ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НОРМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НОРМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ

Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных, оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, например, для случайного отступления фактического размера изделия от номинального, рассеяния снарядов при артиллерийской стрельбе и во многих других ситуациях, в которых на итоговый результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Говорят, что случайная величина ξ имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и σ² (краткое обозначение: x ~ N(a, σ²)), если ее плотность распределения задается формулой:

, ,

где     а – математическое ожидание случайной величины х;

σ² – дисперсия случайной величины х.

фактов о поведении плотности нормального распределения:

- ее значение стремится к нулю при  и ;

- на всей области определения функция является положительной;

- график функции симметричен относительно математического ожидания;

- в точке с абсциссой, равной математическому ожиданию, плотность нормального распределения достигает максимума, который равен .

Параметр а (математическое ожидание) характеризует положение графика функции на числовой оси (это параметр положения).

Параметр σ (среднее квадратическое отклонение) характеризует степень сжатия или растяжения графика плотности (это параметр масштаба).

Таким образом, совокупность нормальных распределений является двухпараметрическим семейством.

Рассмотрим свойства нормального распределения.

1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, распределенной как N(a, σ²), равны

Мξ = а, Dξ = σ²

2. Медиана нормального распределения равна а, так как плотность распределения симметрична относительно точки х = а

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 0 играет в теории и приложениях особое значение. Это распределение (вида N(0, 1)) называется стандартным нормальным распределением. Его плотность равна

, ,

Функция распределения стандартного нормального распределения имеет вид:

Эту функцию называют также функцией Лапласа. Одним из ее свойств является то, что Ф(х) = 1 – Ф(-х), ввиду чего достаточно знать значения функции только для неотрицательных х. Это свойство используется при составлении таблиц функции Лапласа.

Функцию произвольного нормального распределения N(a, σ²) легко выражается через функцию Лапласа. Для этого используется формула:

Эта формула позволяет вычислять вероятности событий, связанных с произвольными нормальными случайными величинами, с помощью таблиц стандартного нормального распределения.