Ученическая исследовательская работа "Связь математики и музыки"

Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ
1748044
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика Научные работыУченическая исследовательская работа "Связь математики и музыки"

Ученическая исследовательская работа "Связь математики и музыки"

Выбранный для просмотра документ Приложения.docx

библиотека
материалов

Приложение 1







Монохорд





hello_html_m5be210dc.jpg



















Приложение 2

до (1)

1

Интервалы

ре (9/8)

1,125

до-ре (9/8- тон )

1,125

ми (81/64)

1,266

ре – ми (9/8- тон )

1,125

фа (4/3)

1,333

ми – фа (256/243 – полутон)

1,053

соль (3/2)

1,5

фа –соль (9/8 - тон)

1,125

ля (27/16)

1,687

соль – ля (9/8- тон )

1,125

си (243/128)

1,898

ля – си (9/8 - тон)

1,125

до (2/1)

2

си – до (256/243 – полутон)

1,053



Диаграмма и график музыкального строя:



Приложение 3

Интервалы И.Кеплера

малая терция (6/5)

1,2

большая терция (5/4)

1,25

чистая кварта (4/3)

1,333

чистая квинта (3/2)

1,5

малая секста (8/5)

1,6

большая секста (5/3)

1,667

октава (2/1)

2







Приложение 4

Интервалы, выражаемые с помощью отношений частот

секунда(9/8)

1,125

терция (5/4)

1,25

кварта (4/3)

1,333

квинта (3/2)

1,5

секста (8/5)

1,667

септима (15/8)

1,875

октава (2/1)

2









Приложение 5



Диаграмма результатов исследования





Выбранный для просмотра документ Связь математики и музыки.ppt

библиотека
материалов
Работу выполнила: Мелец Мария Вальтеровна, ученица 10 класса ГУО «Средняя шко...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Работу выполнила: Мелец Мария Вальтеровна, ученица 10 класса ГУО «Средняя шко
Описание слайда:

Работу выполнила: Мелец Мария Вальтеровна, ученица 10 класса ГУО «Средняя школа №2 г.Поставы» Научный руководитель: Котович Елена Болеславовна, учительница математики ГУО «Средняя школа №2 г.Поставы» «Связь математики и музыки» V научно-практическая конференция учащихся «Глория»

2 слайд Введение Цель: выяснить связь между математикой и музыкой Задачи: 1 познакоми
Описание слайда:

Введение Цель: выяснить связь между математикой и музыкой Задачи: 1 познакомиться с пифагорейским учением о связи между музыкой и математикой; 2 разобрать основные правила консонанса и доказать их математическую природу; 3 проследить историческое изменение музыкального строя с помощью математики; 4 доказать благотворное влияние изучения музыки на математические способности и наоборот. Методы исследования: 1) поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов; 2) математический анализ музыкального строя; 3) анкетирование.

3 слайд Открытие Пифагора в области теории музыки Пифагор родился около 570 г. до н.э
Описание слайда:

Открытие Пифагора в области теории музыки Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно.

4 слайд Монохорд Однострунный музыкальный инструмент, распространенный в Древней Грец
Описание слайда:

Монохорд Однострунный музыкальный инструмент, распространенный в Древней Греции и Риме, в Западной Европе до 19 в.; использовался при обучении пению, теории музыки, для акустических экспериментов.

5 слайд Законы пифагорейской музыки Архит Пифагор Закон 1 Две звучащие струны определ
Описание слайда:

Законы пифагорейской музыки Архит Пифагор Закон 1 Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал. Закон 2 Частота колебания ω звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l . ω = a :l , где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

6 слайд Математическое описание построения музыкальной гаммы
Описание слайда:

Математическое описание построения музыкальной гаммы

7 слайд Математическое описание построения музыкальной гаммы до (1)	1 ре (9/8)	1,125
Описание слайда:

Математическое описание построения музыкальной гаммы до (1) 1 ре (9/8) 1,125 ми (81/64) 1,266 фа (4/3) 1,333 соль (3/2) 1,5 ля (27/16) 1,687 си (243/128) 1,898

8 слайд Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи
Описание слайда:

Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5. малая терция (6/5) 1,2 большая терция (5/4) 1,25 чистая кварта (4/3) 1,333 чистая квинта (3/2) 1,5 малая секста (8/5) 1,6 большая секста (5/3) 1,667 октава (2/1) 2

9 слайд Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в
Описание слайда:

Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно. секунда(9/8) 1,125 терция (5/4) 1,25 кварта (4/3) 1,333 квинта (3/2) 1,5 секста (8/5) 1,667 септима (15/8) 1,875 октава (2/1) 2

10 слайд Эксперимент Среди учащихся в музыкальной школе качество знаний по математике
Описание слайда:

Эксперимент Среди учащихся в музыкальной школе качество знаний по математике - 75% , кто играет на каком-то инструменте самостоятельно – 67%, а среди тех, кто не имеет никакого отношения к музыке – 50%.

11 слайд Заключение С задачами, которые мы ставили в начале, мы справились: познакомил
Описание слайда:

Заключение С задачами, которые мы ставили в начале, мы справились: познакомились с пифагорейским учением о музыке и математике, на основе него разработали правила построения консонанса и доказали его математическую природу, с помощью исследования доказали, что занятия музыкой благотворно влияют на математические способности учащихся, следовательно могут помогать учащимся лучше понимать математику. Мы провели параллель между двумя, казалось бы несовместимыми науками: музыкой и математикой, параллель, давно уже доказанную самой историей: Эрнест Ансерме - профессиональный математик и лучший исполнитель Стравинского, известный композитор Антонио Вивальди преподавал математику в детском приюте в Венеции (в начале XVIII в.) и даже юный В.А.Моцарт страстно увлекался математикой. Изучение данной темы, на наш взгляд, может быть продолжено, так как литературы о связи музыки и математики не так много. Сравнивая музыку и математику, мы сделали вывод, что математика, как наука может развиваться без музыки, а музыкальное искусство подчиняется многим законам математики и не может существовать без неё.

12 слайд Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ Текст работы Связь матем и музыки.docx

библиотека
материалов

ГУО «Средняя школа №2 г. Поставы»



Ученическая исследовательская работа на тему:







Автор: Мелец Мария Вальтеровна

Учащаяся 10 класса

Научный руководитель:

Котович Елена Болеславовна

учитель математики






Поставы 2013г.





Оглавление

Стр.

Введение…………………………………………………………………..……3

Основная часть

Глава 1 Историческая справка

1.1 Открытие Пифагора в области теории музыки..………………...............5

1.2 Что определяет консонанс…………………………………………….….6

1.3 Законы Пифагорейской музыки……………………………………….....6

Глава 2 Некоторые понятия теории музыки………………………………....7

Глава 3 Математическое описание построения музыкальной гаммы……...8

3.1 Пифагорейский музыкальный строй……………………………………8

3.2 Темперированный музыкальный строй…………………………………9

Глава 4 Эксперимент ………………………………………………….……...13

Заключение…………………………………………………………….......…..13

Список использованных источников………………………………………...14

Приложения

Приложение1 Монохорд

Приложение2 Диаграмма и график музыкального строя

Приложение3 Диаграмма и график интервалов И.Кеплера

Приложение4 Диаграмма и график интервалов, выражаемых с помощью отношений частот

Приложение5 Диаграмма результатов исследования



















Введение


Цель: выяснить связь между математикой и музыкой


Задачи:

1 познакомиться с пифагорейским учением о связи между музыкой и математикой;

2 разобрать основные правила консонанса и доказать их математическую природу;

3 проследить историческое изменение музыкального строя с помощью математики;

4 доказать благотворное влияние изучения музыки на математические способности и наоборот.


Методы исследования:

1) поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов;

2) математический анализ музыкального строя;

3) анкетирование.


Актуальность темы

Сегодня практически каждый знает, какие клавиши нужно нажать и какие ноты можно написать, чтобы появилась музыка. Однако, не многие вспоминают, что ещё совсем недавно, нот было не 12, а всего только 7 или даже меньше, а ещё раньше никаких нот не было вообще. Знать и хорошо понимать базовые принципы музыкального строя необходимо не только учащимся музыкальных училищ, но и рядовым школьникам из общеобразовательной школы.

Ещё в древности, когда не было разделения на гуманитарные и естественные науки, наука рассматривалась как одно целое. Например, древнегреческий учёный Пифагор и его последователи занимались изучением арифметики, геометрии, астрономии, музыки. Каждая дисциплина исследовала число в разных аспектах: математика – число само по себе, геометрия – число в пространстве, музыка – число во времени, а астрономия – число в пространстве и времени. И всё это учение называлось «математа», что значит науки. Пифагор считал число сущностью вещей. И именно числа, по его мнению, управляют гармониями в музыке. Таким образом, он утвердил музыку как точную науку. Нам стало интересно узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой сложной, наукой, как математика




Гипотеза

"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."

Г. Нейгауз


Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.






















Основная часть

Глава I. Историческая справка

1.1 Открытие Пифагора в области теории музыки

Музыкальным строем  называется совокупность частотных отношений между звуками в музыкальной системе.

Введение в музыкальную практику многоголосых инструментов с фиксированной частотой звуков (орган и др.) заставило композиторов и исполнителей заинтересоваться количественной стороной музыкальных систем.

К этому времени в науке был известен целый ряд звуковых строев, разработанных китайскими, персидскими, индийскими, арабскими и греческими учеными, в основе которых лежали самые разнообразные математические принципы отбора звуков и которые пытались объяснить соотношения между звуками в произведениях народного музыкального творчества.

Мы считаем излишним останавливаться на рассмотрении китайских, персидских, арабских и индийских звуковых строев, так как эти строи не оказали непосредственного влияния на европейскую музыку, а начнем с изучения строя, разработанного древнегреческими учеными и известного под именем "строя Пифагора".

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный) [Приложение 1]. Полуинструмент, полуприбор представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Пифагор брал струну, настроенную на самый низкий из принятых в его время музыкальных тонов и зажимал её посередине. Получался звук на октаву выше. Половинку струны он также зажимал посередине-выходил тон ещё на октаву выше, и т.д. Во всём диапазоне уложилось 7 октав. Затем ту же струну он зажимал на одну треть, а оставшиеся две трети заставлял звучать. Между тонами открытой и зажатой струны получался интервал, равный квинте (как теперь мы знаем - шаг вполне гармонический, акустически закономерный). От зажатой на треть струны он тем же способом строил вторую квинту, от нового тона - третью вверх и т.д. Всего в диапазоне уложилось 12 квинт. И конец последней (двенадцатой) квинты примерно совпал с концом последней

(седьмой) октавы.

Вышло, что 12 квинт приблизительно равны 7 октавам. Это-то обстоятельство и помогло отыскать более или менее родственные, акустически связанные звуки в пределах одной октавы. Концы дюжины квинт были сближены друг с другом шагами октав и этот запутанный рецепт настройки получил название ,,пифагорейского строя".

1.2 Что определяет консонанс

Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Прежде чем перейти к этому описанию, надо вспомнить, что такое звук. Согласно акустике, звук распространяется в воздухе волнообразно. Это значит, что с того момента, как зазвучали музыкальные инструменты, от них по всему залу расходятся звуковые волны. Колебания, передаваемые через воздух, заставляют вибрировать наши барабанные перепонки, в результате чего мы и улавливаем звук. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Одни считали, что это зависит от натяжения струны, другие видели ответ в том, что длина струны - причина того или иного звучания, третьи определяли консонанс с помощью высоты тона. Ясность в этом вопросе наступила после Архита (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

1.3 Законы пифагорейской музыки

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания ω звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

ω = a :l ,

где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.



Глава II. Некоторые понятия теории музыки

1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Интервальным коэффициентом двух тонов считают отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте колебаний нижнего: ω 2: ω 1.

Некоторые интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия:

октава 2 : ω 1 = 2 : 1, l2 : l1 = 1 : 2);

квинта 2 : ω 1 = 3 : 2, l2 : l1 = 2 : 3);

кварта 2 : ω 1 = 4 : 3, l2 : l1 = 3 : 4).

3. Тоника – основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.

Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания.

Музыкальный строй – математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада.






















Глава III. Математическое описание построения музыкальной гаммы

3.1 Пифагорейский музыкальный строй

Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим.

Среднее арифметическое частот колебаний тоники (ω 1) и ее октавного повторения (ω 2) помогает найти совершенный консонанс квинту.

Т.к. ω 2 = 2 ω 1, то ω 3 = (ω 1 + ω 2) : 2 = 3 ω 1 : 2 или ω 3 : ω 1 = 3 : 2 (ω 3 – частота колебаний квинты).

Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее октавного повторения l2.

Т.к. l2 = l1 : 2, то

или l3 : l1 = 2 : 3.

Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона ω 1 и октавы ω 2, получим .

Значит ω 4: ω 1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту.

Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ): ; l4 : l1 = 3 : 4.

Это значит, что длины струн l1 , l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

Итак, частота колебаний квинты является средним арифметическим частот колебаний основного тона ω 1 и октавы ω 2, а частота колебаний кварты - средним гармоническим ω 1и ω 2. Или иначе: длина струны квинты есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а длина струны кварты – среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме.

Гармонию звуков пифагорейцы считали лишь проявлением более глубокой гармонии - красоты окружающего мира. Пифагорейцы известны в истории эстетики благодаря еще одной теории. Она также была связана с музыкой, но имела иной характер. Если первая теория, как мы убедились, была построена на математических пропорциях, то вторая теория провозглашала музыку силой, способной воздействовать на душу. Хорошая музыка может улучшить душу, а плохая - испортить ее. Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами.

У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы, кроме описанного выше. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами - квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например "до" (3/2)0 = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)1= 3/2 - соль, (3/2)2:2 = 9/8 - ре, (3/2)3:2 =27/16 - ля, (3/2)4:22 = 81/64 - ми, (3/2)5: 22 = 243/128 - си, (3/2)-1:2 =4/3 - фа. (Все математические расчеты выполняем на компьютере, используя программу “Калькулятор”.)


hello_html_3f959d23.png

[Приложение 2]

Располагая эти звуки по порядку, получаем пифагоров строй лидийской гаммы. Исходя из возможных построений звукоряда, были получены несколько названий тетрахорда - четырехступенного звукоряда в пределах кварты. Это были дорийский, фригийский и уже упомянутый лидийский строй музыкальной гаммы.

Последнее построение музыкальной гаммы обладает такой особенностью: двигаясь по квинтам вверх и вниз, не получится точного октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой. Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий "резала ухо" музыкантам. Взяв отношение (3/2)12:27 (используем калькулятор), можно найти численное значение пифагоровой коммы (1,0136).

3.2 Темперированный музыкальный строй

Подлинным изобретателем подобной темперации следует признать китайца Чжу Цзай Юя (р.1536), который был принцем династии Мин, имевшим страсть к занятиям музыкой, математикой и астрономией. После приблизительно тридцати лет тщательного изучения и экспериментирования им была разработана математическая основа построения равномерно темперированного музыкального строя. Для длины струны и флейты он предлагал ряд ступеней, строящихся на величине, равной корню двенадцатой степени из двух, а для диаметра флейты – корню двадцать четвертой степени из двух.

После того как Чжу Цзай Юй опубликовал свое изобретение в 1584 г., то не китайцы, а европейцы прежде всего обратили на него внимание. Это было время, когда налаживался контакт между Китаем и Европой, и, видимо, каким-то образом идея равномерной темперации проникла на Запад. Первое упоминание о ней появилось в неопубликованных бумагах великого математика Симона Стевина (1548-1620). В 1636 г. сведения о равномерной темперации были изданы французским монахом-миноритом, теологом, физиком и музыкальным теоретиком Мареном Мерсенном (1588-1648) в его книге под названием «Всеобщая гармония» («Harmonie Universelle»). К концу века темперированный строй исследовал немецкий музыкальный теоретик и акустик Андреас Веркмейстер (1645-1706), которому часто и приписывается его изобретение .

Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это:

12 квинт : 7 октав = 1,512 : 27 = 129,7463379 : 128

Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой.

Распределим эту погрешность на все двенадцать интервалов квинты. Для этого найдём такое значение квинты q, двенадцать интервалов которой укладывалось бы ровно в 7 октав:

hello_html_f765c2d.png

Найденное значение квинты называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.

Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется темперированным музыкальным рядом.

n-ая ступень этого ряда удалена от начала на:

hello_html_m5a418969.png

Выражение в скобках показывает интервал между квинтовыми ступенями при перенесении их в одну октаву (2), называется интервальным коэффициентом полутона и имеет абсолютную величину 1,059463. Двойное его значение получило название тона и равно:

hello_html_m248fef9a.png

Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и, сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз, мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.

Пронаблюдаем ещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:

{0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5} (3)

Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.

Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5.

[Приложение 3]

С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений "на небе", проделав огромную вычислительную работу, И.Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим: Марс - 3/2, Юпитер - 6/5, Сатурн - 5/4. "Солнце гармонии засияло во всем блеске. Небесное движение есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся музыка", - так думал ученый. Здесь Кеплера не оставляет буйная фантазия. Небольшие расхождения в расчетах и наблюдениях он объясняет тем, что небесный секстет должен звучать одинаково согласно и в мажоре, и в миноре, а для этого ему необходимо иметь возможность перестраивать свои инструменты.

Далее Кеплер пишет о том, что Сатурн и Юпитер "поют" басом, а Марс - тенором, Земля и Венера - альтом, а Меркурий - дискантом. Никаких доказательств он не приводит. Выполняя многочисленные расчеты, ученый устал в поисках всеобщей гармонии. "Мой мозг устает, когда я пытаюсь понять, что я написал, и мне уже трудно восстановить связь между рисунками и текстом, которую я сам когда-то нашел", - писал знаменитый астроном и математик. Наступало новое время в естествознании: на смену поискам И.Кеплера шли открытия Ньютона.

XVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмейстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат.соразмерность). В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Веркмейстер вместо природного звукоряда создал собственный, положив в основу системы три постулата:

  • отношение частот одинаковых нот в соседних октавах должно быть равно двум;

  • между этими частотами должно лежать ровно двенадцать нот, по числу полутонов в октаве;

  • все полутона должны быть равны.

В соответствии с этими постулатами Веркмейстер разбил октаву на двенадцать абсолютно равных полутонов. Такой звукоряд был назван темперированным. Сущность темперации состоит в небольших изменениях величины интервалов по сравнению с их акустически точной величиной. В 12-ступенном равномерно темперированном строе все чистые квинты уменьшены на 1/12 пифагоровой коммы. От этого строй стал замкнутым, октава оказалась разделенной на 12 равных полутонов, и все одноименные интервалы стали одинаковыми по величине.

Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно.

[Приложение 4]

Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы - основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония.














ГлаваIV Эксперимент

Для проверки действенности теории Пифагора о параллельности математики и музыки в СШ №2 и в музыкальной школе мы провели анкетирование, в котором учащимся предлагалось указать свои отметки по математике за предыдущую четверть, а также указать, учатся они в музыкальной школе, играют на каких-либо музыкальных инструментах сами, либо не делают ни того ни другого. Всего в ходе исследования было опрошено 42 человека. Среди учащихся в музыкальной школе качество знаний по математике - 75% , кто играет на каком-то инструменте самостоятельно – 67%, а среди тех, кто не имеет никакого отношения к музыке – 50%. Это исследование показало, что музыка способна улучшить качество знаний по математике у учащихся [Приложение 5]

Стоит отметить, что наше исследование не единственное в своём роде. В Америке проходило схожее исследование, но участниками его стали дети из так называемых «неблагополучных семей». Было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах высшие баллы чем дети, музыке не учившиеся. Выдающийся исследователь таланта и одаренности Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты. Совпадение музыкальной и математической одаренности сделало эту тему предметом внимания психологов. Им хотелось понять психологические механизмы, стоящие у истоков музыкально-математической близости. Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение которых в наш прагматический век оспаривать невозможно.


Заключение

Итак, с задачами, которые мы ставили в начале, мы справились: познакомились с пифагорейским учением о музыке и математике, на основе него разработали правила построения консонанса и доказали его математическую природу, с помощью исследования доказали, что занятия музыкой благотворно влияют на математические способности учащихся, следовательно могут помогать учащимся лучше понимать математику. Мы провели параллель между двумя, казалось бы несовместимыми науками: музыкой и математикой, параллель, давно уже доказанную самой историей: Эрнест Ансерме - профессиональный математик и лучший исполнитель Стравинского, известный композитор Антонио Вивальди преподавал математику в детском приюте в Венеции (в начале XVIII в.) и даже юный В.А.Моцарт страстно увлекался математикой.


Список использованных источников

1 А.В.Волошинов «Математика и искусство» (2-е издание, доработанное и дополненное) Москва «Просвещение», 2000

2 В.М.Федосеев «Математика и музыка» Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2007 г. (электронное учебное издание)

3 Теория Музыки для математиков http://ru.wikibooks.org

4 Философия и арифметика музыки http://px-pict.com/7/3/2/1.html

5 Человек без границ №3 2008 «Пифагорова гамма и музыка сфер»

стр 9-10

7 Ю.Г.Каплунов Темперированный строй http://idvm.narod.ru/texts/238.htm



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.