Тесты по основам анализа (раздел функциональный анализ) для специальности магистратуры "Методика обучения математике"

Составитель доцент Р.Тургунбаев

Тесты по предмету Основы анализа (раздел функциональный анализ) для специальности 5А110100-Методика преподавания математики

1. Функции заданы на числовой прямой. Какие из них не удовлетворяют аксиомам метрики 1) r(x,y)=|x–y|;  2) r(x,y)=|x²–y²|; 3) r(x,y)=|arctgx–arctgy|;  4) r(x,y)=|sinx–siny|?

A)  *2,4

B)   2 

C)   3 

D)  4 

2. Функции заданы на числовой прямой. Какие из них удовлетворяют аксиомам метрики 1) r(x,y)=|x–y|; 2) r(x,y)=|x³–y³|; 3) r(x,y)=|arctgx–arctgy|;  4) r(x,y)=|sinx–siny|?

A)  *1,2,3

B)   1 

C)   2 

D)  3 

3. Найти расстояние между функциями f(x)=x²+5 и g(x)=4x в пространстве C[-1;3].

A)  *10

B)   4 

C)   1 

D)  2

4. Найти расстояние между функциями f(x)=x³ и g(x)=3x+4 в пространстве C[0;2].

A)  *6

B)   4 

C)   5 

D)  2

5. Найти расстояние между функциями f(x)=3x² и g(x)=x-1 в пространстве C₁[0;2].

A)  *8

B)   6

C)   5 

D)  2

6. Найти расстояние между элементами x, y , где  и y=0.

A)  *

B)   1/2

C)   2/3

D)  1

7. Найти расстояние между элементами , где  и y=0.

A)  *1

B)   1/2

C)   1/4

D)  1/3

8. Найти норму элемента (3; -5; -3) в пространствах , , .

A)  *, 11, 5

B)   , 5, 5

C)   , 11, 3

D)  43, 11, 5

9. Найти норму элемента  в пространстве C[-1; 5].

A)  *25

B)   5,4

C)   0

D)  1

10. Найти норму элемента  в пространстве C₁[0; 1].

A)  *5

B)   4

C)   3

D)  1

11. Найти норму элемента f(x)=3x²-x+1 в пространстве C₁[0;2].

A)  *8

B)   6

C)   5 

D)  2

12. Найти норму элемента  в пространстве .

A)  *

B)   1

C)   1/2

D)  2/3

13. Найти норму элемента  в пространстве .

A)  *1

B)   1/2

C)   1/4

D)  1/3

14. На плоскости R² множества заданы системой неравенств. Какое из них компактное множество?

A)  *

B)       

C)    

D)    

15. Найдите неподвижную точку отображения , где , пространства R² в себя.

A)  *(3;-2)

B)   (3;2) 

C)   (–3;2) 

D)  (–3;–2) 

16. Найдите неподвижную точку отображения f(x)=x³-3x числовой прямой в себя.

A)  *-2; 0; 2

B)   0; 3

C)   0; 4

D)  3

17. Даны отображения Т определенные на C[0;1]. Какой из них не является функционалом?

A)  *T(f)=f(1)x

B)   T(f)=|f(0,4)|

C)   T(f)=f(x)

D)  T(f)=f(x)

18. Даны отображения Т определенные на C[0;1]. Какой из них не является функционалом?

A)  *T(f)=

B)   T(f)= f(0)

C)   T(f)=f(x)

D)  T(f)=

19. Даны отображения Т определенные на C[0;1]. Какой из них не является линейным функционалом?

A)  *T(f)=f(x)

B)   T(f)=f(0,5)

C)   T(f)= f(0)

D)  T(f)=

20. Даны отображения Т определенные на R². Какой из них не является линейным функционалом?

A)  *F(x,y)=3x-7y+1

B)   F(x,y)=x+y

C)   F(x,y)=x

D)  F(x,y)=2x-y

21. Линейный функционал, определенный в пространстве , в точках (1,1) и (1,0) принимает значение 2 и 5 соответственно. Найдите его значение в точке (3,4).

A)  *3

B)   -3

C)   1

D)  2

22. Линейный функционал, определенный в пространстве , в точках (1,1) и (0,1) принимает значение 2 и 5 соответственно. Найдите его значение в точке (3,4).

A)  *11

B)   -3

C)   10

D)  7

23. Линейный функционал, определенный в пространстве , в точках (1,1) и (0,1) принимает значение 2 и 5 соответственно. Найдите его норму.

A)  *

B)   5

C)   10

D)  7

24. Найти норму линейного оператора  действующий в пространстве C[0,1].

A)  *0,5

B)   1

C)   2

D)  3

25. Найти норму линейного оператора  действующий в пространстве C[0,1].

A)  *0,25

B)   1

C)   0,5

D)  4

26. Дано последовательность с общим членом y_n(x)=xⁿ. В каком пространстве она является фундаментальной?

A)  *C[0; 0,8]

B)   C[-2;2]

C)   C[0;2]

D)  C[0;1]

27. Найти неподвижную точку отображения  f(y)=y²(x)-y(x)-x² , пространства C[0,1] в себя.

A)  *

B)  

C)  

D)  не существует

28. Пусть V-множество векторов на плоскости;  и . Какая формула задает скалярное произведение на V?

A)  *

B)  

C)  

D) 

29. Отображение f  топологического пространства X в топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если:

A)  *f и  f^-1 непрерывные отображения, f взаимо однозначное отображение и f(X)=Y

B)   f непрерывное отображение

C)   f непрерывное и взаимо однозначное отображение

D)  f и  f^-1 непрерывные отображения

30. Укажите не верное утверждение.

A)  *В любом бесконечномерном Евклидовом пространстве существует счетеый ортонормированный базис.

B)   В любом бесконечномерном сепарабельном Евклидовом пространстве существует счетный ортонормированный базис.

C)   В сепарабельном Евклидовом пространстве любая полная ортонормированная система замкнута

D)  В сепарабельном Евклидовом пространстве любая замкнутая ортонормированная система полно.

31. Укажите пару изоморфных упорядоченных множеств.

A)  *A=[0,1] и B=[0,3]

B)   A={2,3,4} и B={2,4}

C)   A={1,2,3,…} и B={…, -3,-2,-1}

D)  A=[0,2] и B=(0,2)

32. Если A={a,b,c,d,e}, то какое из множеств не является упорядоченным подмножеством множества А?

A)  *{b,d,c,e}

B)   {a,b,d,e}

C)   {a,b,c,e}

D)  {b,c,d,e}

33. Если A={a,b,c,d,e}, то какое из множеств является упорядоченным подмножеством множества А?

A)  *{a,b,c,e}

B)   {d,e,a,b}

C)   {b,d,c,e}

D)  {b,c,d,a}

34. Укажите не верное утверждение:

A)  *равномощные множества являются изоморфными как упорядоченные множества

B)   Любые два конечных множества с одинаковыми количествами элементов изоморфны как упорядоченные множества.

C)   Если два множества изоморфны как упорядоченные множества, то они равномощны.

D)   Множества [0,1] и [2,4] изоморфны как упорядоченные множества.

35. Укажите вполне упорядоченные множества: A={1,3,2}; B={1,2,3,…}; C=[1,4]; D={2,4,6,8,…}; E=[0,3)

A)  *A, B, D

B)   A, B, C

C)   B, C, D

D)  A, C, D

36. Укажите не вполне упорядоченные множества: A={-1,3,2}; B={1,2,3,…}; C=[1,4]; D={…,-5, -3, -1}; E=[0,3)

A)  *C, D, E

B)   A, C, E

C)   A, D, E

D)  A, C, D

37. Укажите не верное утверждение:

A)  *Упорядоченная сумма коммутативна

B)   Всякое (непустое) подмножество вполне упорядоченного множества само вполне упорядочено

C)   Упорядоченная сумма двух вполне упорядоченных множеств есть вполне упорядоченное множество

D)  Упорядоченное произведение двух вполне упорядоченных множеств есть вполне упорядоченное множество

38. Отображение f  топологического пространства X в топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если:

A)  *f  биекция; f(X) =Y;  f  и  f^-1 -непрерывны.

B)   f(X) =Y;  f  и  f^-1 -непрерывны.

C)   f  биекция; f(X) =Y;  

D)  f  биекция; f(X) =Y;  f  непрерывно.

39. Продолжите определение так, чтобы оно было верно: алгебраическая операция x+y называется непрерывной относительно топологий, если для любых 

A)  *для каждой окрестности U (x+y) точки x+y  существуют такие окрестности U(x) и U(y) точек x и y (соответственно), что ;

B)   для некоторой окрестности U (x+y) точки x+y  существуют такие окрестности U(x) и U(y) точек x и y (соответственно), что ;

C)   для каждой окрестности U (x+y) точки x+y  существуют такие окрестности U(x) и U(y) точек x и y (соответственно), что ;

D)   для каждой окрестности U (x+y) точки x+y  существуют такие окрестности U(x) и U(y) точек x и y (соответственно), что ;

40. Продолжите утверждение так, чтобы оно было верно: пусть E и F Банаховы пространства, последовательность операторов фундаментально в каждой точке. Тогда

A)  *существует оператор такое, что данная последовательность сходится к Т в каждой точке.

B)   последовательность {} неограничена.

C)     выполняется не для всех  x.

D)  последовательность {} сходится к нулю.

41. Пусть E и F Банаховы пространства, последовательность операторов фундаментально в каждой точке. Укажите не верное заключение.

A)  *Тогда последовательность {} неограничена.

B)   Тогда последовательность {} ограничена.

C)   Тогда существует оператор такое, что данная последовательность сходится к Т в каждой точке.

D)  Тогда  равномерно относительно n.

42. Укажите не верное утверждение. Нормой оператора называется число

A)*.

B).

C).

D).

43. Укажите неверное утверждение:

A)*,      

B);

C);

D) 

44. Продолжите предложение так, чтобы оно было верным: Норма непрерывного линейного функционала f равна ... расстоянию от множества  до точки  

A)*обратному значению.

B) удвоенному

C) половине

D) точно

45. Даны функционалы f:C[a,b]®R. Какое из них не является линейным?

A)*

B)

C)

D)

46. Даны функционалы f:C[a,b]®R. Какое из них  является линейным?

A)*

B)

C)

D)

47. Продолжите предложение так, чтобы оно было верным: Для произвольной точки  нормированного пространства Е существует линейный функционал, удовлетворяющие следующим условиям:

A)* 1) ; 2) .

B) 1) ; 2) .

C) 1) ; 2) .

D) 1) ; 2) .

48. Какое равенство не верно:

A)*m’=c₀

B) (c₀)’=l₁

C) (l₁)’=m

D) (l₂)’=l₂

49. Какое равенство не верно:

A)*

B)

C)

D)

50. Какое равенство не верно:

A)* (c₀)’’= c₀

B) (l₂)’’=l₂

C)

D)

51. Укажите не верное утверждение.

A)*Если E нормированное пространство, то сходимость по норме равносильно слабой сходимости.

B) Для того чтобы последовательность  слабо сходилась к точке  необходимо и достаточно чтобы, выполнялось условие .

C) Если E нормированное пространство, то из сходимости по норме следует слабая сходимость.

D) В гильбертовым пространстве H последовательность  слабо сходилась к некоторой точке x необходимо и достаточно, чтобы для любого выпольнялось соотношение .

52. Укажите неверное утверждение

A)* В пространстве  слабая сходимость равносильно сильной сходимости.

B) В конечномерном пространстве  сильная и слабая сходимости совпадают.

C) В пространстве  слабая сходимость равносильно покоординатной сходимости

D) В пространстве c₀  слабая сходимость равносильно покоординатной сходимости.

53. Дан оператор A: C[0,1]®C[0,1]. Какая из них не является линейной?

A)*

B)

C)

D)

54. Какая из функционалов заданных в C[0,1] аддитивен?

A)*

B)

C)

D)

55. Какая из функционалов заданных в C[0,1] не аддитивен?

A)*

B)

C)

D)

56. Найти норму линейного функционала .

A)*

B)1

C)

D)

57. Найти норму линейного функционала  в .

A)*2

B)1

C)

D)

58. Укажите пару не гомеоморфных топологических пространств.

A)  *(-2;2) ва (-2,2]

B)   (-1;3) ва R

C)   [-2;3] ва [3;4]

D)  (-1,1) ва (0;1)

59. Найти норму оператора A: C[0,1]®C[0,1], где .

A)*2

B)1

C)0,5

D)3

60. Найти норму оператора A: C[0,1]®C[0,1], где .

A)*3

B)1

C)2

D)0,5