Учебно-тренировочные тесты на тему "Подготовка к ЕГЭ-2015 по математике" (11 класс)

Предисловие для учителя

Для проведения диагностической работы по математике предлагается 8 вариантов учебно-тренировочных тестов, предназначенных для подготовки к ЕГЭ профильного уровня в 2015 году. Тесты составлены в соответствии с нормативными документами (кодификаторы элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников, спецификация, демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов и система оценивания экзаменационной работы), регламентирующими разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике профильного уровня в 2015 году.

На выполнение диагностической работы отводится 165 минут (2 часа 45 минут). Проведение работы рекомендуется в первом полугодии 11 класса в соответствии с УМК по алгебре и началам анализа Мордковича А. Г. и УМК по геометрии Атанасяна Л. С.

Результатом проведения работы должна стать коррекционная работа, включающая в себя индивидуальные рекомендации обучающимся.

План диагностической работы (учебно-тренировочного теста)

№ п/п	Требования (умения), проверяемые заданиями диагностической работы
1	Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчёты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах
2	Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания; описывать по графику поведение и свойства функции; находить по графику функции её наибольшее и наименьшее значение. Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах на диаграммах и графиках
3	Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчёты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах на диаграммах и графиках Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера на нахождение скорости, нахождение наибольших и наименьших значений величин
4	Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей). Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществлять необходимые подстановки и преобразования Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции
5	Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий
6	Решать рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и их системы
7	Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей). Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
8	Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания; описывать по графику поведение и свойства функции; находить по графику функции её наибольшее и наименьшее значение. Вычислять производные и первообразные элементарных функций. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значение
9	Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы
10	Выполнять вычислительные действия, сочетая устные и письменные приёмы, находить значение корня натуральной степени, значение степени, логарифма. Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществлять необходимые подстановки и преобразования Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции
11	Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах на диаграммах и графиках. Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера на нахождение скорости, нахождение наибольших и наименьших значений величин
12	Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы
13	Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по решению задачи; исследовать построенные модели на языке аппарата алгебры
14	Вычислять производные и первообразные элементарных функций. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значение
15	Решать рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и их системы. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближённого решения уравнений и неравенств графический метод. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства и их системы
16	Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства и их системы
17	Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчёты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах

Вариант 1

Часть 1

1.      Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка 204 рубля, она на 20% выше опто­вой цены. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по опто­вой цене на 6500 руб­лей?

2.      На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс япон­ской йены, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 23 сен­тяб­ря по 23 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена япон­ской йены в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим кур­сом япон­ской йены за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 29 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 27 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 29 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 528 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Сред­няя линия и вы­со­та тра­пе­ции равны со­от­вет­ствен­но 7 и 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5.       Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 36 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 8 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Иван Па­па­ев. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Иван Па­па­ев будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние . 

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , вы­со­та AH равна 10, . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те a.

9.      Сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 5700  воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 20 см до от­мет­ки 33 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в .

10.   Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.   Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна  кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь  мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 2720 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

12.   В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

13.   На из­го­тов­ле­ние 493 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий за­тра­чи­ва­ет на 12 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 580 де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 9 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

14.   Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Часть 2

15.   a) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие  отрезку   [9π/2; 6π].

16.  (17) Решите неравенство 3⎹ x+1 + ⎹ х – 2⎹  -  х 8.

17.   (19) Фёдор хочет взять в банке 1,2 млн рублей. Погашения кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента – 10 годовых. На какое минимальное количество лет Фёдор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тыс. рублей?

Вариант 2

Часть 1

1.      Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка 120 руб­лей, она на 20% выше опто­вой цены. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по опто­вой цене на 4000 руб­лей?

2.      На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс евро, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни с 2 фев­ра­ля по 28 фев­ра­ля 2002 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена евро в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим кур­сом евро за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 29 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 26 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 30 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 504 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 14.

5.      Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по шах­ма­там участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 шах­ма­ти­стов, среди ко­то­рых 11 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Петр Тро­фи­мов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Петр Тро­фи­мов будет иг­рать с каким-либо шах­ма­ти­стом из Рос­сии?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние .

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , AH  — вы­со­та, , . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния мень­ше 0.

9.      В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 343 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 7 раз боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­жения .

11.  Для под­дер­жа­ния на­ве­са пла­ни­ру­ет­ся ис­поль­зо­вать ци­лин­дри­че­скую ко­лон­ну. Дав­ле­ние P (в пас­ка­лях), ока­зы­ва­е­мое на­ве­сом и ко­лон­ной на опору, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  кг — общая масса на­ве­са и ко­лон­ны,D — диа­метр ко­лон­ны (в мет­рах). Счи­тая уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния  м/с, а , опре­де­ли­те наи­мень­ший воз­мож­ный диа­метр ко­лон­ны, если дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, не долж­но быть боль­ше 50000 Па. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

12.  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки ,  и .

13.  На из­го­тов­ле­ние 65 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 8 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 117 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 4 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

14.  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Часть 2

15.  a) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [-3π;-2π].

16. (17) Решить неравенство  ≤ 2x -   .

17. (19)  31 декабря 2014 года Павел взял в банке  8 599 000 рублей в кредит под 14 годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14), затем Павел переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Павел погасил долг тремя равными платежами, т.е. за три года?

Вариант 3

Часть 1

1.      Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка 175 руб­лей, она на 25% выше опто­вой цены. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по опто­вой цене на 2400 руб­лей?

2.      На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние в Санкт-Пе­тер­бур­ге с 30 ап­ре­ля по 4 мая 2009 года в раз­ное время суток. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся время суток, по вер­ти­ка­ли - ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние в мм. рт. ст. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим ат­мо­сфер­ным дав­ле­ни­ем за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в мм. рт. ст.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 28 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 25 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 28 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 400 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 37, вы­со­та  — 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5.      Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 6 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Ни­ки­та Лит­ви­нов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ни­ки­та Лит­ви­нов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние .

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , AH  — вы­со­та, , . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те a.

9.      Сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2800  воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 34 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в .

10.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.  Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка f боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну  (Гц), где c — ско­рость звука в звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее, чем на 3 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

12.  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

13.  На из­го­тов­ле­ние 442 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий за­тра­чи­ва­ет на 9 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 546 де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 5 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

14.  Найдите наибольшее значение

15.  функции   на отрезке .

Часть 2

16.   a) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку          [5π/2; 7π/2].

17. (17) Решить неравенство  ≤   +  .

18.  (19) Тимофей хочет взять в банке 1,1 млн рублей. Погашения кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процентов – 10 годовых. На какое минимальное количество лет Тимофей может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тыс. рублей?

Вариант 4

Часть 1

1.      При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 9%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 750 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

2.      При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние за 15 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 29 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 25 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 30 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 630 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Сред­няя линия и вы­со­та тра­пе­ции равны со­от­вет­ствен­но 10 и 4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5.      В чем­пи­о­на­те мира уча­ству­ют 20 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на пять групп по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

            1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

 Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Китая ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние . 

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , вы­со­та AH равна 3, . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

9.      В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 147 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 7 раз боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10.   Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.   Для под­дер­жа­ния на­ве­са пла­ни­ру­ет­ся ис­поль­зо­вать ци­лин­дри­че­скую ко­лон­ну. Дав­ле­ние P (в пас­ка­лях), ока­зы­ва­е­мое на­ве­сом и ко­лон­ной на опору, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  кг — общая масса на­ве­са и ко­лон­ны,D — диа­метр ко­лон­ны (в мет­рах). Счи­тая уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния  м/с, а , опре­де­ли­те наи­мень­ший воз­мож­ный диа­метр ко­лон­ны, если дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, не долж­но быть боль­ше 800000 Па. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

12.   В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де    ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки ,  и .

13.   На из­го­тов­ле­ние 35 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 42 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

14.   Най­ди­те наи­мень­шее зна­чение функци   на от­рез­ке .

Часть 2

15.   a) Решите уравнение: cos2x + sin²x = 0,25

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

16. (17) Решить неравенство  +  .

17. (19) 1 января 2014 года Михаил взял в банке 1 миллион рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 1 числа каждого месяца банк начисляет 2 на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 2), затем Михаил переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Михаил может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250 тыс. рублей?

16.    

Вариант 5

Часть 1

1.      При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 3%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Ме­сяч­ная плата за ин­тер­нет со­став­ля­ет 600 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство тер­ми­на­ла, чтобы на счету фирмы, предо­став­ля­ю­щей ин­тер­нет-услу­ги, ока­за­лась сумма, не мень­шая 600 руб­лей?

2.      На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия.

Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель с пятой по вось­мую ми­ну­ту разо­гре­ва.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 26 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 26 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 27 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 704 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Най­ди­те пло­щадь ромба, если его сто­ро­ны равны 50, а один из углов равен .

5.      В чем­пи­о­на­те мира учав­ству­ют 10 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на две груп­пы по пять ко­манд в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

            1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2.

 Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Бра­зи­лии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние .

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , , вы­со­та AH равна . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те a.

9.      Сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 3500  воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 20 см до от­мет­ки 31 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в .

10.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.  Сила тока в цепи I (в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся на­пря­же­ни­ем в цепи и со­про­тив­ле­ни­ем элек­тро­при­бо­ра по за­ко­ну Ома:, где U — на­пря­же­ние в воль­тах, R — со­про­тив­ле­ние элек­тро­при­бо­ра в омах. В элек­тро­сеть включeн предо­хра­ни­тель, ко­то­рый пла­вит­ся, если сила тока пре­вы­ша­ет 4 А. Опре­де­ли­те, какое ми­ни­маль­ное со­про­тив­ле­ние долж­но быть у элек­тро­при­бо­ра, под­клю­ча­е­мо­го к ро­зет­ке в 220 вольт, чтобы сеть про­дол­жа­ла ра­бо­тать. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

12.  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

13.  На из­го­тов­ле­ние 725 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий за­тра­чи­ва­ет на 4 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 783 де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 2 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

14.  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функции    на от­рез­ке .

Часть 2

15.   

 a) Решите уравнение: 6sin²x + 5sin(π/2 - x) - 2 = 0

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   [-5π; -7π/2]

16. (17) Решить неравенство  +  .

17. (19) 31 декабря 2010 года Олег взял в банке некоторую сумму рублей в кредит под а годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на а), затем Олег переводит в банк очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года, если по 587 250 рублей – то за 2 года. Под какой процент Олег взял деньги в банке?

Вариант 6

Часть 1

1.      При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 2%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 450 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

2.      На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия.

Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель с тре­тьей по пятую ми­ну­ту разо­гре­ва.

3.       Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 27 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 25 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 29 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 518 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Най­ди­те пло­щадь ромба, если его сто­ро­ны равны 40, а один из углов равен .

5.      На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет чётной и боль­ше 3?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние .

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , , CH  — вы­со­та, . Най­ди­те синус угла ACB.

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния мень­ше 0.

9.      В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 20 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 2 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10.   Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.   В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет  Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние  этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми  Ом и  Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой  (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 28 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

12.   В пря­мо­уголь­ном

па­рал­ле­ле­пи­педе     ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки ,  и .

13.   На из­го­тов­ле­ние 16 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 40 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

14.   Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Часть 2

15.    

16.   Решить неравенство (х – 3)⎹ х – 3 ⎸ - ⎸х – 1⎹  ≥ 0.

17.  31 декабря 2010 года Сергей взял в банке некоторую сумму рублей в кредит под 10 годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10 ), затем Сергей переводит в банк

2 660 000 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (т.е. погасил долг за три года.)?

Вариант 7

Часть 1

1.      При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 8%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 550 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

2.      При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние c 6-го по 30-й час ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 27 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 27 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 29 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 435 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если две его сто­ро­ны равны 19 и 11, а угол между ними равен .

5.      На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет 3?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние .

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC  , , CH  высота,  .  Най­ди­те синус угла ACB.

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

9.      Сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 5400  воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 30 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в .

10.   Найдите значение выражения .

11.   К ис­точ­ни­ку с ЭДС  В и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем  Ом, хотят под­клю­чить на­груз­ку с со­про­тив­ле­ни­емR Ом. На­пря­же­ние на этой на­груз­ке, вы­ра­жа­е­мое в воль­тах, даeтся фор­му­лой . При каком наи­мень­шем зна­че­нии со­про­тив­ле­ния на­груз­ки на­пря­же­ние на ней будет не менее 85 В? Ответ вы­ра­зи­те в омах.

12.   В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны длины рёбер: , , . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны ,  и .

13.   На из­го­тов­ле­ние 513 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий за­тра­чи­ва­ет на 8 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 540 де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 7 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

14.   Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

Часть 2

15.    

16.  (17) Решить неравенство 25  80х – 64 .

17.   (19) 31 декабря 2010 года Георгий взял в банке 1 миллион рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на а ), затем Георгий переводит очередной транш. Георгий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 570 тыс. рублей, во второй – 599,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал Георгию кредит?

Вариант 8

Часть 1

1.      При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 9%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 950 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

2.      При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние c 6-го по 62-й час ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

3.      Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 29 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 25 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 27 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 496 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

4.      Най­ди­те диа­го­наль квад­ра­та, если его пло­щадь равна 968.

5.       Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 67 до 88 де­лит­ся на 2?

6.      Ре­ши­те урав­не­ние . 

7.      В тре­уголь­ни­ке ABC , вы­со­та AH равна , . Най­ди­те .

8.      Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.

9.       В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 294 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 7 раз боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10.   Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11.   Опор­ные баш­ма­ки ша­га­ю­ще­го экс­ка­ва­то­ра, име­ю­ще­го массу  тонн пред­став­ля­ют собой две пу­сто­те­лые балки дли­ной  мет­ров и ши­ри­ной s мет­ров каж­дая. Дав­ле­ние экс­ка­ва­то­ра на почву, вы­ра­жа­е­мое в ки­ло­пас­ка­лях, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где m — масса экс­ка­ва­то­ра (в тон­нах), l — длина балок в мет­рах, s — ши­ри­на балок в мет­рах, g — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную ши­ри­ну опор­ных балок, если из­вест­но, что дав­ле­ние p не долж­но пре­вы­шать 200 кПа. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

12.   В прямоугольном

параллелепипеде  ребро , ребро , ребро .  Точка  — се­ре­ди­на ребра .  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки ,  и .

13.   На из­го­тов­ле­ние 63 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 72 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

14.   Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Часть 2

15.   а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

16.(17) Решить неравенство  ≤ 1.

17.(19) 31 декабря 2010 года Леонид взял в банке 1 миллион рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на а ), затем Леонид переводит очередной транш. Леонид выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 700 тыс. рублей, во второй – 440 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал Леониду кредит?

Ответы вариант 1 – вариант 8

Часть 1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Вариант 1	38	2	445,5	14	0,2	7	2	24	3705	1	25	2250	29	101
Вариант 2	40	0,8	472,5	98	0,4	1	0,7	6	7	1	0,4	37	9	- 334
Вариант 3	17	12	350	41	0,2	9	1,25	- 5	1008	12	4,3	1632	26	14
Вариант 4	830	0,6	562,5	40	0,2	3	2	1	3	1	30	17	6	36,5
Вариант 5	620	30	594	1250	0,5	3	0,2	24	1925	21	55	221	29	265
Вариант 6	460	20	462,5	800	0,3	9	0,25	24	5	1	77	40	5	- 6,5
Вариант 7	600	0.2	391,5	104,5	0,1	7	0,1	15	1080	20	6,8	1050	27	777,5
Вариант 8	1050	0,6	418,5	44	0,5	6	0,28	- 28	6	1	1,5	40	8	- 81,5

Часть 2

	15	16	17
Вариант 1	a);;n; б);;;.		5
Вариант 2	a); б)	()	3 703 860
Вариант 3	a); б) .		6
Вариант 4	a); б)		5
Вариант 5	a); б).		12,5
Вариант 6	a) б)/		6 620 000
Вариант 7	а) б)		11
Вариант 8	а) б)		10