Учебно – методическое пособие для студентов первого курса профессиональных общеобразовательных учреждений. "Самостоятельные работы по математике".

УТВЕРЖДЕНО

на заседании ЦМК

«___» _____________ 2015г.

Протокол № _____

Председатель ЦМК

СоловьёваЕ.И. /_______________

Учебно – методическое пособие для студентов первого курса профессиональных общеобразовательных учреждений. Самостоятельные работы по математике. Составитель: Тимохина Л.Н.- преподаватель математики ОГБПОУ «Карсунский медицинский техникум» , 2015 – 28с.

Введение

Методическое пособие «Самостоятельные работы по математике для студентов 1 курса» предназначено для организации контроля знаний и умений студентов с учетом требований к усвоению материала по основным разделам алгебры и геометрии.

Критерии оценки:

«5» - работа выполнена на 90-100%, имеется небольшое количество второстепенных ошибок и недочетов;

«4» - работа выполнена на 75-80%, т.е не выполнено какое-то одно задание, имеется небольшое количество второстепенных ошибок и недочетов;

«3» - работа выполнена на 55-60%, т.е не выполнено 2 задания или имеется ряд основных и второстепенных ошибок, но в целом понимание основных понятий;

«2» - работа выполнена менее, чем на 50%, имеется большое количество основных ошибок и недочетов.

Перечень формируемых компетенций:

Общие компетенции (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Содержание

Самостоятельная работа № 1 по теме:

«Обобщение понятия степени»..……………………………………………………..6

Самостоятельная работа № 2 по теме:

«Показательная функция, ее свойства и график» …………………………………..8

Самостоятельная работа №3 по теме:

«Логарифмическая функция, ее свойства и график»……………………………....10

Самостоятельная работа № 4 по теме:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»….………………….....12

Самостоятельная работа №5 по теме: «Производная»………………………………………………………………………....14

Самостоятельная работа по теме:

«Первообразная и интеграл»…………………………….……………………..……16

Самостоятельная работа № 7 по теме:

«Параллельность прямых и плоскостей»…………………………………..............18

Самостоятельная работа № 8 по теме:

«Перпендикулярность прямых и плоскостей»…………………………………......20

Самостоятельная работа № 9 по теме: «Многогранники»……………………………………………………………...……....22

Самостоятельная работа № 10 по теме:

«Тела вращения»………………………………...........................................................24

Самостоятельная работа № 11 по теме:

«Объемы тел »…….....................................................................................................26

Литература…………………………………………………………………………....28

Самостоятельная работа №1

по теме: «Обобщение понятия степени»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Вычислите 8 + .

2. Упростите выражение + .

3. Решите уравнение = 3.

Дополнительная часть

4. Какое из чисел больше: или

5. Решите неравенство х – 6 0.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Вычислите .

2. Упростите выражение : .

3. Решите уравнение х – 6 = .

Дополнительная часть

4. Сравните числа или .

5. Решите систему уравнений

Самостоятельная работа №1

по теме: «Обобщение понятия степени»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Вычислите .

2. Упростите выражение - + 4.

3. Решите уравнение = х.

Дополнительная часть

4. Сравните числа и

5. Решите неравенство

Вариант 4

Обязательная часть

1. Вычислите + : .

2. Упростите выражение -

3. Решите уравнение = х- 4.

Дополнительная часть

4. Найдите значение выражения 2 , если х = + ;

а = - .

5. Решите уравнение = 1,5х + 6.

Самостоятельная работа № 2

по теме: «Показательная функция, её свойства и график»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у = .

Сравните значения функций и ; и .

Ответ обоснуйте.

2. Решите уравнение 2- 5+ 2 = 0.

3. Решите неравенство

Дополнительная часть

4. Решите неравенство + +

5. Постройте график функции f(x) = +1.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у = .

Сравните значения функций и ; и .

Ответ обоснуйте.

2. Решите уравнение 16 = 32.

3. Решите неравенство

Дополнительная часть

4. Решите уравнение + - 90 = 0.

5. Постройте график функции у = - 1.

Самостоятельная работа № 2

по теме: «Показательная функция, её свойства и график»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у =

Сравните значения функций и и

Ответ обоснуйте.

2. Решите уравнение + + = 155.

3. Решите неравенство

Дополнительная часть

4. Изобразите схематически график функции

5. Решите неравенство .

Вариант 4

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у =

Сравните значения аргументов функции, если

;

Ответ обоснуйте.

2. Решите уравнение - 14 -32 = 0.

3. Решите неравенство

Дополнительная часть

4. Изобразите схематически график функции

5. Решите неравенство .

Самостоятельная работа № 3

по теме: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у =

Сравните значения функций .Ответ обоснуйте.

2. Вычислите +.

3. Решите уравнение - 5= 0

4. Решите неравенство .

Дополнительная часть

5. Изобразите схематически график функции .

6. Вычислите .

Вариант 2

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у = .

Сравните значения функций .Ответ обоснуйте.

2. Вычислите - .

3. Решите уравнение .

4. Решите неравенство

Дополнительная часть

5. Изобразите схематически график функции .

6. Вычислите

Самостоятельна работа № 3

по теме: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у =

Сравните значения , если

.Ответ обоснуйте.

2. Вычислите

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

Дополнительная часть

5. Изобразите схематически график функции .

6. Вычислите .

Вариант 4

Обязательная часть

1. Изобразите схематично график функции у =

Сравните значения функций .Ответ обоснуйте.

2. Найдите х, если

3. Решите уравнение = 2

4. Решите неравенство

Дополнительная часть

5. Решите уравнение =1.

6. Решите неравенство

Самостоятельная работа № 4

по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Решите уравнение:

2. ;

2. Решите неравенство

Дополнительная часть

3. Решите систему уравнений

Укажите какое-либо решение системы, удовлетворяющее условию

4. Решите уравнение аrcsin(х+1) = .

Вариант 2

Обязательная часть

1. Решите уравнение:

2. ;

2. Решите неравенство

Дополнительная часть

3. Решите систему уравнений

Укажите какое-либо решение системы, удовлетворяющее условию

4. Решите уравнение аrctg 2x = - .

Самостоятельная работа № 4

по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Решите уравнение:

2. ;

2. Решите неравенство

Дополнительная часть

3. Решите уравнение 3 - 4 = 0.

4. Решите неравенство

Вариант 4

Обязательная часть

1. Решите уравнение:

2. ;

2. Решите неравенство

Дополнительная часть

3. Решите уравнение + +2=1.

4. Вычислите arccos).

Самостоятельная работа № 5

по теме: «Производная»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Найдите производную функции:

1. у = 4

2. у =

3. у =

4. у =

5. у =

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) =

в точке с абсциссой х₀=0.

Дополнительная часть

3. Вычислите значение производной функции у = 3 в точке х₀=4.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Найдите производную функции:

1. у = 5-11

2. у =

3. у =

4. у =

5. у =

2. Найдите скорость изменения функции f(x) =

в точке с абсциссой х₀= -1.

Дополнительная часть

3. Вычислите значение производной функции у = в точке х₀=2.

Самостоятельная работа № 5

по теме: «Производная»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Найдите производную функции:

1. у = -32

2. у = 4+

3. у =

4. у =

5. у =

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) =

в точке с абсциссой х₀=0.

Дополнительная часть

3. Тело движется по прямой так, что расстояние S( в метрах) от него до точки В

этой прямой изменяется по закону S(t)=2t³-12t²+7 ( t-время движения в

секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет

равно 36 м/с²?

Вариант 4

Обязательная часть

1. Найдите производную функции:

1. у = 8-10

2. у =

3. у =

4. у =

5. у =

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) =

в точке с абсциссой х₀= 1.

Дополнительная часть

3. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется

по закону S=5t+0,2t³-6 (м), где t- время движения в секундах. Найдите

скорость тела через 5 секунд после начала движения.

Самостоятельная работа № 6

по теме: «Первообразная и интеграл»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Найдите первообразную функции f(x) =

2. Вычислите интеграл dx.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =

Дополнительная часть

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

Вариант 2

Обязательная часть

1. Найдите первообразную функции f(x) =

2. Вычислите интеграл

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

Дополнительная часть

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

Самостоятельная работа № 6

по теме: «Первообразная и интеграл»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Найдите первообразную функции f(x) =

2. Вычислите интеграл

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =

Дополнительная часть

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =

Вариант 4

Обязательная часть

1. Найдите первообразную функции f(x) = +2,5.

2. Вычислите интеграл

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

Дополнительная часть

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у =

Самостоятельная работа № 7

по теме: «Параллельность прямых и плоскостей»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Даны две прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые,

пересекающиеся данные и не проходящие через точку А, лежат в одой

плоскости.

2. Две параллельны плоскости пересекают сторону ВА угла АВС в

D₁ и D₂ , а сторону ВС – в точках E₁ и E_2.Найдите длину отрезка D₁ E_1, если

В D₁=18м, В D₂=27м, D₂ E₂=54м.

Дополнительная часть

3. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух

пересекающихся плоскостей.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и середину С

этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в

точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если длина отрезка ВВ₁ = 12 см.

2. Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной плоскости.

Дополнительная часть

3. Докажите, что если прямые АВ и СД скрещиваются, то прямые АС и ВД

также скрещиваются.

Самостоятельная работа № 7

по теме: «Параллельность прямых и плоскостей»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника

являются вершинами параллелограмма.

2. В треугольнике АВС АВ=15 см, АС = 24 см. Через точку М на стороне АВ,

находящейся на расстоянии 10 см от точки А, проведена плоскость,

параллельная прямой АС и пересекающая сторону ВС в точке К. Найдите

длину отрезка МК.

Дополнительная часть

3. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух

скрещивающихся прямых.

Вариант 4

Обязательная часть

1. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и середину С

этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в

точках Д и Е. Найдите длину отрезка ВД , если длина отрезка СЕ = 18 см.

2. Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной плоскости.

Дополнительная часть

3. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух

пересекающихся плоскостей.

Самостоятельная работа № 8

по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Вариант 1

Обязательная часть

1. АВС – равносторонний треугольник со стороной 10 см. Прямая АД

перпендикулярна прямым АВ и АС. Точка Е – середина стороны ВС.

Найдите длину отрезка ДЕ, если длина отрезка АД=5 см.

2. Из центра О квадрата АВСД со стороной 18 см восстановлен к плоскости

квадрата перпендикуляр ОМ, длиной 12 см. Найдите площадь треугольника

АВМ.

Дополнительная часть

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Точка М находится

на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от всех его вершин. Найдите это расстояние.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Точка О – центр квадрата АВСД. Прямая ОМ – перпендикулярна плоскости

квадрата. Докажите, что отрезки МА, МВ, МС, МД равны.

2. В треугольнике АВС АВ=АС = 20 см, ВС = 24 см. Отрезок АМ

перпендикулярен плоскости АВС и равен 12см. Найдите расстояние от точки

М до прямой ВС.

Дополнительная часть

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Точка М находится

на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от все

его вершин. Найдите это расстояние.

Самостоятельная работа № 8

по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Через конец А отрезка АВ проходит плоскость. Точка В находится на

расстоянии 16 см от этой плоскости. Найдите расстояние от середины

отрезка АВ до этой плоскости.

2. Точка А находится на расстоянии 12 см и 5 см от двух перпендикулярных

плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения этих

плоскостей.

Дополнительная часть

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Точка М находится

на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от все

его вершин. Найдите это расстояние.

Вариант 4

Обязательная часть

1. Даны прямоугольник АВСД И и точка Е вне его плоскости. Прямая АЕ

перпендикулярна прямым АВ и АД. Найдите длину отрезка ЕС, если АВ = 4

см, АД = 3 см, АЕ = 12 см.

2. В треугольнике АВС угол С прямой, АД – перпендикуляр к плоскости АВС.

Докажите, что треугольник ДВС – прямоугольный.

Дополнительная часть

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Точка М находится

на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от все

его вершин. Найдите это расстояние.

Самостоятельная работа № 9

по теме: «Многогранники»

Вариант 1

Обязательная часть

1. В правильной треугольной призме основание – прямоугольный треугольник с

катетами 6 и 8 м. Боковое ребро призмы равно 12м. Найдите площадь

поверхности призмы.

2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 14см, а

боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45. Найдите

площадь поверхности пирамиды.

Дополнительная часть

3. Диагональное сечение правильной шестиугольной призмы делит ее на две

неравные части. Найдите отношение боковых поверхностей этих частей.

Вариант 2

Обязательная часть

1. В правильной треугольной пирамиде через середины трех боковых ребер

проведено сечение. Найдите его площадь, если длины ребер основания равны

24 см.

2. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны

основания которого 5м и 12м, а диагональ наклонена к плоскости основания

под углом 45.

Дополнительная часть.

3. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а

проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под

прямым углом. Найдите площадь сечения.

Самостоятельная работа № 9

по теме: «Многогранники»

Вариант 3

Обязательная часть

1. Найдите длину меньшей диагонали прямого параллелепипеда, у которого

основание – ромб со стороной 6 см и углом 60, а высота параллелепипеда

равна 8 см.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 3 дм, а

боковое ребро 5дм. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Дополнительная часть

3. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Боковые грани – квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее

диагональных сечений.

Вариант 4

Обязательная часть

1. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости

основания по углом 30равна 12см. Найдите площадь

боковой поверхности пирамиды.

2. В правильной треугольной призме длина бокового ребра равна 18 мм, а

сторона основания 24 мм. Найдите периметр сечения , проведенного через

сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего

основания.

Дополнительная часть.

3. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а

проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под

прямым углом. Найдите площадь сечения

Самостоятельная работа № 10

по теме: «Тела вращения»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Шар с центром в точке О касается плоскости. Точка А лежит в этой

плоскости. Найдите расстояние от точки А до точки касания, если ее

расстояние от центра шара равно 25 см, а радиус шара равен 15 см.

2. Цилиндр получен вращением прямоугольника со стороной 5 м и диагональю

13 м вокруг данной стороны. Найдите площадь основания цилиндра.

Дополнительная часть

3. Высота конуса 20 см, радиус его основания 25 см. Найдите площадь сечения

конуса плоскостью, параллельной основанию и отстоящей от вершины

конуса на расстоянии 4 см.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 3 м. Найдите площадь

основания цилиндра.

2. Образующая конуса равна 6 м , а угол между нею и плоскостью основания

равен 60. Найдите площадь основания конуса.

Дополнительная часть.

3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения,

проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

Самостоятельная работа № 10

по теме: «Тела вращения»

Вариант 3

Обязательная часть

1. В шаре радиуса 26 см на расстоянии 10 см от центра проведена секущая

плоскость. Найдите площадь сечения.

2. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 45.

Радиус основания конуса равен 13 см. Найдите высоту конуса.

Дополнительная часть

3. На поверхности шара даны три точки, прямолинейные расстояния между

которыми 6см, 8 см, и 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от

центра шара до плоскости, проходящей через эти точки.

Вариант 4

Обязательная часть

1. В шаре на расстоянии 6 см от центра проведено сечение, площадь которого

64. Найдите радиус шара.

2. Осевым сечением конуса является треугольник с высотой 16 см и боковой

стороной 20 см. Найдите площадь основания конуса.

Дополнительная часть

3. Высота цилиндра 8 дм, радиус снования 5 дм. Цилиндр пересечен

плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от

этого сечения до оси.

Самостоятельная работа № 11

по теме: «Объемы тел»

Вариант 1

Обязательная часть

1. В правильной четырехугольной призме сторона основания 8 см, а площадь

диагонального сечения 120 см². Найдите объем призмы.

2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60.

Высота конуса 12 см. Найдите объем конуса.

Дополнительная часть

3. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите

объем тела вращения.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона

основания равна 12 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания

под углом 30.

2. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке В. Точка А лежит в этой

плоскости, ОА = 26 см, АВ = 24 см. Найдите объем шара.

Дополнительная часть.

3. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального

сечения 4 м², а расстояние между противоположными боковыми гранями 2 м.

Найдите объем призмы.

Самостоятельная работа № 11

по теме: «Объемы тел»

Вариант 3

Обязательная часть

1. В правильной треугольной призме сторона основания 6 см, а боковое ребро 7

см. Найдите объем призмы.

2. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40м, 40м и 48м.

Найдите объем конуса.

Дополнительная часть

3. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите

объем тела вращения.

Вариант 4

Обязательная часть

1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона

основания равна 24 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания

под углом 60.

2. Прямоугольник с боковой стороной 40 и основанием 50 является осевым

сечением цилиндра. Найдите его объем.

Дополнительная часть

3. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального

сечения 4 м², а расстояние между противоположными боковыми гранями 2 м.

Найдите объем призмы.

Литература:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование -(базовый уровень). – 6-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2012г.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование -(базовый уровень). – 4-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2011г.

3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл., 19-е изд. – Москва: Просвещение, 2011.