Учебный проект на тему: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Учебный проект на тему:

 «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Содержание.

1.     Паспорт проекта.

2.     Введение.

3.     Историческая справка о признаках равенства треугольников.

3.1.Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

3.2.                   Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

3.3.     Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

4.        Применение признаков равенства треугольников на практике.

5.        Выводы

6.        Литература.

1.     Паспорт проекта

Актуальность.

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа - это разум. Высшее проявление разума - это геометрия. Клетка геометрии - треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная».

Треугольник - уникальная единица познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например,  в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута;  в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников.

Цель работы: установить, что треугольник – жесткая фигура, которая нашла широкое практическое применение в жизни человека,

 доказать, что признаки равенства треугольников применимы в повседневной жизни.

Задачи:

·        Изучить литературу о треугольнике

·        Исследовать применение свойства жесткости на практике

·        Проанализировать применение признаков равенства треугольников в жизни человека

·        Обобщить собранную информацию и познакомить с ней своих одноклассников.

Практическая значимость: обобщённый материал данного исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочное время для привития интереса к математике.  Данный материал способствует формированию представления о прикладных возможностях математики.

Этапы работы:

·        Сбор информации по данной проблеме;

·        Обработка полученной информации;

·        Оформление результатов;

·        Защита работы.

2.     Введение

В этом учебном году мы познакомилась с  новым предметом – геометрией – наукой, занимающейся изучением геометрических фигур. Основная фигура, которую изучают в геометрии 7 класса – это треугольник. Познакомившись с признаками равенства треугольников, мы  узнали и о таком понятии как жесткость треугольника.  Учитель на уроке часто рассказывает  о практической направленности математики, знакомит с историческим материалом .  Мы решили в помощь учителю подготовить учебный проект по теме: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Как оказалось, признаки треугольников  широко используется в практической жизни. И значит, данная тема продолжает оставаться актуальной с древнейших времен.

3.     Историческая справка о признаках равенства треугольников.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

3.1.Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что один его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC  к AB; в противоположном направлении восстанавливают CE  к AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA;  ÐС = ÐA;  ÐEDС = ÐBDA как вертикальные).

Предполагают второй способ, которым древнегреческий математик Фалес пер­вым решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и угол ABC. Затем, произведя на суше некоторые построения и измерения, он вычислил расстояние АС.

Построить ÐАВН = ÐABC, а также пост­роить АЕ перпендикулярно АВ. Точка пере­сечения лучей ВН и АЕ - вершина тре­угольника АВМ, равного треугольнику ABC.

Треугольник ABC равен треугольнику АВМ по второму признаку равенства треугольни­ков, значит, у этих треугольников соответ­ствующие стороны равны, т. е. АС = AM, для нахождения расстояния АС от берега до корабля достаточно измерить расстояние AM на местности.

У нас возник вопрос, а каким способом, с помощью какого инструмента  можно постро­ить на местности АС перпендикулярно АВ.

Мы выяснили, что для этой цели можно воспользоваться измерительными инструментами экер и теодолит.

Экер (франц. équerre, от позднелат. exquadro — нарезаю четырёхугольник), простейший геодезический инструмент, служащий для построения на местности углов, кратных 90° или 45°

Теодоли́т — измерительный прибор для определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических и маркшейдерских работах, в строительстве и т. п. 

Маркшейдерские работы - это работы, которые проводятся для изучения процессов деформации горных пород и земной поверхности в связи с горными работами

Угол ABC на местности можно измерить с помощью астролябии.

Астролябия (греч. ἁστρολάβον, астролабон, «берущий звезды») — прибор для определения широты, один из старейших астрономических инструментов. Основан на принципе стереографической проекции.

3.2.          Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 2).

Для исследования этого признака я решила взять практическую задачу на вычисление длины озера.

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.

Но для такого способа нужно  много свободного пространства,  чтобы сделать эти измерения.

3.3.          Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис 1) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек.(рис 2) Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Если все три стороны

треугольников равны,

То давно понятно всем

Что равны они совсем.

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увеличится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак равенства треугольников.

Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

Мы решили проанализировать- встречается ли свойство жёсткости треугольника в моей повседневной жизни . Для этого мы провели практическую работу, наблюдение.

Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку. Телеграфные столбы с подпорками называются анкерными.

Делая садовую калитку, обязательно прибивают планку, чтобы получить треугольник. Это придает калитке прочность, иначе ее перекосит.

Жесткость треугольников применяется при строительстве подъемных кранов, при строительстве железных конструкций.

4.        Применение признаков равенства треугольников на практике.

А вот несколько практических задач по теме.

1.      Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму:

a)     Прямоугольного треугольника

(измерить длины катетов)

b)    Равностороннего треугольника

(у равностороннего треугольника все стороны равны; углы также равны между собой- по 60 градусов;  достаточно измерить длину одной стороны)

c)     Равнобедренного треугольника

(измерить длину основания и градусную меру углов при основании)

2.     Мама купила 1м ткани шириной 1м на платки двум дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части; докажите правильность своих действий.

 (сгибаем  ткань по диагонали; полученные треугольники равны по  3 признаку равенства треугольников)

 

3. Два дома одинаково удалены от берега реки. Где нужно сделать причал для лодок, чтоб он был одинаково удален от обоих  домов

4.        На рисунке показан способ измерения расстояния от А до В по озеру. Известно, что ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ=ЕF.

5.       От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры?

6.      

7.       . ( для девочек ) Представьте, что вы на уроке технологии моделируете наряд .

1  ) .Вы шьёте юбку с клиньями

 Какие размеры нужно сохранить, чтобы вставляемые клинья были одинаковыми.

2).Вы шьёте  блузку.

      Какие мерки надо снять, чтобы сделать вырез мысиком на горловине

                       

5.      Выводы

§  Признаки равенства треугольников находят применение в различных областях жизни, облегчают физический труд человека.

§  Знание геометрии меняет жизнь людей к лучшему.

6.        Литература.

1)      Энциклопедия «Аванта» по математике. 2004 г

2)      «Википедия» свободная энциклопедия. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница

3)      http://to-name.ru/biography/biografii.htm

4)      Глейзер Г.И. «История математики в школе 7-8 классах», Просвещение 1982 г.

5)      http://nytva.taba.ru/page1291435753/fest/542212_OF_IV-6_Priznaki_ravenstva_treugolnikov_Geometriya_7_klass.html