Учебно-методическое пособие "Практикум по численным методам "Интерполирование""

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

«ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ»

Учебно-методическое  пособие

--------------------------------------------------------------------------------------

Введение

Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д.

Цель учебно-методического пособия – помощь учащимся, углубленно изучающим математику, а также студентам 1 курса вузов в самостоятельном изучении численных методов и выполнении лабораторно-практических работ.

Настоящее пособие содержит расчетную работу: интерполирование.

Работа содержит теоретическую часть, в которой дана общая постановка решаемой задачи и различные методы ее решения; порядок выполнения работы (решение задач в общем виде); приводятся примеры с решениями, контрольные вопросы, на которые обучающемуся необходимо ответить, чтобы проверить степень усвоения материала; задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А,Б (для дифференцированного контроля знаний студентов0. Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б – более сложные задачи.

Расчетная работа «Интерполирование»

I.                  Теоретическая часть

1. Постановка задачи

Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами  и  , описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция  остается нам неизвестной, но на  основании эксперимента установлены значения этой функции , при некоторых значениях аргумента , принадлежащих отрезку .

Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию   на отрезке    точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке  заданы значения неизвестной функции  в  различных точках : ; требуется найти многочлен  степени , приближенно выражающий функцию .

 

              Рис. 1                      В  качестве  такого   многочлена   естественно  взять

                                             многочлен, значения которого в точках  

                                             совпадают    с     соответствующими     значениями

      значениями                   функции  (рис.2. 1). Поставленная

                                            задача, называется «задачей интерполирования

                                            функции».

                Рис. 2.1                 Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л.Чебышев(1821-1894)- один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева.

Рассмотрим, как решается задача интерполирования с помощью интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.

2. Интерполяционная формула Лагранжа

Для   данной   функции      найти   многочлен     степени  ,

который    при    заданных   значениях      принимал   бы   значения

. Точки называют узлами интерполяции.

           В качестве искомого многочлена возьмем многочлен - ой степени вида 

    (2.1)

и определим коэффициенты  так, чтобы выполнялись условия

                                                                      (2.2)

Положим в формуле (2.1) ; тогда, принимая во внимание равенства (2.2),     получим                                    откуда

   Затем,  положив   ,    получим   откуда              

Таким же образом найдем  … ,

                                                  

Подставляя   найденные   значения   коэффициентов   в   формулу  (2.1),  получим

           

                                                                          (2.3) Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

         Интерполяционную формулу Лагранжа можно записать в виде:

                                   (2.4)

         Выражения            (2.5)

называются коэффициентами Лагранжа.

Для вычисления  удобно применить следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:

Таблица 2.1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Обозначив произведение элементов  - ой строки через , а произведение элементов главной диагонали через  , т.е.     Тогда   ,   .     (2.6)

       Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде:

                                                                                        (2.7)

Иногда бывает полезно для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если , то .

Если  имеет производную  - го порядка на отрезке , то погрешность при замене функции  многочленом  , т.е. величина , удовлетворяет неравенству

                                            (2.8)

где отрезок  содержит все узлы  и точку .

Замечание.  Многочлен  является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.

3. Интерполяционная формула Ньютона

Пусть известны  значение функции , а именно  при  значении аргумента . При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна. Обозначим ее через . Узлы интерполяции –равноотстоящие. Таким образом, имеем таблицу значений неизвестной функции  при соответствующих значениях аргумента.

				…
				…

Составим многочлен степени не выше , который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях . Этот многочлен будет приближенно представлять функцию .

Конечными разностями функции  называются разности вида - конечные разности первого порядка, - конечные разности второго порядка, …,  - конечные разности -го порядка.

Обозначим      ,      ,      ,   … .

Производя последовательные подстановки, получим:

,       

, … ,

, …,

………………………………………………………………………………………….

.

Тогда ,  ,  , … ,

.                                           (2.9)

Так как ,        то ,         отсюда              .     (2.10)

Подставив вместо  в (2.5) найденное выражение (2.6), получим        

.  (2.11)

Эта формула называется   интерполяционной формулой Ньютона  или  интерполяционным многочленом Ньютона.

Тогда согласно этой формуле многочлен, принимающий значения  соответственно при   и -многочлен 1-ой степени (2.12)

Эта интерполяция носит название линейной интерполяции.

Многочлен, принимающий значения  соответственно при   - многочлен 2-ой степени     (2.13)

Интерполяция с помощью этого многочлена называется квадратичной интерполяцией.

Многочлен же 3-го порядка будет иметь вид 

    (2.14)

Обозначив в формуле (2.10)   , получим  интерполяционный многочлен Ньютона в виде   .                  (2.15)             

        Остаточный член  формулы (2.14) имеет вид

                             ,                            (2.16)

где с - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Число  желательно выбирать так, чтобы разности  были практически постоянными.

         По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона  для  данной  таблицы  значений  тождественны,  но по-разному написаны, так как многочлен

степени  не  выше  ,  принимающий  заданные  значений при данных

значениях , находится единственным образом.

Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена - й степени к многочлену - й степени первые  членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.

Замечание. По интерполяционным формулам Лагранжа (2.3) и Ньютона (2.10) определяются значения функции на отрезке . Если по этим формулам определяется значение функции при (это можно делать при малом ), то говорят что, производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при , то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.

4. Обратное интерполирование

Пусть функция  задана таблицей.

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции определить соответствующее значение аргумента . Будем считать, что в рассматриваемом интервале функция  монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную за независимую, а  считать функцией от . Тогда, написав по заданным узлам () многочлен Лагранжа

                                                                        (2.17)

Итерационные методы.  Если функция  задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например интерполяционный многочлен Ньютона (2.15):      

.       

Заменив   на  ,  получим формулу для нахождения обратной функции

,             (2.18)

где    ,         .  

5. Нахождение корней уравнения методом обратного

интерполирования

Пусть требуется решить уравнение  .

           Рассмотрим функцию  и составим таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой степени точности корня. В качестве и  берем те соседние  узлы,  в  которых

                                                             ,

и применяя метод обратного интерполирования, отыскиваем значение , при котором .

II.               Порядок выполнения работы

Задание 1

         Функция   задана таблицей

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	yn

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти

Решение:

а). Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Для этого:

1. Подставим в интерполяционную формулу Лагранжа (2.3) значения  ,  , .

2. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

б). Найдем , подставив в полученный для данной функции интерполяционный многочлен  вместо .

Задание 2

          Функция   задана таблицей

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	yn

Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти .

Решение:

1. Вычислим коэффициенты Лагранжа , произведения элементов каждой строки  , отношения , сумму ,  произведение элементов главной диагонали .

Все вычисления расположим в таблице:

Таблица 2.2

	,
0				…
1				…
2				…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
				…

2. Используя формулы (2.6) и (2.7), подставив  вместо , найдем .

Задание 3

С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа  по известным значениям функции ?

Решение:

1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим  и подставим его значение в формулу (2.8)

.

2. Найдем . Для этого будем последовательно находить производные до

-го порядка включительно:

               

3. Найдем  на отрезке , который содержит все узлы  и точку . Для этого:

1).  Обозначим через

2).  Найдем .

3).  Найдем те значения , в которых  или не существует.

4).  Найдем значения функции  в этих точках и значения функции на концах отрезка   и  .

5).  Выберем из этих значений наибольшее, это и будет         .

4. Оценим остаточный член, подставив значения ,   в полученную формулу .

Задание 4

Функция   задана таблицей  

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	yn

Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.   Оценить остаточный член.

Решение:

1.     Найдем

2.     Составим таблицу разностей. Приведем для образца горизонтальную таблицу конечных разностей при :

Таблица 2.3

3. Найдем    , где подставим    вместо  .

4. Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (2.15), подставим все необходимые значения в нее.

5. Оценим остаточный член:

    1). Найдем - ю производную функции :   

    2). Определим наименьший интервал , где  - его некоторая

   внутренняя точка, содержащий все узлы   () и точку .

    Оценим

    3). Из формулы (16) при заданных

     значениях  получим оценку остаточного члена

    4). Определим, на какой десятичный знак может остаточный член

     повлиять.

Задание 5

Функция   задана таблицей   

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	yn

Найти значение , для которого .

а).  Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.  

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.  

Решение:

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение , для которого . Для этого  в формулу (2.17)

            

           подставим значения ,

 и  вместо .

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)

           ,

где              Для этого:

1. Найдем .

2. Найдем .

3. Составим таблицу разностей. Приведем ее образец для n=5:

Таблица 2.4

4. Подставив  вместо  и все найденные значения в формулу  (2.18)

,   получим

искомое значение  .

Задание 6

Методом обратного интерполирования найти корень  уравнения , лежащий на отрезке  с точностью  .

Решение:

1.      Составим таблицу значений функции    с  шагом   в указанном интервале .

2.     Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)

           ,

          где              Для этого:

1). Найдем .

2). Найдем  при  .

3). Составим таблицу разностей. (См таблицу 2.4).

4). Подставив  вместо  и все найденные значения в формулу (2.18)

,   получим

искомое значение   с указанной точностью . Это и есть искомый корень данного уравнения.

III.           Пример

Задание 1

Функция   задана таблицей  

x	0	0.1	0.3	0.5
y	-0.5	0	0.2	1

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти

Решение:

а). 1. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Так как     ,   то   .   Тогда   из   формулы     (2.3)

        

               получим

.

2. Подставим в полученную интерполяционную формулу Лагранжа при  значения  ,  и получим:                

.

3. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

          

.   Следовательно,  искомый  интерполяционный многочлен Лагранжа

                           .

б). Найдем , подставив в полученный для данной функции  интерполяционный многочлен  вместо . Получим .

Задание 2

        Функция   задана таблицей

	0,05	0,15	0,20	0,25	0,35	0,40	0,50	0,55
	0,9512	0,8607	0,8187	0,7788	0,7047	0,6703	0,6065	0,5769

Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти

Решение:

         Для упрощения вычислений полагаем . Тогда значения новой переменной , соответствующие узлам интерполирования, будут

	1	3	4	5	7	8	10	11
	0,9512	0,8607	0,8187	0,7788	0,7047	0,6703	0,6065	0,5769

Кроме того, при  будет .

1. Воспользуемся инвариантностью лагранжевых коэффициентов и вместо вычислим .

         Все вычисления расположим в таблице:

Таблица 2.5

	,
0	8	-2	-3	-4	-6	-7	-8	-10	-725760	0,9512
1	2	6	-1	-2	-4	-5	-7	-8	26880	0,8607
2	3	1	5	-1	-3	-4	-6	-7	-7560	0,8187
3	4	2	1	4	-2	-3	-5	-6	5760	0,7788
4	6	4	3	2	2	-1	-3	-4	-3456	0,7047
5	7	5	4	3	1	1	-2	-3	2520	0,6703
6	9	7	6	5	3	2	-1	-1	11340	0,6065
7	10	8	7	6	4	3	1	-2	-80640	0,5769

2. Получаем, используя интерполяционную формулу Лагранжа (2.7) и формулу для нахождения лагранжевых коэффициентов (2.6):

      

Задание 3

С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа  по известным значениям функции ?

Решение:

1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим  и подставим его значение в формулу (2.8)

,      получим

.

2. Найдем . Для этого будем последовательно находить производные до

-го порядка включительно . Так как , то получим ,  , ,

.

3. Найдем  на отрезке , который содержит все узлы  и точку . Для этого:

1).  Обозначим через

2).  Найдем : .

3).  Найдем на отрезке  те значения , в которых  или не существует. Таких значений нет.

4).  Найдем значения функции  на концах отрезка    

 и  .

5).  Выберем из этих значений наибольшее, это и будет         =.

4. Оценим остаточный член, подставив значения ,   в полученную формулу . Тогда получим

.

Задание 4

Функция   задана таблицей  

x	1000	1010	1020	1030	1040	1050
y	3,0000000	3,0043214	3,0086002	3,0128372	3,0170333	3,0211893

Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.   Оценить остаточный член.

Решение:

1.     Найдем :       .

2.     Составим таблицу разностей, записывая их в единицах седьмого разряда:

Таблица 2.6

1000	3,0000000	43214	-426	8
1010	3,0043214	42788	-418	9
1020	3,0086002	42370	-409	8
1030	3,0128372	41961	-401
1040	3,0170333	41560
1050	3,0211893

Замечаем, что третьи разности практически постоянны, ограничимся ими и в формуле   (2.15)     достаточно

взять     : 

.

3. Найдем    , где подставим ,  1001, . Получим .

4. Воспользуемся полученной в п. 2 интерполяционной формулой Ньютона для , для чего подставим  в нее все необходимые значения, найденные в п. 1 и п. 2: 

.

5. Оценим остаточный член при  :

    1). Найдем - ю производную функции : . Так как , то  (при нахождении производной воспользовались табличным значением  ).

      Найдем  ;                              

    

      Так как ,

     а   по   правилу   перехода  от    натурального   логарифма   к   десятичному

     , то     ,    а    . Следовательно,

   .

       2). Так как , где  - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка , содержащего все узлы   () и точку , то .

      3). При  из формулы (16)  получим .  При     окончательно получим

        4). Таким образом, остаточный член может повлиять только на девятый десятичный знак. Заметим, что полученное значение  полностью совпадает со значением в семизначной таблице логарифмов.

    Задание 5

Функция   задана таблицей   

	10	15	17	20
	3	7	11	17

Найти значение , для которого .

а).  Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.  

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.  

Решение:

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение , для которого . Для этого  в формулу (2.17)

               

 подставим значения ,           и      вместо   .

Получим                 

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18) , где   (Полагаем,  так как заданное значение  находится между   и . Тогда  ).               Для этого:

1. Найдем : 

2. Найдем , подставив :  

3. Составим таблицу разностей.

Таблица 2.7

15	7	2	1
17	11	3
20	17

Остальные разности найти невозможно.

4. Подставив  вместо  и все найденные значения в формулу (2.18), которая для нашего случая примет вид                получим

искомое значение  :

 Задание 6

Методом обратного интерполирования  найти корень  уравнения   , лежащий на отрезке  с точностью .

Решение:

1.Составим таблицу значений функции    с  шагом  : для функции    на отрезке изоляции   с шагом    имеем

Таблица 2.8

x	1,6	1,7	1,8	1,9
y	-0,2479952	-0,0979324	0,0580148	0,2195226

Из таблицы видно, что   меняет свой знак при переходе от точки к точке . Полагаем ,   , -0,0979324,  0,0580148.

2. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)

           ,

          где              Для этого:

1). Найдем :   .

2). Найдем , подставив вместо : .

3). Составим таблицу разностей:

Таблица 2.9

1,7	--0,0979324	0,1	0
1,8	0,0580148	0,1	-
1,9	0,2195226	-	-

4). Подставив  вместо  и все найденные значения в формулу (2.18)

,   получим  искомое значение  .  Это и есть искомый корень данного уравнения с точностью до .

          IV. Контрольные вопросы

1.     Для чего применяется интерполирование?

2.     Кто является основоположником  интерполирования?

3.     В чем состоит задача интерполирования функции?

4.     Какая формула называется интерполяционной формулой Лагранжа?

5.     Как находятся коэффициенты Лагранжа?

6.     Какая погрешность получается при замене функции интерполяционным многочленом Лагранжа7

7.     Сколько многочленов Лагранжа, удовлетворяющим поставленным условиям существует?

8.     Какие узлы интерполяции называются равноотстоящими?

9.     Что называется конечными разностями 1-го порядка? 2-го порядка? 3-го порядка? n-го порядка?

10.  Какой многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона?

11. Что такое линейная и квадратичная интерполяции?

12. Что называется экстраполяцией функции вперед или назад?

13. В чем состоит задача обратного интерполирования?

            V. Индивидуальные задания

Раздел А

Задание 1

Функция   задана таблицей  

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти значение функции    при заданном значении аргумента.

Таблица 2.10

№ вар.	Функция		№ вар.	Функция
1	x 1 2 4 5 7 y 4 5 6 8 2		16	x 1 2 3 5 7 y 3 6 1 9 5
2	x 1 2 3 4 5 y 9 7 5 3 1		17	x 1 2 3 5 7 y 0 5 4 7 2
3	x 1 2 3 4 5 y 11 6 5 4 3		18	x 1 3 5 7 9 y 6 3 2 7 1
4	x 4 5 6 8 9 y 6 4 5 3 1		19	x 1 4 5 8 9 y 8 3 2 7 1
5	x 2 3 4 5 6 y 6 5 7 2 1		20	x 1 2 3 4 5 y 7 5 6 1 6
6	x 1 2 3 4 5 y 6 5 7 9 8		21	x 2 3 4 5 7 y 7 5 8 1 2
7	x 1 3 4 5 8 y 10 1 0 7 2		22	x 1 2 3 4 7 y 8 5 6 8 3
8	x 3 4 5 7 9 y 2 3 5 6 1		23	x 2 3 4 5 8 y 7 8 6 1 5
9	x 1 2 3 5 6 y 2 5 7 9 4		24	x 1 3 5 6 7 y 9 5 2 4 3
10	x -2 -1 0 1 y 6 0 2 0		25	x 2 4 5 6 7 y 3 5 1 7 2
11	x 1 2 3 5 7 y 3 8 2 8 4		26	x 2 3 4 5 8 y 3 3 7 8 1
12	x 2 3 5 8 9 y 4 7 5 6 2		27	x 2 3 5 7 9 y 5 8 6 2 4
13	x 3 5 7 8 9 y 7 6 4 2 1		28	x 2 3 5 7 8 y 3 5 6 4 1
14	x 2 3 4 6 7 y 3 5 2 1 3		29	x 1 3 4 8 9 y 3 6 8 9 2
15	x 4 6 7 8 9 y 2 2 1 1 3		30	x 1 2 3 6 7 y 8 5 8 2 3

Задание 2

Функция    задана таблицей. Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.  

   Таблица 2.11

№ вар.	Функция
1	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 1,042 1,061 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350
№ вар.	Функция
2	x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 y 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324
3	x 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 y 0,742 0,789 0,835 0,880 0,924 0,967 1,008 1,046
4	x 1,70 1,7 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 y 1,232 1,210 1,179 1,139 1,089 1,028 0,956 0,871
5	x 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 y 1,583 1,487 1,372 1,238 1,084 0,907 0,707 0,482
6	x 10 15 20 25 30 35 40 45 y 0,985 0,966 0,940 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707
7	x 1,1 1,6 2,1 2,6 3,1 3,6 4,1 4,6 y 1,029 1,389 1,649 1,800 1,852 1,822 1,739 1,632
8	x 0,13 0,18 0,23 0,28 0,33 0,38 0,43 0,48 y 0,130 0,179 0,228 0,276 0,324 0,371 0,417 0,463
9	x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 y 0,120 0,090 0,066 0,048 0,034 0,024 0,016 0,011
10	x 50 55 60 65 70 75 80 85 y 0,285 0,319 0,223 0,042 0,148 -0,273 -0,283 -0,178
11	x 0,17 0,22 0,27 0,32 0,37 0,42 0,47 0,52 y 0,170 0,219 0,269 0,318 0,367 0,416 0,464 0,512
12	x 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 y 0,056 0,168 0,276 0,379 0,455 0,563 0,642 0,711
13	x 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 y 0,512 0,506 0,501 0,495 0,489 0,484 0,478 0,472
14	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 0,565 0,638 0,715 0,797 0,886 0,982 1,085 1,196
15	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 1,042 1,061 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350
16	x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 y 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324
17	x 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 y 0,742 0,789 0,835 0,880 0,924 0,967 1,008 1,046
18	x 1,70 1,7 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 y 1,232 1,210 1,179 1,139 1,089 1,028 0,956 0,871
19	x 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 y 1,583 1,487 1,372 1,238 1,084 0,907 0,707 0,482
20	x 10 15 20 25 30 35 40 45 y 0,985 0,966 0,940 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707
21	x 1,1 1,6 2,1 2,6 3,1 3,6 4,1 4,6 y 1,029 1,389 1,649 1,800 1,852 1,822 1,739 1,632
№ вар.	Функция
22	x 0,13 0,18 0,23 0,28 0,33 0,38 0,43 0,48 y 0,130 0,179 0,228 0,276 0,324 0,371 0,417 0,463
23	x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 y 0,120 0,090 0,066 0,048 0,034 0,024 0,016 0,011
24	x 50 55 60 65 70 75 80 85 y 0,285 0,319 0,223 0,042 0,148 -0,273 -0,283 -0,178
25	x 0,17 0,22 0,27 0,32 0,37 0,42 0,47 0,52 y 0,170 0,219 0,269 0,318 0,367 0,416 0,464 0,512
26	x 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 y 0,056 0,168 0,276 0,379 0,455 0,563 0,642 0,711
27	x 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 y 0,512 0,506 0,501 0,495 0,489 0,484 0,478 0,472
28	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 0,565 0,638 0,715 0,797 0,886 0,982 1,085 1,196
29	x 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 y 0,501 0,495 0,489 0,484 0,478 0,472 0,467 0,461
30	x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 y 0,891 0,932 0,964 0,985 0,997 0,999 0,991 0,974

    Задание 3

Функция   задана таблицей  

Найти значение ,  для  которого  .

а).  Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.  

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.  

Таблица 2.12

№ вар.	Функция	при
1	x 4 6 8 10 12 14 y 11 27 50 83 112 147	y=20
2	x 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 y 2,000 2,002 2,010 2,020 2,033 2,050	y=2,0014
3	x 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 y 2,250 2,121 2,027 1,961 1,919	y=2,005
4	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 1,368 1,242 1,186 1,135 1,105 1,042	y=1,150
5	x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 y 0,529 0,941 1,147 1,109 1,054 1,002	y=0,623
6	x 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 y 0,919 0,892 0,873 0,863 0,859 0,853	y=0,901
№ вар.	Функция	при
7	x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 y 0,482 0,851 1,019 1,949 2,009 1,078	y=0,654
8	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 1,000 1,032 1,091 1,145 1,170 1,195	y=1,005
9	x 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 y 1,649 1,665 1,682 1,699 1,716 1,733	y=1,655
10	x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 y 0,891 0,932 0,964 0,985 0,997 0,999	y=0,905
11	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 1,042 1,061 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350	y=1,054
12	x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 y 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324	y=1,985
13	x 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 y 0,742 0,789 0,835 0,880 0,924 0,967 1,008 1,046	y=0,763
14	x 1,70 1,7 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 y 1,232 1,210 1,179 1,139 1,089 1,028 0,956 0,871	y=1,220
15	x 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 y 1,583 1,487 1,372 1,238 1,084 0,907 0,707 0,482	y=1,494
16	x 4 6 8 10 12 14 y 11 27 50 83 112 147	y=30
17	x 1,0 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 y 2,000 2,002 2,010 2,020 2,033 2,050	y=2,003
18	x 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 y 2,250 2,121 2,027 1,961 1,919	y=2,056
19	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 1,368 1,242 1,186 1,135 1,105 1,042	y=1,350
20	x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 y 0,529 0,941 1,147 1,109 1,054 1,002	y=1,005
21	x 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 y 0,919 0,892 0,873 0,863 0,859 0,853	y=0,901
22	x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 y 0,482 0,851 1,019 1,949 1,999 2,059	y=0,946
23	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 1,000 1,032 1,091 1,145 1,170 1,195	y=1,045
24	x 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 y 1,649 1,665 1,682 1,699 1,716 1,733	y=1,673
25	x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 y 0,891 0,932 0,964 0,985 0,997 0,999	y=0,955
26	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 1,042 1,061 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350	y=0,055
№ вар.	Функция	при
27	x 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 y 0,742 0,789 0,835 0,880 0,924 0,967 1,008 1,046	y=0,764
28	x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 y 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324	y=2,259
29	x 1,70 1,7 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 y 1,232 1,210 1,179 1,139 1,089 1,028 0,956 0,871	y=1,185
30	x 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 y 1,583 1,487 1,372 1,238 1,084 0,907 0,707 0,482	y=1,492

Раздел Б

Задание 1

        Функция   задана таблицей

1). Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти .

2). С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа  по известным значениям функции, приведенным в таблице?

Таблица 2.13

№ вар.	Функция
1	x 1,50 1,54 1,56 1,60 1,63 1,70 y 3,873 3,924 3,950 4,000 4,037 4,123
2	x 2,0 2,3 2,5 3,0 3,8 4,0 y 5,848 6,127 6,300 6,694 7,047 7,243
3	x 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 y 1,636 1,732 1,877 2,033 2,228 2,359
4	x 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 y 1,023 1,096 1,147 1,215 1,301 1,410
5	x 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 y 2,740 2,301 1,969 1,788 1,595 1,343
6	x 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 y 2,574 2,325 2,093 1,862 1,749 1,621
7	x 0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99 y 0,809 0,894 1,030 1,209 1,341 1,524
8	x 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0,40 y 9,054 6,617 4,692 3,351 2,740 2,365
9	x 1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400 y 5,041 5,177 5,320 5,471 5,630 5,798
10	x 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 y 8,657 8,293 7,958 7,648 7,362 7,096
11	x 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 y 6,617 6,400 6,197 6,006 5,826 5,656
№ вар.	Функция
12	x 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 y 5,615 5,467 5,326 5,193 5,066 4,946
13	x 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 y 4,832 4,723 4,619 4,519 4,424 4,333
14	x 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 y 0,889 0,890 0,891 0,892 0,893 0,894
15	x 0,05 0,10 0,17 0,25 0,30 0,36 y 0,050 0,100 0,172 0,255 0,309 0,376
16	x 1,50 1,54 1,56 1,60 1,63 1,70 y 3,873 3,924 3,950 4,000 4,037 4,123
17	x 2,0 2,3 2,5 3,0 3,8 4,0 y 5,848 6,127 6,300 6,694 7,047 7,243
18	x 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 y 1,636 1,732 1,877 2,033 2,228 2,359
19	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 1,023 1,096 1,147 1,215 1,301 1,410
20	x 0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64 y 2,740 2,301 1,969 1,788 1,595 1,343
21	x 0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72 y 2,574 2,325 2,093 1,862 1,749 1,621
22	x 0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99 y 0,809 0,894 1,030 1,209 1,341 1,524
23	x 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0,40 y 9,054 6,617 4,692 3,351 2,740 2,365
24	x 1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400 y 5,041 5,177 5,320 5,471 5,630 5,798
25	x 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 y 8,657 8,293 7,958 7,648 7,362 7,096
26	x 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 y 6,617 6,400 6,197 6,006 5,826 5,656
27	x 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 y 5,615 5,467 5,326 5,193 5,066 4,946
28	x 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 y 4,832 4,723 4,619 4,519 4,424 4,333
29	x 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 y 0,889 0,890 0,891 0,892 0,893 0,894
30	x 0,05 0,10 0,17 0,25 0,30 0,36 y 0,050 0,100 0,172 0,255 0,309 0,376

Задание 2

Функция   задана таблицей  

Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.   Оценить остаточный член.

Таблица 2.14

№ вар.	Функция
1	x 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 y 0,889 0,890 0,891 0,892 0,893 0,894
2	x 0,101 0,106 0,111 0,116 0,121 0,126 y 1,262 1,276 1,291 1,306 1,321 1,337
3	x 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 y 0,861 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670
4	x 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 y 5,615 5,467 5,326 5,193 5,066 4,946
5	x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 y 33,12 34,81 36,59 38,47 40,45 42,52
6	x 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 1,365 y 4,256 4,353 4,455 4,562 4,673 4,790
7	x 1,370 1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 y 4,913 5,042 5,177 5,320 5,471 5,630
8	x 0,01 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 y 0,992 0,952 0,914 0,877 0,842 0,808
9	x 0,31 0,36 0,41 0,46 0,51 0,56 y 0,775 0,744 0,714 0,685 0,658 0,631
10	x 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 y 4,482 4,953 5,474 6,050 6,686 7,389
11	x 1,235 1,240 1,245 1,250 1,255 1,260 y 0,1078 0,1083 0,1087 0,1091 0,1096 0,1100
12	x 1,675 1,676 1,677 1,678 1,679 1,680 y 9,562 9,471 9,380 9,292 9,206 9,121
13	x 1,520 1,521 1,522 1,523 1,524 1,525 y 19,670 20,065 20,477 20,906 21,354 21,821
14	x 1,528 1,529 1,530 1,531 1,532 1,533 y 23,352 23,911 24,498 25,115 25,763 26,445
15	x 1,440 1,445 1,450 1,455 1,460 1,465 y 0,894 0,895 0,896 0,897 0,898 0,899
16	x 0,126 0,131 0,136 0,141 0,146 0,151 y 1,337 1,352 1,368 1,384 1,399 1,416
17	x 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 y 0,607 0,577 0,549 0,522 0,497 0,472
№ вар.	Функция
18	x 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 y 4,832 4,723 4,619 4,519 4,424 4,333
19	x 3,95 4,00 4,05 4,10 4,15 4,20 y 51,94 54,59 57,40 60,34 63,43 66,68
20	x 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 y 8,657 8,293 7,958 7,649 7,362 7,096
21	x 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180 y 6,399 6,197 6,006 5,826 5,656 5,495
22	x 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 y 8,166 9,025 9,974 11,023 12,183 13,464
23	x 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 y 20,19 19,61 18,94 18,17 17,30 16,31
24	x 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 y 15,20 13,95 12,55 10,99 9,26 7,35
25	x 1,215 1,220 1,225 1,230 1,235 1,240 y 0,1060 0,1065 0,1069 0,1074 0,1078 0,1083
26	x 1,683 1,684 1,685 1,686 1,687 1,688 y 8,875 8,796 8,718 8,642 8,567 8,493
27	x 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 y 0,919 0,892 0,873 0,863 0,859 0,853
28	x 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 y 2,000 2,002 2,010 2,020 2,033 2,050
29	x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 1,368 1,242 1,186 1,135 1,105 1,042
30	x 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 y 1,649 1,665 1,682 1,699 1,716 1,733

Задание 3

С помощью обратного интерполирования найти корень уравнения , лежащий на отрезке  с точностью  .

Таблица 2.15

№ вар.	Уравнение
1
2
3
4
5
№ вар.	Уравнение
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Литература

1) Барвин, И.И.  Высшая математика: учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов / И.И.Баврин. - М.:  «Академия», 2002. – 611с.

2) Высшая математика для экономистов/ Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. -   М.: ЮНИТИ, 2000. – 600с.

3). Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник/ В.С. Шипачев. – М.: Проспект, 2002. - 600с.

4)  Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2.:учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Изд. 6-е. –М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2003. – 406с.

5) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 1./ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 432с.

6) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 2./ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 576с.

7) Копченова,  Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н.В. Копченова, И.А. Марон, - М.: Наука, 1972. – 367с.

8) Плис,  А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина, - М.: Высшая школа, 1983. – 208с.

9) Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979. 184с.

10) Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л.А. Кузнецов. -  С.-Петерб.-М.-Краснодар: Лань, 2005. – 240с.

11) Шипачев,  В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – М.: Высш. Шк., 2001. – 304с.

Содержание

Введение	2
Расчетная работа. Интерполирование	3
I. Теоретическая часть	3
1. Постановка задачи	3
2. Интерполяционная формула Лагранжа	3
3. Интерполяционная формула Ньютона	5
4. Обратное интерполирование	7
5. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования	8
II. Порядок выполнения работы	8
III. Пример	12
IV. Контрольные вопросы	19
V. Индивидуальные задания	20
Раздел А	20
Раздел Б	24
Литература	30