Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методическое пособие "Практикум по численным методам "Интерполирование""
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебно-методическое пособие "Практикум по численным методам "Интерполирование""

библиотека
материалов

hello_html_m53577569.gifhello_html_2d22fe81.gifhello_html_78cf3.gifhello_html_m723747c4.gifhello_html_33d158dc.gifhello_html_m13365ace.gif










МАТЕМАТИКА




ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ


«ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ»




Учебно-методическое пособие





--------------------------------------------------------------------------------------





















Введение


Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д.

Цель учебно-методического пособия – помощь учащимся, углубленно изучающим математику, а также студентам 1 курса вузов в самостоятельном изучении численных методов и выполнении лабораторно-практических работ.

Настоящее пособие содержит расчетную работу: интерполирование.

Работа содержит теоретическую часть, в которой дана общая постановка решаемой задачи и различные методы ее решения; порядок выполнения работы (решение задач в общем виде); приводятся примеры с решениями, контрольные вопросы, на которые обучающемуся необходимо ответить, чтобы проверить степень усвоения материала; задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А,Б (для дифференцированного контроля знаний студентов0. Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б – более сложные задачи.

















Расчетная работа «Интерполирование»


  1. Теоретическая часть

1. Постановка задачи

Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами hello_html_m32e59720.gif и hello_html_6bc582c9.gif, описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция hello_html_aaca412.gif остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции hello_html_160a8abe.gif, при некоторых значениях аргумента hello_html_m8b0a72b.gif, принадлежащих отрезку hello_html_95425ac.gif.

Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию hello_html_aaca412.gif на отрезке hello_html_95425ac.gif точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке hello_html_95425ac.gif заданы значения неизвестной функции hello_html_aaca412.gif в hello_html_2fd86e7a.gif различных точках hello_html_m8b0a72b.gif: hello_html_m5c0a45e2.gif; требуется найти многочлен hello_html_4465449a.gif степени hello_html_537996c4.gif, приближенно выражающий функцию hello_html_m2b51c4a7.gif.

hello_html_1baad9b1.jpg

Рис. 1 В качестве такого многочлена естественно взять

многочлен, значения которого в точках hello_html_m8b0a72b.gif

совпадают с соответствующими значениями

значениями hello_html_160a8abe.gif функции hello_html_m4507d466.gif (рис.2. 1). Поставленная

задача, называется «задачей интерполирования

функции».

Рис. 2.1 Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л.Чебышев(1821-1894)- один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева.

Рассмотрим, как решается задача интерполирования с помощью интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.


2. Интерполяционная формула Лагранжа

Для данной функции hello_html_aaca412.gif найти многочлен hello_html_m73227661.gif степени hello_html_26a48a9.gif,

который при заданных значениях hello_html_m8b0a72b.gif принимал бы значения

hello_html_m5c0a45e2.gif. Точки hello_html_m8b0a72b.gifназывают узлами интерполяции.

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен hello_html_2bf38e2d.gif- ой степени вида

hello_html_m7de91660.gif (2.1)

и определим коэффициенты hello_html_m258ca8f3.gif так, чтобы выполнялись условия

hello_html_6c63758e.gif (2.2)

Положим в формуле (2.1) hello_html_b73493a.gif; тогда, принимая во внимание равенства (2.2), получим hello_html_168df3bb.gif откуда

hello_html_m28ee1d31.gif Затем, положив hello_html_m7d47ce07.gif, получим hello_html_5c94b3ff.gif откуда hello_html_m30e18a5.gif

Таким же образом найдем hello_html_2644ca4b.gif… ,

hello_html_m73a27ecf.gif

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (2.1), получим

hello_html_20a06217.gif

hello_html_d211f2e.gif (2.3) Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Интерполяционную формулу Лагранжа можно записать в виде:

hello_html_m62f56668.gif (2.4)

Выражения hello_html_m2a68542c.gif (2.5)

называются коэффициентами Лагранжа.

Для вычисления hello_html_m6d0a70c0.gif удобно применить следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:

Таблица 2.1

hello_html_m7fb42bdc.gif

hello_html_53ad0390.gif

hello_html_1a629ccb.gif

hello_html_68963063.gif

hello_html_3fdd0cb6.gif

hello_html_44e17725.gif

hello_html_m6e1dc162.gif

hello_html_m3ccbf521.gif

hello_html_6974844b.gif

hello_html_1d81c31e.gif

hello_html_m1109f1df.gif

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m68d26723.gif

hello_html_64e04110.gif

hello_html_14d143fc.gif

hello_html_25cfd25.gif

hello_html_m5fd33eff.gif

Обозначив произведение элементов hello_html_m330af514.gif - ой строки через hello_html_dc9cefc.gif, а произведение элементов главной диагонали через hello_html_m15168132.gif, т.е. hello_html_6a264cac.gif Тогда hello_html_m1c87222d.gif, hello_html_m2730c56c.gif. (2.6)

Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде:

hello_html_143eb7cc.gif (2.7)

Иногда бывает полезно для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если hello_html_m709c44f6.gif, то hello_html_m1c8dde71.gif.

Если hello_html_m4507d466.gif имеет производную hello_html_3d84e715.gif - го порядка на отрезке hello_html_95425ac.gif, то погрешность при замене функции hello_html_m4507d466.gif многочленом hello_html_m73227661.gif, т.е. величина hello_html_m27bc4ec3.gif, удовлетворяет неравенству

hello_html_m181dcab9.gif (2.8)

где отрезок hello_html_95425ac.gif содержит все узлы hello_html_1cf9519d.gif и точку hello_html_6bc582c9.gif.

Замечание. Многочлен hello_html_6a13cddb.gif является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.


3. Интерполяционная формула Ньютона

Пусть известны hello_html_2fd86e7a.gif значение функции hello_html_m4507d466.gif, а именно hello_html_160a8abe.gif при hello_html_2fd86e7a.gif значении аргумента hello_html_m8b0a72b.gif. При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна. Обозначим ее через hello_html_m556c7de6.gif. Узлы интерполяции –равноотстоящие. Таким образом, имеем таблицу значений неизвестной функции hello_html_aaca412.gif при соответствующих значениях аргумента.

hello_html_m468af310.gif

hello_html_m62c149a7.gif

hello_html_3941e1dd.gif

hello_html_4bdc7a6.gif

hello_html_7618f60f.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_65b881ca.gif

hello_html_m45010ce9.gif

hello_html_m41e9d6c2.gif

hello_html_m890f829.gif

Составим многочлен степени не выше hello_html_m6bcffec.gif, который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях hello_html_6bc582c9.gif. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию hello_html_m2b51c4a7.gif.

Конечными разностями функции hello_html_m6071d41c.gif называются разности вида hello_html_6b08dfa9.gif- конечные разности первого порядка, hello_html_1f04baca.gif- конечные разности второго порядка, …, hello_html_aaf5db6.gif- конечные разности hello_html_m6bcffec.gif-го порядка.

Обозначим hello_html_m647644f4.gif, hello_html_22edc686.gif, hello_html_m1dd4a1.gif, … .

Производя последовательные подстановки, получим:

hello_html_m4034e89.gif, hello_html_mec30ada.gif

hello_html_m79699fdd.gif, … ,

hello_html_m202818d2.gif, …,

………………………………………………………………………………………….

hello_html_215e698.gif.

Тогда hello_html_m4a6a4c8a.gif, hello_html_79496938.gif, hello_html_m7fdc2708.gif, … ,

hello_html_m41222199.gif. (2.9)

Так как hello_html_1011ed21.gif, то hello_html_m21047e41.gif, отсюда hello_html_m7c64e4a4.gif. (2.10)

Подставив вместо hello_html_m6bcffec.gif в (2.5) найденное выражение (2.6), получим

hello_html_52736ba2.gif. (2.11)

Эта формула называется интерполяционной формулой Ньютона или интерполяционным многочленом Ньютона.

Тогда согласно этой формуле многочлен, принимающий значения hello_html_m28e9d683.gif соответственно при hello_html_4d5e4d2f.gif и hello_html_3e548652.gif-многочлен 1-ой степени hello_html_413a4f5c.gif(2.12)

Эта интерполяция носит название линейной интерполяции.

Многочлен, принимающий значения hello_html_579b298f.gif соответственно при hello_html_39b317ec.gif- многочлен 2-ой степени hello_html_m5ee1465.gif (2.13)

Интерполяция с помощью этого многочлена называется квадратичной интерполяцией.

Многочлен же 3-го порядка будет иметь вид

hello_html_4ccfc475.gif (2.14)

Обозначив в формуле (2.10) hello_html_m2739dc30.gif, получим интерполяционный многочлен Ньютона в виде hello_html_mca82ded.gif. (2.15)

Остаточный член формулы (2.14) имеет вид

hello_html_m26eca10c.gif, (2.16)

где с - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы hello_html_m783d7181.gifи точку hello_html_6bc582c9.gif.

Число hello_html_m6bcffec.gif желательно выбирать так, чтобы разности hello_html_m426e66bf.gif были практически постоянными.

По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен

степени не выше hello_html_m6bcffec.gif, принимающий заданные hello_html_2fd86e7a.gif значений при данных hello_html_2fd86e7a.gif

значениях hello_html_6bc582c9.gif, находится единственным образом.

Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена hello_html_78bfedf6.gif- й степени к многочлену hello_html_5f65243f.gif- й степени первые hello_html_361d8cb.gif членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.

Замечание. По интерполяционным формулам Лагранжа (2.3) и Ньютона (2.10) определяются значения функции на отрезке hello_html_m6ee729f.gif. Если по этим формулам определяется значение функции при hello_html_m3f40b4cf.gif(это можно делать при малом hello_html_757a1cf4.gif), то говорят что, производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при hello_html_4bcd2dae.gif, то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.


4. Обратное интерполирование

Пусть функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей.

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции определить соответствующее значение аргумента hello_html_6bc582c9.gif. Будем считать, что в рассматриваемом интервале функция hello_html_m12df11ba.gif монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную hello_html_m32e59720.gifза независимую, а hello_html_6bc582c9.gif считать функцией от hello_html_m32e59720.gif. Тогда, написав по заданным узлам hello_html_7f994c18.gif(hello_html_m33a98843.gif) многочлен Лагранжа

hello_html_4ddf7dcc.gif

hello_html_m2df19b46.gif (2.17)

Итерационные методы. Если функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например интерполяционный многочлен Ньютона (2.15):

hello_html_778b56f8.gif.

Заменив hello_html_6bc582c9.gif на hello_html_m32e59720.gif, получим формулу для нахождения обратной функции hello_html_64aeb400.gif

hello_html_m3e25823.gif, (2.18)

где hello_html_m3a2909d2.gif, hello_html_m4bb8faac.gif.


5. Нахождение корней уравнения методом обратного

интерполирования

Пусть требуется решить уравнение hello_html_m50fe05cd.gif.

Рассмотрим функцию hello_html_m12df11ba.gif и составим таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой степени точности корня. В качестве hello_html_4d5e4d2f.gifи hello_html_3e548652.gif берем те соседние узлы, в которых

hello_html_221c7f30.gif,

и применяя метод обратного интерполирования, отыскиваем значение hello_html_6bc582c9.gif, при котором hello_html_m42500806.gif.


  1. Порядок выполнения работы


Задание 1

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

x

x0

x1

x2

xn

y

y0

y1

y2

yn

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти hello_html_m7da86efd.gif


Решение:

а). Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Для этого:

1. Подставим в интерполяционную формулу Лагранжа (2.3) значения hello_html_m33648da3.gif , hello_html_mc6e2514.gif, hello_html_m6bcffec.gif.

2. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

б). Найдем hello_html_m7da86efd.gif, подставив в полученный для данной функции hello_html_m12df11ba.gifинтерполяционный многочлен hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_6bc582c9.gif.


Задание 2

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

x

x0

x1

x2

xn

y

y0

y1

y2

yn

Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти hello_html_4ee33d1a.gif.


Решение:

1. Вычислим коэффициенты Лагранжа hello_html_m6d0a70c0.gif, произведения элементов каждой строки hello_html_dc9cefc.gif, отношения hello_html_339b9629.gif, сумму hello_html_m3d7b2045.gif, произведение элементов главной диагонали hello_html_m712aa32b.gif.

Все вычисления расположим в таблице:


Таблица 2.2

hello_html_7c98a5fa.gif

hello_html_59de7d8b.gif, hello_html_2df943be.gif

hello_html_dc9cefc.gif

hello_html_m7c18ae56.gif

hello_html_339b9629.gif

0

hello_html_251fbce6.gif

hello_html_53ad0390.gif

hello_html_1a629ccb.gif

hello_html_68963063.gif

hello_html_4bd573bc.gif


hello_html_741d648e.gif

1

hello_html_3fdd0cb6.gif

hello_html_7b5e80a3.gif

hello_html_m6e1dc162.gif

hello_html_m3ccbf521.gif

hello_html_7944f76b.gif

hello_html_m45010ce9.gif


2

hello_html_6974844b.gif

hello_html_1d81c31e.gif

hello_html_m157b5479.gif

hello_html_m68d26723.gif

hello_html_7dd2a782.gif

hello_html_m41e9d6c2.gif

hello_html_6f401ac7.gif

hello_html_2bf38e2d.gif

hello_html_64e04110.gif

hello_html_14d143fc.gif

hello_html_25cfd25.gif

hello_html_3848b52.gif

hello_html_m35bfe3bd.gif


hello_html_m3640eec8.gif

hello_html_65a4130a.gif

hello_html_m3d7b2045.gif

2. Используя формулы (2.6) и (2.7), подставив hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_6bc582c9.gif, найдем hello_html_m18e21fdc.gif.


Задание 3

С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа hello_html_4ee33d1a.gif по известным значениям функции hello_html_78ee4d89.gif?

Решение:

1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим hello_html_m6bcffec.gif и подставим его значение в формулу (2.8)

hello_html_m4f796a43.gif.

2. Найдем hello_html_65b03ae6.gif. Для этого будем последовательно находить производные до

hello_html_3d84e715.gif-го порядка включительно:

hello_html_60b5161d.gif

3. Найдем hello_html_23a42fb3.gif на отрезке hello_html_m2523de17.gif, который содержит все узлы hello_html_m33648da3.gif и точку hello_html_m2b756efc.gif. Для этого:

1). Обозначим через hello_html_39d1105.gif

2). Найдем hello_html_m6305d61.gif.

3). Найдем те значения hello_html_6bc582c9.gif, в которых hello_html_m2cef4c81.gif или не существует.

4). Найдем значения функцииhello_html_m12df11ba.gif в этих точках и значения функции на концах отрезка hello_html_95425ac.gif hello_html_41313f33.gif и hello_html_f71fb41.gif.

5). Выберем из этих значений наибольшее, это и будет hello_html_15c5d205.gif.

4. Оценим остаточный член, подставив значения hello_html_m33648da3.gif, hello_html_15c5d205.gif в полученную формулу hello_html_m4f796a43.gif.


Задание 4

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

x

x0

x1

x2

xn

y

y0

y1

y2

yn

Найти значение функции hello_html_m5a8af23f.gif, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.

Решение:

  1. Найдем hello_html_1eadbff2.gif

  2. Составим таблицу разностей. Приведем для образца горизонтальную таблицу конечных разностей при hello_html_782a5e9c.gif:

Таблица 2.3

hello_html_m468af310.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_5d614825.gif

hello_html_m180485ea.gif

hello_html_6ef658aa.gif

hello_html_mce0748d.gif

hello_html_m62c149a7.gif

hello_html_65b881ca.gif

hello_html_4cfa96fc.gif

hello_html_m4d428afb.gif

hello_html_m7dd10511.gif

hello_html_m498c7d2c.gif

hello_html_67f2de71.gif

hello_html_m45010ce9.gif

hello_html_6b3f126c.gif

hello_html_663931.gifhello_html_m6ea877cd.gif

hello_html_153f1ebd.gif

hello_html_m75cee311.gif

hello_html_60e503fe.gif

hello_html_m41e9d6c2.gif

hello_html_1f54ac29.gif

hello_html_7829a144.gifhello_html_c2fc2e4.gif

hello_html_2292a9f6.gif


hello_html_m24af6970.gif

hello_html_m4dc5c087.gif

hello_html_3b1b2ddd.gif

hello_html_64e8b219.gifhello_html_m4b916177.gif



hello_html_799cda9c.gif

hello_html_m58900fa4.gif

hello_html_1dc1c404.gif




hello_html_m3dd6b00e.gif

hello_html_m54bc19e5.gif





3. Найдем hello_html_m2739dc30.gif, где подставим hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_m2219f5ed.gif.

4. Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (2.15), подставим все необходимые значения в нее.

5. Оценим остаточный член:

1). Найдем hello_html_3d84e715.gif- ю производную функции hello_html_m12df11ba.gif: hello_html_m7a83e391.gif

2). Определим наименьший интервал hello_html_m15cce5ed.gif, где hello_html_m25564b00.gif - его некоторая

внутренняя точка, содержащий все узлы hello_html_m6a7d646a.gif (hello_html_m33a98843.gif) и точку hello_html_m2b756efc.gif.

Оценим hello_html_m33274cfe.gif

3). Из формулы (16) hello_html_m26eca10c.gifпри заданных

значениях hello_html_75bba339.gif получим оценку остаточного члена hello_html_4a3c9d2.gif

4). Определим, на какой десятичный знак может остаточный член

повлиять.


Задание 5

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

x

x0

x1

x2

xn

y

y0

y1

y2

yn

Найти значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m53743bf2.gif.

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Решение:

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m53743bf2.gif. Для этого в формулу (2.17)

hello_html_4ddf7dcc.gif

hello_html_m51b4206c.gif подставим значения hello_html_m33648da3.gif,

hello_html_mc6e2514.gif и hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_m32e59720.gif.

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m53743bf2.gif. Воспользуемся формулой (2.18)

hello_html_m3e25823.gif,

где hello_html_4116bb21.gif Для этого:

1. Найдем hello_html_m4bb8faac.gif.

2. Найдем hello_html_m3a2909d2.gif.

3. Составим таблицу разностей. Приведем ее образец для n=5:

Таблица 2.4

hello_html_m468af310.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_m24efa840.gif

hello_html_m54854f5c.gif

hello_html_m411e2e36.gif

hello_html_m3240efe4.gif

hello_html_m62c149a7.gif

hello_html_65b881ca.gif

hello_html_m70d424c9.gif

hello_html_521dca88.gif

hello_html_56d662a0.gif

hello_html_m79aab604.gif

hello_html_67f2de71.gif

hello_html_m45010ce9.gif

hello_html_m59f7295a.gif

hello_html_m78a8c52d.gif

hello_html_747e5070.gif

hello_html_m64effc7b.gif

hello_html_60e503fe.gif

hello_html_m41e9d6c2.gif

hello_html_mf0da8c4.gif

hello_html_12944045.gif

hello_html_m3410fd5f.gif


hello_html_m24af6970.gif

hello_html_m4dc5c087.gif

hello_html_m2d7fd904.gif

hello_html_5bb18235.gif



hello_html_799cda9c.gif

hello_html_m58900fa4.gif

hello_html_383284e2.gif




hello_html_m3dd6b00e.gif

hello_html_m54bc19e5.gif





4. Подставив hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_m32e59720.gif и все найденные значения в формулу (2.18)

hello_html_m3e25823.gif, получим

искомое значение hello_html_6bc582c9.gif.

Задание 6

Методом обратного интерполирования найти корень уравнения hello_html_m50fe05cd.gif, лежащий на отрезке hello_html_95425ac.gif с точностью hello_html_m2ee74ed6.gif.

Решение:

  1. Составим таблицу значений функции hello_html_m12df11ba.gif с шагом hello_html_m556c7de6.gif в указанном интервале hello_html_95425ac.gif.

  2. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m1c5f7300.gif. Воспользуемся формулой (2.18)

hello_html_m3e25823.gif,

где hello_html_4116bb21.gif Для этого:

1). Найдем hello_html_m4bb8faac.gif.

2). Найдем hello_html_m3a2909d2.gif при hello_html_m1c5f7300.gif.

3). Составим таблицу разностей. (См таблицу 2.4).

4). Подставив hello_html_377e3e2.gif вместо hello_html_m32e59720.gif и все найденные значения в формулу (2.18)

hello_html_m576fed0e.gif, получим

искомое значение hello_html_6bc582c9.gif с указанной точностью hello_html_m2ee74ed6.gif. Это и есть искомый корень данного уравнения.


  1. Пример

Задание 1

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

x

0

0.1

0.3

0.5

y

-0.5

0

0.2

1

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти hello_html_26083c70.gif

Решение:

а). 1. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Так как hello_html_40913966.gif, то hello_html_6b513a0b.gif. Тогда из формулы (2.3)

hello_html_20a06217.gif

hello_html_2f21631c.gif получим

hello_html_f50ce26.gifhello_html_4252b89c.gif.

2. Подставим в полученную интерполяционную формулу Лагранжа при hello_html_6b513a0b.gif значения hello_html_m793b2703.gif , hello_html_m4a0c798c.gif и получим: hello_html_m7a4cf8fd.gif

hello_html_m752da1d3.gif.

3. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

hello_html_m8777465.gif

hello_html_2b6e38d4.gifhello_html_d68a9f9.gif

hello_html_m1f70c0cb.gifhello_html_74d64489.gifhello_html_139f54f1.gif

hello_html_5ea8621.gif. Следовательно, искомый интерполяционный многочлен Лагранжа

hello_html_m5b6b2df6.gif.

б). Найдем hello_html_26083c70.gif, подставив в полученный для данной функции hello_html_m12df11ba.gif интерполяционный многочлен hello_html_m59e2b7ec.gif вместо hello_html_6bc582c9.gif. Получим hello_html_m2c38bf68.gifhello_html_m5b7a11a9.gif.


Задание 2

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

hello_html_m468af310.gif

0,05

0,15

0,20

0,25

0,35

0,40

0,50

0,55

hello_html_4cc28be1.gif

0,9512

0,8607

0,8187

0,7788

0,7047

0,6703

0,6065

0,5769

Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти hello_html_60cbac00.gif

Решение:

Для упрощения вычислений полагаем hello_html_63b83ff0.gif. Тогда значения новой переменной hello_html_eb5c2da.gif, соответствующие узлам интерполирования, будут

hello_html_m92d7c89.gif

1

3

4

5

7

8

10

11

hello_html_4cc28be1.gif

0,9512

0,8607

0,8187

0,7788

0,7047

0,6703

0,6065

0,5769

Кроме того, при hello_html_m485b3a99.gif будет hello_html_m33582327.gif.

1. Воспользуемся инвариантностью лагранжевых коэффициентов и вместо hello_html_m6d0a70c0.gifвычислим hello_html_7beed5fa.gif.

Все вычисления расположим в таблице:

Таблица 2.5

hello_html_7c98a5fa.gif

hello_html_m6c5728b.gif, hello_html_2df943be.gif


hello_html_dc9cefc.gif

hello_html_m7c18ae56.gif

hello_html_339b9629.gif

0

8

-2

-3

-4

-6

-7

-8

-10

-725760

0,9512


1

2

6

-1

-2

-4

-5

-7

-8

26880

0,8607

hello_html_m5d3089dc.gif

2

3

1

5

-1

-3

-4

-6

-7

-7560

0,8187


3

4

2

1

4

-2

-3

-5

-6

5760

0,7788

hello_html_m3210be9f.gif

4

6

4

3

2

2

-1

-3

-4

-3456

0,7047

hello_html_7a80e66a.gif

5

7

5

4

3

1

1

-2

-3

2520

0,6703


6

9

7

6

5

3

2

-1

-1

11340

0,6065

hello_html_5a4864ad.gif

7

10

8

7

6

4

3

1

-2

-80640

0,5769

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m62a00377.gifhello_html_m69cbb0d7.gif

hello_html_m2dcb407b.gif

hello_html_66b1e6bd.gif

2. Получаем, используя интерполяционную формулу Лагранжа (2.7) и формулу для нахождения лагранжевых коэффициентов (2.6):

hello_html_m66a9e29d.gif

Задание 3

С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа hello_html_1ca62184.gif по известным значениям функции hello_html_525d5dfe.gif?

Решение:

1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим hello_html_m55ce3e47.gif и подставим его значение в формулу (2.8)

hello_html_m4f796a43.gif, получим

hello_html_mbde128e.gif.

2. Найдем hello_html_65b03ae6.gif. Для этого будем последовательно находить производные до

hello_html_3d84e715.gif-го порядка включительно hello_html_20c83284.gif. Так как hello_html_1121af48.gif, то получим hello_html_m742f1805.gif, hello_html_3e705f12.gif, hello_html_mdf4eb29.gif,hello_html_781b2b20.gif

hello_html_m4306fc73.gif.

3. Найдем hello_html_33c8efc8.gif на отрезке hello_html_71cd1aa5.gif, который содержит все узлы hello_html_m41fe4417.gif и точку hello_html_4229bd17.gif. Для этого:

1). Обозначим через hello_html_m39c3ac48.gif

2). Найдем hello_html_m6305d61.gif: hello_html_2f0cbf53.gif.

3). Найдем на отрезке hello_html_71cd1aa5.gif те значения hello_html_6bc582c9.gif, в которых hello_html_m2cef4c81.gif или не существует. Таких значений нет.

4). Найдем значения функцииhello_html_m5ed3fe27.gif на концах отрезка hello_html_71cd1aa5.gif

hello_html_m23447e0f.gif и hello_html_4e4abc1b.gif.

5). Выберем из этих значений наибольшее, это и будет hello_html_m4b25ecc6.gif=hello_html_m48ea1748.gif.

4. Оценим остаточный член, подставив значения hello_html_m3e747f43.gif, hello_html_1c23026.gif в полученную формулу hello_html_mbde128e.gif. Тогда получим

hello_html_m6159ec7f.gif

hello_html_m1c1313ef.gif.


Задание 4

Функция hello_html_45f6aca7.gif задана таблицей

x

1000

1010

1020

1030

1040

1050

y

3,0000000

3,0043214

3,0086002

3,0128372

3,0170333

3,0211893

Найти значение функции hello_html_m6785c2fb.gif, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.

Решение:

  1. Найдем hello_html_1d8b1381.gif: hello_html_b35c15d.gif.

  2. Составим таблицу разностей, записывая их в единицах седьмого разряда:

Таблица 2.6

hello_html_m468af310.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_5d614825.gif

hello_html_m180485ea.gif

hello_html_6ef658aa.gif

1000

3,0000000

43214

-426

8

1010

3,0043214

42788

-418

9

1020

3,0086002

42370

-409

8

1030

3,0128372

41961

-401


1040

3,0170333

41560



1050

3,0211893




Замечаем, что третьи разности практически постоянны, ограничимся ими и в формуле (2.15) hello_html_mca82ded.gif достаточно

взять hello_html_6b513a0b.gif:

hello_html_9725a37.gif.

3. Найдем hello_html_m2739dc30.gif, где подставим hello_html_m7040927d.gif, hello_html_m2233f8f6.gif 1001, hello_html_m49f3ecce.gif. Получим hello_html_m51b2fc96.gif.

4. Воспользуемся полученной в п. 2 интерполяционной формулой Ньютона для hello_html_6b513a0b.gif, для чего подставим в нее все необходимые значения, найденные в п. 1 и п. 2: hello_html_m7c33daa.gif

hello_html_m14f42459.gif.

5. Оценим остаточный член при hello_html_6b513a0b.gif:

1). Найдем hello_html_3d84e715.gif- ю производную функции hello_html_m12df11ba.gif: hello_html_3aa48635.gif. Так как hello_html_m5ae49458.gif, то hello_html_m79876ccc.gif (при нахождении производной воспользовались табличным значением hello_html_1f68cb6.gif).

Найдем hello_html_585d7a5f.gif ;

hello_html_337eed3d.gif

hello_html_157a29a3.gif Так как hello_html_673291b8.gif,

а по правилу перехода от натурального логарифма к десятичному

hello_html_m7b331ada.gif, то hello_html_6b46a8a.gif, а hello_html_m343f998d.gif. Следовательно,

hello_html_mbff061a.gif.

2). Так как hello_html_m4e9ccd1b.gif, где hello_html_m25564b00.gif - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка hello_html_m4e67bcdc.gif, содержащего все узлы hello_html_m6a7d646a.gif (hello_html_7f6247fa.gif) и точку hello_html_5f18a80f.gif, то hello_html_4e91226e.gif.

3). При hello_html_6b513a0b.gif из формулы (16) hello_html_m26eca10c.gif получим hello_html_m1f7616b1.gif. При hello_html_39b6a5d1.gif окончательно получим hello_html_m17ceb35f.gif

4). Таким образом, остаточный член может повлиять только на девятый десятичный знак. Заметим, что полученное значение hello_html_m6785c2fb.gif полностью совпадает со значением в семизначной таблице логарифмов.


Задание 5

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

hello_html_m468af310.gif

10

15

17

20

hello_html_4cc28be1.gif

3

7

11

17

Найти значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m38b3ec67.gif.

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Решение:

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m38b3ec67.gif. Для этого в формулу (2.17)

hello_html_4ddf7dcc.gif

hello_html_m51b4206c.gif подставим значения hello_html_74fec1cb.gif, hello_html_m492c37f2.gif и hello_html_5d2553cc.gif вместо hello_html_m32e59720.gif.

Получим hello_html_m5514a0de.gif

hello_html_m4bb9c3ee.gif

hello_html_m3e99205e.gif

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m38b3ec67.gif. Воспользуемся формулой (2.18) hello_html_m3e25823.gif, где hello_html_4116bb21.gif (Полагаем, hello_html_m78c571e2.gif так как заданное значение hello_html_m38b3ec67.gif находится между hello_html_3a7e4936.gif и hello_html_5f498544.gif. Тогда hello_html_m5580d10b.gif). Для этого:

1. Найдем hello_html_m4bb8faac.gif: hello_html_m2da72501.gif

2. Найдем hello_html_m3a2909d2.gif, подставив hello_html_m38b3ec67.gif: hello_html_m564aa5d1.gif

3. Составим таблицу разностей.

Таблица 2.7

hello_html_m468af310.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_m2c4f12f1.gif

hello_html_53e23e47.gif

15

7

2

1

17

11

3


20

17



Остальные разности найти невозможно.

4. Подставив hello_html_5d2553cc.gif вместо hello_html_m32e59720.gif и все найденные значения в формулу (2.18), которая для нашего случая примет вид hello_html_227f49b6.gif получим

искомое значение hello_html_6bc582c9.gif:

hello_html_m62a00377.gifhello_html_1ba2a57d.gif

Задание 6

Методом обратного интерполирования найти корень уравнения hello_html_315222fa.gif, лежащий на отрезке hello_html_7993c18a.gif с точностью hello_html_12b42598.gif.

Решение:

1.Составим таблицу значений функции hello_html_m12df11ba.gif с шагом hello_html_m556c7de6.gif: для функции hello_html_2dae666e.gif на отрезке изоляции hello_html_7993c18a.gif с шагом hello_html_4b93a94f.gif имеем

Таблица 2.8

x

1,6

1,7

1,8

1,9

y

-0,2479952

-0,0979324

0,0580148

0,2195226

Из таблицы видно, что hello_html_m32e59720.gif меняет свой знак при переходе от точки hello_html_3f489658.gifк точке hello_html_m3b50ed82.gif. Полагаем hello_html_7e223610.gif, hello_html_m320432ae.gif, hello_html_69cfbae3.gif-0,0979324, hello_html_m609d1c57.gif0,0580148.

2. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m1c5f7300.gif. Воспользуемся формулой (2.18)

hello_html_m3e25823.gif,

где hello_html_4116bb21.gif Для этого:

1). Найдем hello_html_m4bb8faac.gif: hello_html_5c5d701f.gif.

2). Найдем hello_html_m3a2909d2.gif, подставив вместо hello_html_m1c5f7300.gif: hello_html_1c3c731.gif.

3). Составим таблицу разностей:

Таблица 2.9

hello_html_m468af310.gif

hello_html_5a8c9a71.gif

hello_html_m2c4f12f1.gif

hello_html_m55f4566d.gif

1,7

--0,0979324

0,1

0

1,8

0,0580148

0,1

-

1,9

0,2195226

-

-

4). Подставив hello_html_mdced2bb.gif вместо hello_html_m32e59720.gif и все найденные значения в формулу (2.18)

hello_html_1abcf36.gif, получим искомое значение hello_html_m54cb903e.gif. Это и есть искомый корень данного уравнения с точностью до hello_html_m677b88ba.gif.


IV. Контрольные вопросы

  1. Для чего применяется интерполирование?

  2. Кто является основоположником интерполирования?

  3. В чем состоит задача интерполирования функции?

  4. Какая формула называется интерполяционной формулой Лагранжа?

  5. Как находятся коэффициенты Лагранжа?

  6. Какая погрешность получается при замене функции интерполяционным многочленом Лагранжа7

  7. Сколько многочленов Лагранжа, удовлетворяющим поставленным условиям существует?

  8. Какие узлы интерполяции называются равноотстоящими?

  9. Что называется конечными разностями 1-го порядка? 2-го порядка? 3-го порядка? n-го порядка?

  10. Какой многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона?

  11. Что такое линейная и квадратичная интерполяции?

  12. Что называется экстраполяцией функции вперед или назад?

  13. В чем состоит задача обратного интерполирования?

V. Индивидуальные задания

Раздел А

Задание 1

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

б). Найти значение функции hello_html_4f161d75.gif при заданном значении аргумента.



Таблица 2.10

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

1

x

1

2

4

5

7

y

4

5

6

8

2


hello_html_7a96eb29.gif

16

x

1

2

3

5

7

y

3

6

1

9

5


hello_html_6f1f1ff3.gif

2

x

1

2

3

4

5

y

9

7

5

3

1


hello_html_m4b8117ee.gif

17

x

1

2

3

5

7

y

0

5

4

7

2


hello_html_m59cb58b7.gif

3

x

1

2

3

4

5

y

11

6

5

4

3


hello_html_74d83bf8.gif

18

x

1

3

5

7

9

y

6

3

2

7

1


hello_html_20904439.gif

4

x

4

5

6

8

9

y

6

4

5

3

1


hello_html_3f7d6edc.gif

19

x

1

4

5

8

9

y

8

3

2

7

1


hello_html_m3d1a7530.gif

5

x

2

3

4

5

6

y

6

5

7

2

1


hello_html_1fcc51f7.gif

20

x

1

2

3

4

5

y

7

5

6

1

6


hello_html_m4320828f.gif

6

x

1

2

3

4

5

y

6

5

7

9

8


hello_html_m18f49b58.gif

21

x

2

3

4

5

7

y

7

5

8

1

2


hello_html_m2edc95fe.gif

7

x

1

3

4

5

8

y

10

1

0

7

2


hello_html_m46f6f566.gif

22

x

1

2

3

4

7

y

8

5

6

8

3


hello_html_m30546aa1.gif

8

x

3

4

5

7

9

y

2

3

5

6

1


hello_html_3df0bae2.gif

23

x

2

3

4

5

8

y

7

8

6

1

5


hello_html_29e687a5.gif

9

x

1

2

3

5

6

y

2

5

7

9

4


hello_html_2a3a32b2.gif

24

x

1

3

5

6

7

y

9

5

2

4

3


hello_html_m24982157.gif

10

x

-2

-1

0

1

y

6

0

2

0


hello_html_5ec8f925.gif

25

x

2

4

5

6

7

y

3

5

1

7

2


hello_html_m365c366.gif

11

x

1

2

3

5

7

y

3

8

2

8

4


hello_html_2596e915.gif

26

x

2

3

4

5

8

y

3

3

7

8

1


hello_html_m27ab5f7d.gif

12

x

2

3

5

8

9

y

4

7

5

6

2


hello_html_41599374.gif

27

x

2

3

5

7

9

y

5

8

6

2

4


hello_html_m4d27b473.gif

13

x

3

5

7

8

9

y

7

6

4

2

1


hello_html_m2b71064e.gif

28

x

2

3

5

7

8

y

3

5

6

4

1


hello_html_mf5837db.gif

14

x

2

3

4

6

7

y

3

5

2

1

3


hello_html_b5f6031.gif

29

x

1

3

4

8

9

y

3

6

8

9

2


hello_html_3bc38b52.gif

15

x

4

6

7

8

9

y

2

2

1

1

3


hello_html_3bf197b5.gif

30

x

1

2

3

6

7

y

8

5

8

2

3


hello_html_4e640ac8.gif


Задание 2

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей. Найти значение функции hello_html_4f161d75.gif, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Таблица 2.11

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

1

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

1,042

1,061

1,087

1,119

1,160

1,212

1,274

1,350


hello_html_m5452784d.gif

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

2

x

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

y

1,958

2,107

2,268

2,443

2,632

2,841

3,071

3,324


hello_html_m78f29106.gif

3

x

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

y

0,742

0,789

0,835

0,880

0,924

0,967

1,008

1,046


hello_html_16f78009.gif

4

x

1,70

1,7

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

y

1,232

1,210

1,179

1,139

1,089

1,028

0,956

0,871


hello_html_m3acc3432.gif

5

x

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

2,95

3,00

3,05

y

1,583

1,487

1,372

1,238

1,084

0,907

0,707

0,482


hello_html_m7d904ffe.gif

6

x

10

15

20

25

30

35

40

45

y

0,985

0,966

0,940

0,906

0,866

0,819

0,766

0,707


hello_html_m1e6ff7e7.gif

7

x

1,1

1,6

2,1

2,6

3,1

3,6

4,1

4,6

y

1,029

1,389

1,649

1,800

1,852

1,822

1,739

1,632


hello_html_m456a36fb.gif

8

x

0,13

0,18

0,23

0,28

0,33

0,38

0,43

0,48

y

0,130

0,179

0,228

0,276

0,324

0,371

0,417

0,463


hello_html_4f13920c.gif

9

x

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

y

0,120

0,090

0,066

0,048

0,034

0,024

0,016

0,011


hello_html_24671ac0.gif

10

x

50

55

60

65

70

75

80

85

y

0,285

0,319

0,223

0,042

0,148

-0,273

-0,283

-0,178


hello_html_54ba759b.gif

11

x

0,17

0,22

0,27

0,32

0,37

0,42

0,47

0,52

y

0,170

0,219

0,269

0,318

0,367

0,416

0,464

0,512


hello_html_m40507d2f.gif

12

x

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

y

0,056

0,168

0,276

0,379

0,455

0,563

0,642

0,711


hello_html_4a2b31.gif

13

x

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

y

0,512

0,506

0,501

0,495

0,489

0,484

0,478

0,472


hello_html_m29db5371.gif

14

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

0,565

0,638

0,715

0,797

0,886

0,982

1,085

1,196


hello_html_m47ab37ed.gif

15

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

1,042

1,061

1,087

1,119

1,160

1,212

1,274

1,350


hello_html_m4a79806.gif

16

x

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

y

1,958

2,107

2,268

2,443

2,632

2,841

3,071

3,324


hello_html_m4379d718.gif

17

x

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

y

0,742

0,789

0,835

0,880

0,924

0,967

1,008

1,046


hello_html_m5afd7536.gif

18

x

1,70

1,7

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

y

1,232

1,210

1,179

1,139

1,089

1,028

0,956

0,871


hello_html_53850e3c.gif

19

x

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

2,95

3,00

3,05

y

1,583

1,487

1,372

1,238

1,084

0,907

0,707

0,482


hello_html_6c038d3c.gif

20

x

10

15

20

25

30

35

40

45

y

0,985

0,966

0,940

0,906

0,866

0,819

0,766

0,707


hello_html_m38cced72.gif

21

x

1,1

1,6

2,1

2,6

3,1

3,6

4,1

4,6

y

1,029

1,389

1,649

1,800

1,852

1,822

1,739

1,632


hello_html_4b125a92.gif

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

22

x

0,13

0,18

0,23

0,28

0,33

0,38

0,43

0,48

y

0,130

0,179

0,228

0,276

0,324

0,371

0,417

0,463


hello_html_37f4d35c.gif

23

x

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

y

0,120

0,090

0,066

0,048

0,034

0,024

0,016

0,011


hello_html_5e8bb120.gif

24

x

50

55

60

65

70

75

80

85

y

0,285

0,319

0,223

0,042

0,148

-0,273

-0,283

-0,178


hello_html_47c5b897.gif

25

x

0,17

0,22

0,27

0,32

0,37

0,42

0,47

0,52

y

0,170

0,219

0,269

0,318

0,367

0,416

0,464

0,512


hello_html_672f2398.gif

26

x

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

y

0,056

0,168

0,276

0,379

0,455

0,563

0,642

0,711


hello_html_683a1c36.gif

27

x

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

y

0,512

0,506

0,501

0,495

0,489

0,484

0,478

0,472


hello_html_m5b54da49.gif

28

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

0,565

0,638

0,715

0,797

0,886

0,982

1,085

1,196


hello_html_m68bdb421.gif

29

x

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

y

0,501

0,495

0,489

0,484

0,478

0,472

0,467

0,461


hello_html_m1c74ee0c.gif

30

x

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

y

0,891

0,932

0,964

0,985

0,997

0,999

0,991

0,974


hello_html_m3df7cc2c.gif


Задание 3

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

Найти значение hello_html_6bc582c9.gif, для которого hello_html_m590a19b1.gif.

а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.

б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.


Таблица 2.12

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

при

hello_html_57a7596f.gif

1

x

4

6

8

10

12

14

y

11

27

50

83

112

147


y=20

2

x

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

y

2,000

2,002

2,010

2,020

2,033

2,050


y=2,0014

3

x

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

y

2,250

2,121

2,027

1,961

1,919


y=2,005

4

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

y

1,368

1,242

1,186

1,135

1,105

1,042


y=1,150

5

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

y

0,529

0,941

1,147

1,109

1,054

1,002


y=0,623

6

x

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

y

0,919

0,892

0,873

0,863

0,859

0,853


y=0,901

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

при

hello_html_57a7596f.gif

7

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

y

0,482

0,851

1,019

1,949

2,009

1,078


y=0,654

8

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

y

1,000

1,032

1,091

1,145

1,170

1,195


y=1,005

9

x

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

y

1,649

1,665

1,682

1,699

1,716

1,733


y=1,655

10

x

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

y

0,891

0,932

0,964

0,985

0,997

0,999


y=0,905

11

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

1,042

1,061

1,087

1,119

1,160

1,212

1,274

1,350


y=1,054

12

x

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

y

1,958

2,107

2,268

2,443

2,632

2,841

3,071

3,324


y=1,985

13

x

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

y

0,742

0,789

0,835

0,880

0,924

0,967

1,008

1,046


y=0,763

14

x

1,70

1,7

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

y

1,232

1,210

1,179

1,139

1,089

1,028

0,956

0,871


y=1,220

15

x

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

2,95

3,00

3,05

y

1,583

1,487

1,372

1,238

1,084

0,907

0,707

0,482


y=1,494

16

x

4

6

8

10

12

14

y

11

27

50

83

112

147


y=30

17

x

1,0

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

y

2,000

2,002

2,010

2,020

2,033

2,050


y=2,003

18

x

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

y

2,250

2,121

2,027

1,961

1,919


y=2,056

19

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

y

1,368

1,242

1,186

1,135

1,105

1,042


y=1,350

20

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

y

0,529

0,941

1,147

1,109

1,054

1,002


y=1,005

21

x

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

y

0,919

0,892

0,873

0,863

0,859

0,853


y=0,901

22

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

y

0,482

0,851

1,019

1,949

1,999

2,059


y=0,946

23

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

y

1,000

1,032

1,091

1,145

1,170

1,195


y=1,045

24

x

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

y

1,649

1,665

1,682

1,699

1,716

1,733


y=1,673

25

x

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

y

0,891

0,932

0,964

0,985

0,997

0,999


y=0,955

26

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

1,042

1,061

1,087

1,119

1,160

1,212

1,274

1,350


y=0,055

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

при

hello_html_57a7596f.gif

27

x

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

y

0,742

0,789

0,835

0,880

0,924

0,967

1,008

1,046


y=0,764

28

x

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

y

1,958

2,107

2,268

2,443

2,632

2,841

3,071

3,324


y=2,259

29

x

1,70

1,7

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

y

1,232

1,210

1,179

1,139

1,089

1,028

0,956

0,871


y=1,185

30

x

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

2,95

3,00

3,05

y

1,583

1,487

1,372

1,238

1,084

0,907

0,707

0,482


y=1,492


Раздел Б

Задание 1

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

1). Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти hello_html_4f161d75.gif.

2). С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа hello_html_4ee33d1a.gif по известным значениям функции, приведенным в таблице?

Таблица 2.13

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

1

x

1,50

1,54

1,56

1,60

1,63

1,70

y

3,873

3,924

3,950

4,000

4,037

4,123


hello_html_6748ad78.gif

2

x

2,0

2,3

2,5

3,0

3,8

4,0

y

5,848

6,127

6,300

6,694

7,047

7,243


hello_html_m583d2413.gif

3

x

0,43

0,48

0,55

0,62

0,70

0,75

y

1,636

1,732

1,877

2,033

2,228

2,359


hello_html_mf5b3049.gif

4

x

0,02

0,08

0,12

0,17

0,23

0,30

y

1,023

1,096

1,147

1,215

1,301

1,410


hello_html_5dcccdc4.gif

5

x

0,35

0,41

0,47

0,51

0,56

0,64

y

2,740

2,301

1,969

1,788

1,595

1,343


hello_html_2246b9f0.gif

6

x

0,41

0,46

0,52

0,60

0,65

0,72

y

2,574

2,325

2,093

1,862

1,749

1,621


hello_html_60e82e40.gif

7

x

0,68

0,73

0,80

0,88

0,93

0,99

y

0,809

0,894

1,030

1,209

1,341

1,524


hello_html_433cdbca.gif

8

x

0,11

0,15

0,21

0,29

0,35

0,40

y

9,054

6,617

4,692

3,351

2,740

2,365


hello_html_m46197580.gif

9

x

1,375

1,380

1,385

1,390

1,395

1,400

y

5,041

5,177

5,320

5,471

5,630

5,798


hello_html_m60f9521d.gif

10

x

0,115

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

y

8,657

8,293

7,958

7,648

7,362

7,096


hello_html_2c242964.gif

11

x

0,150

0,155

0,160

0,165

0,170

0,175

y

6,617

6,400

6,197

6,006

5,826

5,656


hello_html_m15b6c060.gif

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif


hello_html_m6e8ee7e5.gif

12

x

0,180

0,185

0,190

0,195

0,200

0,205

y

5,615

5,467

5,326

5,193

5,066

4,946


hello_html_m38fec34c.gif

13

x

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

y

4,832

4,723

4,619

4,519

4,424

4,333


hello_html_m7b7b3536.gif

14

x

1,415

1,420

1,425

1,430

1,435

1,440

y

0,889

0,890

0,891

0,892

0,893

0,894


hello_html_218616b3.gif

15

x

0,05

0,10

0,17

0,25

0,30

0,36

y

0,050

0,100

0,172

0,255

0,309

0,376


hello_html_m627b2d23.gif

16

x

1,50

1,54

1,56

1,60

1,63

1,70

y

3,873

3,924

3,950

4,000

4,037

4,123


hello_html_63432f2.gif

17

x

2,0

2,3

2,5

3,0

3,8

4,0

y

5,848

6,127

6,300

6,694

7,047

7,243


hello_html_m1accbb80.gif

18

x

0,43

0,48

0,55

0,62

0,70

0,75

y

1,636

1,732

1,877

2,033

2,228

2,359


hello_html_715742f0.gif

19

0,02

0,08

0,12

0,17

0,23

0,30

1,023

1,096

1,147

1,215

1,301

1,410


hello_html_8fbcf8f.gif

20

x

0,35

0,41

0,47

0,51

0,56

0,64

y

2,740

2,301

1,969

1,788

1,595

1,343


hello_html_m3ff56085.gif

21

x

0,41

0,46

0,52

0,60

0,65

0,72

y

2,574

2,325

2,093

1,862

1,749

1,621


hello_html_m59785313.gif

22

x

0,68

0,73

0,80

0,88

0,93

0,99

y

0,809

0,894

1,030

1,209

1,341

1,524


hello_html_4fdde8ec.gif

23

x

0,11

0,15

0,21

0,29

0,35

0,40

y

9,054

6,617

4,692

3,351

2,740

2,365


hello_html_2072bcb0.gif

24

x

1,375

1,380

1,385

1,390

1,395

1,400

y

5,041

5,177

5,320

5,471

5,630

5,798


hello_html_m318e3718.gif

25

x

0,115

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

y

8,657

8,293

7,958

7,648

7,362

7,096


hello_html_mdb622f2.gif

26

x

0,150

0,155

0,160

0,165

0,170

0,175

y

6,617

6,400

6,197

6,006

5,826

5,656


hello_html_7655dafd.gif

27

x

0,180

0,185

0,190

0,195

0,200

0,205

y

5,615

5,467

5,326

5,193

5,066

4,946


hello_html_2a11acfa.gif

28

x

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

y

4,832

4,723

4,619

4,519

4,424

4,333


hello_html_m46152c59.gif

29

x

1,415

1,420

1,425

1,430

1,435

1,440

y

0,889

0,890

0,891

0,892

0,893

0,894


hello_html_25c0abcd.gif

30

x

0,05

0,10

0,17

0,25

0,30

0,36

y

0,050

0,100

0,172

0,255

0,309

0,376


hello_html_maa9b49e.gif



Задание 2

Функция hello_html_m12df11ba.gif задана таблицей

Найти значение функции hello_html_m5a8af23f.gif, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.


Таблица 2.14

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

1

x

1,415

1,420

1,425

1,430

1,435

1,440

y

0,889

0,890

0,891

0,892

0,893

0,894


hello_html_m27720c91.gif

2

x

0,101

0,106

0,111

0,116

0,121

0,126

y

1,262

1,276

1,291

1,306

1,321

1,337


hello_html_m26327bf5.gif

3

x

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

y

0,861

0,819

0,779

0,741

0,705

0,670


hello_html_283f75db.gif

4

x

0,180

0,185

0,190

0,195

0,200

0,205

y

5,615

5,467

5,326

5,193

5,066

4,946


hello_html_236a838b.gif

5

x

3,50

3,55

3,60

3,65

3,70

3,75

y

33,12

34,81

36,59

38,47

40,45

42,52


hello_html_fded0bd.gif

6

x

1,340

1,345

1,350

1,355

1,360

1,365

y

4,256

4,353

4,455

4,562

4,673

4,790


hello_html_m67651455.gif

7

x

1,370

1,375

1,380

1,385

1,390

1,395

y

4,913

5,042

5,177

5,320

5,471

5,630


hello_html_202563ff.gif

8

x

0,01

0,06

0,11

0,16

0,21

0,26

y

0,992

0,952

0,914

0,877

0,842

0,808


hello_html_5fafce17.gif

9

x

0,31

0,36

0,41

0,46

0,51

0,56

y

0,775

0,744

0,714

0,685

0,658

0,631


hello_html_m452da8c1.gif

10

x

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

y

4,482

4,953

5,474

6,050

6,686

7,389


hello_html_m5d0a4497.gif

11

x

1,235

1,240

1,245

1,250

1,255

1,260

y

0,1078

0,1083

0,1087

0,1091

0,1096

0,1100


hello_html_m3e462f8e.gif

12

x

1,675

1,676

1,677

1,678

1,679

1,680

y

9,562

9,471

9,380

9,292

9,206

9,121


hello_html_m674533ce.gif

13

x

1,520

1,521

1,522

1,523

1,524

1,525

y

19,670

20,065

20,477

20,906

21,354

21,821


hello_html_m176ad412.gif

14

x

1,528

1,529

1,530

1,531

1,532

1,533

y

23,352

23,911

24,498

25,115

25,763

26,445


hello_html_meb731c9.gif

15

x

1,440

1,445

1,450

1,455

1,460

1,465

y

0,894

0,895

0,896

0,897

0,898

0,899


hello_html_m6d239e7.gif

16

x

0,126

0,131

0,136

0,141

0,146

0,151

y

1,337

1,352

1,368

1,384

1,399

1,416


hello_html_3982e000.gif

17

x

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

y

0,607

0,577

0,549

0,522

0,497

0,472


hello_html_65d98162.gif

вар.

Функция hello_html_m2d432eab.gif

hello_html_m6e8ee7e5.gif

18

x

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

y

4,832

4,723

4,619

4,519

4,424

4,333


hello_html_2f9d5d71.gif

19

x

3,95

4,00

4,05

4,10

4,15

4,20

y

51,94

54,59

57,40

60,34

63,43

66,68


hello_html_m7f031e83.gif

20

x

0,115

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

y

8,657

8,293

7,958

7,649

7,362

7,096


hello_html_m17320548.gif

21

x

0,155

0,160

0,165

0,170

0,175

0,180

y

6,399

6,197

6,006

5,826

5,656

5,495


hello_html_71883a7.gif

22

x

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

y

8,166

9,025

9,974

11,023

12,183

13,464


hello_html_m3f70793f.gif

23

x

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

y

20,19

19,61

18,94

18,17

17,30

16,31


hello_html_mf75ca8f.gif

24

x

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

y

15,20

13,95

12,55

10,99

9,26

7,35


hello_html_d62ba2a.gif

25

x

1,215

1,220

1,225

1,230

1,235

1,240

y

0,1060

0,1065

0,1069

0,1074

0,1078

0,1083


hello_html_5d49246.gif

26

x

1,683

1,684

1,685

1,686

1,687

1,688

y

8,875

8,796

8,718

8,642

8,567

8,493


hello_html_2a1b96db.gif

27

x

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

y

0,919

0,892

0,873

0,863

0,859

0,853


hello_html_3029ac96.gif

28

x

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

y

2,000

2,002

2,010

2,020

2,033

2,050


hello_html_m73339682.gif

29

x

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

y

1,368

1,242

1,186

1,135

1,105

1,042


hello_html_m62b1823.gif

30

x

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

y

1,649

1,665

1,682

1,699

1,716

1,733


hello_html_2839d772.gif


Задание 3

С помощью обратного интерполирования найти корень уравнения hello_html_m50fe05cd.gif, лежащий на отрезке hello_html_95425ac.gif с точностью hello_html_m2ee74ed6.gif.

Таблица 2.15

вар.

Уравнение

hello_html_4b3b1552.gif

hello_html_95425ac.gif

hello_html_m2ee74ed6.gif

1

hello_html_2e9f6c2c.gif

hello_html_m3af1f882.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

2

hello_html_16d587a9.gif

hello_html_m264fbf76.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

3

hello_html_m7682337a.gif

hello_html_6e46efb9.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

4

hello_html_7f9d93a.gif

hello_html_m3b84e7b9.gif

hello_html_mcbd5526.gif

5

hello_html_m4ddc5a98.gif

hello_html_m79fc891d.gif

hello_html_mcbd5526.gif

вар.

Уравнение

hello_html_4b3b1552.gif

hello_html_95425ac.gif

hello_html_m2ee74ed6.gif

6

hello_html_f4c4998.gif

hello_html_137bc1c1.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

7

hello_html_1fef1fa2.gif

hello_html_21dcc6d4.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

8

hello_html_m92b4dc5.gif

hello_html_m3af1f882.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

9

hello_html_4aa13dba.gif

hello_html_m3af1f882.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

10

hello_html_2cf4c1df.gif

hello_html_21dcc6d4.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

11

hello_html_mcec15c4.gif

hello_html_m3b84e7b9.gif

hello_html_mcbd5526.gif

12

hello_html_m5f657261.gif

hello_html_m66a2d3f5.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

13

hello_html_m14bfd482.gif

hello_html_m154520e4.gif

hello_html_mcbd5526.gif

14

hello_html_m71ea9e68.gif

hello_html_6146b000.gif

hello_html_mcbd5526.gif

15

hello_html_m435d967d.gif

hello_html_m7aafef8c.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

16

hello_html_1de9bb49.gif

hello_html_m461ca13f.gif

hello_html_mcbd5526.gif

17

hello_html_58351350.gif

hello_html_m554f9596.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

18

hello_html_m27c41a9a.gif

hello_html_m6c3f68b1.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

19

hello_html_m33fce368.gif

hello_html_137bc1c1.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

20

hello_html_m75fbdfb6.gif

hello_html_137bc1c1.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

21

hello_html_7336638.gif

hello_html_625cc6fb.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

22

hello_html_m5a253743.gif

hello_html_462bfc5d.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

23

hello_html_6b2d170d.gif

hello_html_m4525e2f.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

24

hello_html_7a997a5d.gif

hello_html_m3d5228eb.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

25

hello_html_4f6208e7.gif

hello_html_462bfc5d.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

26

hello_html_3312eb72.gif

hello_html_3eddbbad.gif

hello_html_m5fe4d89a.gif

27

hello_html_m643dcfe.gif

hello_html_m6c3f68b1.gif

hello_html_m3c197eed.gif

28

hello_html_m12248763.gif

hello_html_3eddbbad.gif

hello_html_m3c197eed.gif

29

hello_html_m68a1216f.gif

hello_html_21dcc6d4.gif

hello_html_m3c197eed.gif

30

hello_html_36c426d2.gif

hello_html_m6c3f68b1.gif

hello_html_m3c197eed.gif






































Литература


1) Барвин, И.И. Высшая математика: учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов / И.И.Баврин. - М.: «Академия», 2002. – 611с.

2) Высшая математика для экономистов/ Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. – 600с.

3). Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник/ В.С. Шипачев. – М.: Проспект, 2002. - 600с.

4) Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2.:учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Изд. 6-е. –М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2003. – 406с.

5) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 1./ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 432с.

6) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 2./ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 576с.

7) Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н.В. Копченова, И.А. Марон, - М.: Наука, 1972. – 367с.

8) Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина, - М.: Высшая школа, 1983. – 208с.

9) Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979. 184с.

10) Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л.А. Кузнецов. - С.-Петерб.-М.-Краснодар: Лань, 2005. – 240с.

11) Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – М.: Высш. Шк., 2001. – 304с.



















Содержание




Введение


2



Расчетная работа. Интерполирование



3


I. Теоретическая часть


3

1. Постановка задачи

3

2. Интерполяционная формула Лагранжа

3

3. Интерполяционная формула Ньютона

5

4. Обратное интерполирование

7

5. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования

8


II. Порядок выполнения работы


8


III. Пример


12


IV. Контрольные вопросы


19


V. Индивидуальные задания

20

Раздел А

20

Раздел Б

24


Литература


30



44



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 16.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров402
Номер материала ДA-048247
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх