Теория чисел. Признак делимости на 4

• 1 слайд

  Теория чисел. Признак делимости на 4.
  Выполнил ученик 6 класса МБОУ Помринская ОШ
  Калинин Павел
  

• 2 слайд

  Введение
  Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления нацело этих чисел, т.е. о делимости этих чисел. В данной работе я остановлюсь на признаке деления на четыре.
  Для выяснения того, делится ли одно число на другое ,существует несколько способов.
  Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел.
  Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости.
  
  Мне стало интересно, а существуют ли еще признаки делимости, кроме тех, что мы изучали в 6 классе (на 2,3,5,9,10), и как их вывести. Для своей работы я выбрал признак делимости на 4 и решил узнать, можно ли определить только по виду числа, делится оно на 4 или нет
  

• 3 слайд

  Формулировка задачи и постановка проблемы.
  Задача
  Как по виду числа, не выполняя деления, узнать, делится число на 4 или нет.
  Постановка проблемы:
  Сформулировать признак делимости на 4 для любого натурального числа.
  
  
  

• 4 слайд

  Разбор частных случаев
  3.Рассмотрим частные случаи, выполняя деление столбиком, записывая только ответ.
  100/4=25 5000/4=1250 70000/4=17500
  60/4=15 6328/4=1582 7777/4=1944,75
  598/4=149,5 9184/4=2286 8592/4=2148
  913/4=228,25 654/4=163,5 3647/4=911,75
  927/4=231,75 3583/4=895,75 6547/4=1636,75
  132/4=33 554/4=138,5 952/4=238
  1384/4=346 51/4=12,75 7234/4=1808,5
    30/4=7,5
  
  

• 5 слайд

  Оформление результатов исследования
  

• 6 слайд

  Гипотеза
  Возникает гипотеза, что на 4 делятся те и только те числа, которые заканчиваются на два нуля или две последние цифры которого образуют число, делящееся на четыре.
  
  
  

• 7 слайд

  Доказательство гипотезы
  Теорема 1 (теорема о делимости суммы).
  Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число .
  Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
  
  
  

• 8 слайд

  1случай
  
  1.Рассмотрим число а=100∙n, где n – натуральное число. Тогда по теореме 2 число а делится на 4.
  

• 9 слайд

  2 случай
  2. Рассмотрим число вида
  а=100∙n + 10∙k + r= 100∙n + (10∙k + r), k,r – натуральные числа и 0.
   Здесь n – число сотен, к– число десятков, r– число единиц.
  Тогда по теореме 1: если первое слагаемое 100∙n делится на 4 и второе слагаемое (10∙k + r) тоже делится на 4, то и всё число делится на 4.
  Первое слагаемое 100∙n делится на 4, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 4. Значит, 100∙n тоже делится на 4.
  Второе слагаемое (10∙k + r) тоже должно делиться на 4. А оно будет делиться на 4 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 4. В то же время второе слагаемое (10k + r) является двумя последними цифрами числа.
  Отсюда получаем, что, если две последние цифры числа представляют собой число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4. Таким образом, гипотеза доказана.
  

• 10 слайд

  Заключение
  Результаты данного исследования позволяют сравнительно быстро определить делится число на 4 или нет без необходимости выполнять фактическое деление.
   Признаки делимости используются при сокращении дробей.
  Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел и при нахождении общего знаменателя.
  Признак делимости на 4 может понадобится и при решении задач такого вида:
  Можно ли разместить 718 человек в четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест?
  В записи 4791*31* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 4.
  И, конечно, мы используем признаки делимости при устном счете в быту, в магазине и т.д.