они считали , что придуманный шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков, не доступным для разгадывания, Но Франсуа Виет разгадал их шифр, испанские инквизиторы заявили, что простой смертный не в состоянии разгадать шифр и обвинили Виета в заговоре с нечистой силой и заочно приговорили его к смерти. В это время произошла смена власти . Новый король Генрих 4 взял ученого под свою защиту . Но есть определенная тайна смерти ученого, возможно, что все таки приговор был приведен к исполнению.

5.Конкурс мудрейших.

Слайд 7.

Итак теорема Виета. Разобраться в использовании этой грандиозной теоремы нам помогут мудрейшие, то есть консультанты, которых вы выбрали .

Разминка: 1 балл  и в основном конкурсе 5 баллов

·         сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения

Слайд 8.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в, в знаменателе а.

·         Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета

·         Для чего используется теорема Виета и обратная к ней.

Консультант 1 команды:

Рассказать алгоритм угадывания корней, привести пример, задать вопрос команде сопернику

Консультант 2 команды:

Рассказать алгоритм составления уравнений по имеющимся корням, привести пример, задать вопрос команде сопернику

Консультант 3 команды:

Рассказать алгоритм проверки корней привести пример для полного и неполного уравнений, задать вопрос команде соперников.

 Вопросы самим консультантам

Слайы 9-11.

Вызывают по 2 человека из команд противников( за каждый правильный ответ приносят команде 1 балл, итого 4 балла.

Слайды 12-17,18-20, 21-23.

6.Конкурс капитанов.( получают карточки с заданием и пока отвечают консультанты, готовятся)

Разминка:1 балл и в основном конкурсе 6 баллов

Слайды 24-27.

Если в квадратном  уравнении а+ в + с = 0 , то что вы можете сказать о корнях?(  х₁ =1,   х₂.= с/а)    (10 х ² - 17 х +7 =0)

Если в квадратном  уравнении а- в + с = 0 , то что вы можете сказать о корнях? (   х₁= -1,   х₂.= -с/а)  ( 2007 х ²  + 2х -2005=0)

Решите уравнение 2 х ²  -9х +10 перебрасыванием ( 2 и 2,5)

Вызывают по 2 человека от каждой команды.

Капитаны задают вопросы и учитель

За каждый правильный ответ по 1 баллу

Слайд 28 ( по 2 балла)

Слайды 29-31 по 1 баллу

Слайды 32-34 по 1 баллу

Вопросы для капитанов.

Задание для первого капитана:

1.      В уравнении х²+рх-35=0 один из корней равен 7. Найти другой корень и число р.

Ответ: корень -5, второй коэффициет -2

Задание для второго капитана:

1.В уравнении х²+15х+ с=0 один из корней равен    -12 . Найти другой корень и число с.

Ответ : второй корень -3, третий коэффициент36

Задание для третьего капитана:

1.В уравнении х²+рх-32=0 один из корней равен 8. Найти другой корень и число р.

Ответ: второй корень -4, второй коэффициент -4

Слайд 35

7   конкурс. БЛИЦТУРНИР

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены верно, то получится словосочетание:

1 2 3 4 5 6 7	8 9 10 11	12 13 14 15	16 17 18 19 20 21 22
Ф р а н с у а	В и е т	о т е ц	а л г е б р ы

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1.      х2 + 7х + 10 = 0 2.      х2 – х – 20 = 0 3.      х2 + 6х – 7 = 0 4.      х2 + 11х + 24 = 0 5.      х2 + 17х + 70 = 0 6.      х2 – 7х – 30 = 0 7.      х2 + 10х – 11 = 0 8.      х2 + х – 12 = 0 9.      х2 + 11х + 28 = 0 10.  х2 – 4х – 21 = 0 11.  х2 + 4х + 3 = 0

х2 + 7х - 18 = 0 х2 + 6х + 5 = 0 х2 -9х +14 = 0 х2 + 13х + 42 = 0 х2 + 2х - 3 = 0 х2 – х – 12 = 0 х2 + 12х + 35 = 0 х2 -10х + 21 = 0 х2 -х - 30 = 0 х2 – 9х + 20 = 0 х2 -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
я	к	м	ч	с	ц	г	и	н	ф	т	а	о	в	л	р	б	е	ы	п	у	д

Дополнительные вопросы( если останется время)

КОНКУРС СООБРАЗИТЕЛЬНЫХ

А) 5х2 – 7х + 2 = 0	[т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = ]
Б) х2 – 12х + 35 = 0	[по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5]
В) 313х2 + 326х + 13 = 0	[а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = –]
Г) 4х2 + 12х + 5 = 0	[метод переброски х1 = –, х2 = –]
Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:
х1 = 5, х2 = –6	[ х2 + х –30 = 0]
х1 = 2, х2 =	[ х2 – (2 – ) х + 2 = 0]

1.Известно, что х₁ и  к х₂ корни уравнения  х²  -9х + 11 = 0.

Найти 1/ х₁+1/  х₂

2.Известно, что  и х₁  к х₂.орни уравнения  х ²-9х + 11 = 0.

Найти (х₁  +   х₂₎ ².

3.Известно, что х₁  и  к х₂. корни уравнения  х  ²-9х + 11 = 0.

Найти (  х₁  - х₂. ) ²

8.Подведение итогов игры, итогов урока.

9.Домашнее задание:

·         ( базовый уровень) Составить 20 приведенных квадратных уравнений и решить их с помощью теоремы Виета.

·         ( достаточный и высокий уровень) Составить 10 уравнений, которые решаются специальными приемами и решить их.