Удивительное число ПИ (Статья к презентации)

Скачать материал

Департамент образования и науки

Брянской области

ГБПОУ «Трубчевский политехнический техникум»

Творческий проект

«Удивительное число π»

Номинация: Естественнонаучные «Академиан»

Дисциплина: «Математика»

Автор: Низикова З.К

2016

Содержание

1. Введение …………………………………………………………. .2-3

2. Понятие числа ……………………………………………………….4-7

3. История появления числа ……………………………………………8-14

4. Загадки числа π ………………………………………………………15-17

5. Мнемонические правила запоминания числа π …………………….18

6. Практическое вычисление числа π …………………………………..19-23

6.1. Простейшее измерение

6.2. Метод иглы Бюффона

6.3. Метод Г.А. Гальперина- Пи биллиард

6.4. Метод взвешивания

6.5. Метод Монте-Карло

7. Интересные факты ……………………………………………………24

8. Математические задачи с числом π ………………………………….25

9. Заключение ……………………………………………………………26

10. Литература …………………………………………………………….27

1. Введение

Математика – одна из наук, которая будет постоянно заставлять человечество думать, мыслить, творить и разгадывать, познавать новое, задавать вопросы. Одним из вопросов, над которым думает человечество на протяжении многих веков – это число пи. Число пи – это не просто буква греческого алфавита. Это знаменитая константа, которая выражает отношение, длинны окружности к диаметру. И в этом качестве она известна с древних времен. О том, что отношение длинны окружности к её диаметру есть величина постоянная, независящая от длинны окружности, знали наши далёкие предки. На протяжении веков протяжение веков ученые изучали число пи, вычисляли всё новые знаки в записи числа, и не оставляли надежды найти какие-то новые закономерности.

Методы уточнения «пи» настолько разнообразны: от строго математических ,до методов с философским уклоном, что не позволяют скучать истинным любителям математических загадок.

Еще большей загадочности придает объекту нашего изучения вопрос о том для чего нужна колоссальная точность десятичных знаков. Проникновение науки в космическое пространство и внутрь материи требует для большей точности больше десятичных значений.

Ответ на вопрос где применяется значения «пи», можно сформулировать двумя словами «все круглое». Все формулы связанные с телами вращения содержат это удивительное число; сфера, цилиндр, усеченный цилиндр и т.д.

Число Пи в том или ином виде содержат константы, формулы, таблицы. Актуальность выбранной темы для нас студентов специальности компьютерные сети состоит в том, что наша специальность требует, прежде всего, технических знаний, умения использовать формулы, таблицы, константы и т. д. все они в том или ином виде содержат число Пи.

2.Понятие числа

Пи- математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра, ели принять диаметр окружности за 1, то длина окружности и есть число пи. Чисто Пи обозначается буквой греческого алфавита π.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Впервые обозначением этого числа греческой буквой $\pi~$ воспользовался британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Лудольфово число – старое название числа Пи

Если разложить на плоскости 4 диаметра любого круга и поставить точку отсчета, от неё раскрутить длину окружности, конечная точка становиться чуть меньше 3.5, точнее 3.14 – это и получается число Пи.

— иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим.

Иррациональность числа $\pi$ была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения числа $\frac{e-1}{2^n}$ в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел $\pi$ и $\pi^2$ .

$\pi$ — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа $\pi$ была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.

$\pi$ является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли $1/\pi$ к кольцу периодов.

Известно много формул для вычисления числа $\pi$ :

Формула Виета для приближения числа π русск.:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots$

Формула Валлиса:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Ряд Лейбница:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Тождество Эйлера:

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

Интегральный синус:

$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi$

Через несобственный интеграл

$\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi$

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Первые 1000 знаков после запятой числа π

3.История числа

История числа $\pi$ шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого $\pi$ изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

История числа Пи началась в древнем Египте, оно выражало отношение длины окружности к её диаметру.

В это время рациональны приближения, числа Пи выражались:

· – Архимед,

· – Дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н.э.,

· – приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи

В Индии в священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших.) имеется указание, из которого следует, что число Пи в то время принимали равным √10, что даёт дробь 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцати угольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

Более точное значение этого числа: 3,1415927... было найдено в V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи.

Астроном и математик Аль-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Аль-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

В Европе Ф.Виет спустя полтора столетия нашёл число Пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом он первым заметил, что Пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после аль -Каши его результат был превзойдён.

В 1706 г. английский математик У.Джонсон первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом Пи В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольфван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

Иррациональность числа пи доказал А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта, в конце XVIII в. Строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения нашел немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита,. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно а следовательно, не существует решения задачи о квадратурекруга.

В конце XIX в., англичанин Вильям Шенкс после 20 лет упорного труда, нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. Ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p/4,

который дал возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/√3, при котором разложение функции arctg 1/√3=пи /6 в ряд даёт равенство

p/6 = 1/√3[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...],
т.е.
p = 2√3[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...]

Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле

Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение

p =√2+ √3

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр $\pi$ , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году (десяти знаков числа $\pi$ $(\pi = 3{,}141592653\ldots)$ вполне достаточно для всех практических целей). Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

Множество новых формул для $\pi$ , обнаружил в начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан, некоторые из них стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ .

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}$ ,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении $\pi$ в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих $\pi$ на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина(англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков^[10]. Алгоритм состоит из установки начальных значений

$a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1$

и итераций:

$a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$

$t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n$ ,

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка $\pi$ даётся формулой

$\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.$

Для получения 45 миллионов десятичных знаков достаточно 25 итераций этой схемы. Джонатаном Боруэйном был найден алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein). При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления $\pi$ вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов в августе 2009 года .

французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов 31 декабря 2009 года.

Американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо (яп.)русск. рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой 2 августа 2010 года.

Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой 19 октября 2011 года.

4.Загадки числа π

Современные ученые считают, впервые число Пи начали применять в Египте около 1700 года до нашей эры.
Оказывается, два понятия - египетские пирамиды и число Пи связаны невидимыми и прочными нитями.
Пирамиды строго ориентированы по сторонам света, все их размеры связаны со значением числа Пи с точностью до нескольких знаков после запятой, а главная усыпальница состоит из треугольников, благодаря которым прославился Пифагор.

Многие годы считалось, что пирамиды создавались как царские усыпальницы и ансамбль вокруг них подтверждал эту мысль. Но представление это заметно пошатнулось, когда при вскрытии саркофага Хеопса вместо мумии археологи обнаружили лишь маленькую его скульптуру. То же самое и в других пирамидах - только статуэтки. Исключение составляет лишь мумия восемнадцатилетнего фараона Тутанхамона. Но с этой находкой связано так много мистификаций, загадочных и роковых совпадений, что невольно ощущаешь тайный, скрытый пока умысел этого "исключения". Ученые предполагают, что жрецы должны были прятать мумию в другом надежном месте. И такая догадка подтверждается археологами, обнаружившими сокровенное место на берегу Нила. Здесь, в пещерах, замурованы мумии почти всех фараонов нового царства.
В конце прошлого века шотландский астроном Пиаци Смит подверг себя добровольному заточению в пирамиде Хеопса. Прожив там, около двух лет, он не превратился в мумию, а, наоборот, поправил свое здоровье и обрел озарение, позволившее сделать ему интереснейшие расчеты. Смит установил, что высота пирамиды Хеопса (146,6 м) выбрана так, что составляет одну миллиардную часть расстояния от Земли до Солнца, а длина нижней грани, выражающаяся в египетских локтях, соответствует продолжительности земного года. Изучая размеры каменных блоков, Смит сделал вывод, что древние строители пользовались определенным строительным эталоном, длина которого удивительно близка английскому дюйму (2,54 см). Этой величине ученый приписал божественное происхождение, назвав ее "пирамидальным дюймом".
При измерении параметров пирамиды Хеопса, ее высоты и географического положения Ученый Б. Адариди получил интереснейшие результаты. Так, например, при нанесении этой пирамиды на географическую карту обнаружено, что диагональ пирамиды точно совпадает с направлениями по меридиану. Причем точность этого направления на Северный полюс достигает 4 минуты 30 секунд (точность выше, чем в Парижской обсерватории!).
Меридиан, проходящий через пирамиду Хеопса, делится на две равные части - поверхность моря и поверхность суши, а широта, проходящая через центр пирамиды, в свою очередь, делит на две равные части весь земной шар по количеству воды и суши. И если это так, то значит, что древние строители знали точные соотношения поверхности всех материков и морей и не случайно выбрали для своих сооружений устье Нила. Как пишет Б. Адариди, дальнейшие измерения пирамиды Хеопса привели к новым сенсационным данным. Оказалось, что периметр пирамиды, разделенный на удвоенную высоту, дает точное значение числа "пи" с точностью до 0,01
Это легко проверить:
сторона основания - 230,3 м, периметр - 203,3x4 = 921,2 м.
Высота пирамиды - 146,6 м, удвоенная - 293,2 м.
Делим первую величину на вторую и получаем: 921,2/293,2 = 3,14 (число "пи").
В современной математике число Пи — это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л. Эйлера, которая устанавливает связь числа Пи числа е. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа. Число Пи одна из фундаментальных математических констант.

Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки:

· в уравнениях гравитационного поля Эйнштейна;

· в уравнениях, связанных с образованием радуги;

· в уравнениях описывающих распространение зыби при падении дождевой капли в воду;

· в уравнении нормального распределения Гаусса;

· в уравнении движения маятника, во многих геометрических задачах, в задачах связанных с волнами;

· в задачах навигации и т.д.

5.Мнемонические правила запоминания числа π

В практических расчетах редко бывает нужда знать более трех- пяти цифр числа ПИ. Если со временем они забудутся и надо вспомнить, задайте себе вопрос: «Что я знаю о кругах?»

3, 1 4 1 6

В вопросе скрыто – числу букв в каждом слове – содержится ответ : π~3,1416

Существуют стихи, в которых первые числа Пи зашифрованы в виде количестве букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно

3 1 4 1 5 9

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся звеньям громадным

Тех, пи кто считал, цифр армаду.

Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу, примечать. (3,14159265358)

Гимназистам дореволюционной России предлагалось двустишие (с твёрдым знаком)

Кто и шутя и скоро пожелать

3 1 4 1 5 9

Пи узнать – вмиг уж узреть

2 6 5 2 6

6.Практические вычисления числа π

6.1 Простейшее измерение

Проведем следующий опыт: Вырежем 10 разных по величине кругов, измерим их диаметры и длины окружностей.

Найдем отношение длины окружности к диаметру.

Результаты вычислений занесем в таблицу.

№	Длина	Диаметр	Отношение длины к диаметру
1	С=236	d=75	~3.146
2	С=267	d=85	~3.142
3	С=318	d=100	~3.140
4	С=377	d=120	~3.145
5	С=393	d=125	~3.144
6	С=440	d=140	~3.143
7	С=487	d=155	~3.144
8	С=534	d=170	~3.141
9	С=597	d=190	~3.142
10	С=628	d=200	~3.140

Полученные результаты, позволяют сделать вывод, что отношение длинны окружности к диаметру в любой окружности ~3.14

Проведем этот же опыт более простым способом. Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину I (=46.5) одного полного оборота нити, разделим I на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. = I\d = 46.5 \ 15 = 3.1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.

6.2 Метод иглы Бюффона

Неожиданный и оригинальный способ для вычисления числа Пи

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к $\frac2\pi$ при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.

Мы провели следующий опыт:

Разлинеили лист бумаги, так, что бы параллельные линии отстояли друг от друга на расстоянии вдвое меньше иглы бросали игры на лист 150 раз, получиться следующий результат

π=3,125 .

Вывод: Результат совпал с числом Пи только до десятых.

Что бы получить большую точность приближения полученной дроби к числу Пи, нужно увеличить число опытов в эксперименте.

6.3 Метод Г.А. Гальперина - Пи биллиард

Метод основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньшее из которых меньшее из которых находиться между большим и стенкой, и больше движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколько угодно большой на перед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число ударов шаров.

6.4 Метод взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим его. Зная массы квадрата m_кв =10г и вписанного в него круга m_кр =7.8г воспользуемся формулами.

Где p и h – соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры.

Рассмотрим равенства:

Отсюда

Т.е.

Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0.1.

6.5. Метод Монте-Карло

Это фактически метод статических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применение случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерируют случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи…дождя.

Для опыта готовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в него четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур, так как падение капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв – число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли ставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырёхзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0.32, у=0.65. Эти числа будем считать координатами капли, т.е. капля как будто попала в точку (0.32; 0.65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что точки (х; у) выполняется равенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х+у=1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения снова воспользуемся формулой.

Ошибка вычисления по этому методу, как правило, пропорциональна, где, D –некоторая постоянная, а N число испытаний. В нашем случае N=Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, что бы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т.е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа реализует данный метод на компьютере.

7. Интересные факты о числе π

1. Древние египтяне и Архимед принимал величину π от 3 до 3.160, арабские математики считали число π = 3.162

2. Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц\день) записывается как 3.14, что соответствует приближенному значению числа π. Считается , что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Лари Шоу, обратите внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3.14159.

3. Праздник числа Пи, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков Альбертом Эйнштейном.

4. 22 июля называют «Днем приближенного числа ПИ» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближенным значение числа π

5. Закономерность числа Пи в отношении площади к высоте замечена в Европейских памятниках архитектуры: Колизее, в Пизанской и Эйфелевой башнях.

6. Памятник числу π на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

7. Существует художественный фильм, названный в честь числа π

8. В настоящее время вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

9. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа $\pi$ после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут. До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки В России рекорд по запоминанию принадлежит Артуру Думчеву (11 106 знаков)

8. Математические задачи с практическим содержанием

1. Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6.12 м , длинна минутной стрелки 2.54 м. Какова площадь циферблата? Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час?

2. Длинна экватора Луны приближена равна 10.9 тыс. км. Чему равен диаметр Луны?

3. Спутник вращается по круговой орбите на высоте 100 км от поверхности Земли. Какова длинна пути, проходимого спутником за 5 оборотов вокруг земли?

4. Какова длинна пути, пройдённого туристом в результате кругосветного путешествия?

5. Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40.8 м. Найдите диаметр и площадь арены.

6. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 3 минуты колесо сделало 600 оборотов. Какова скорость тепловоза.

7. Какова должна быть длина этикетки для консервной банки, диаметр которой равен 15 см?

8. Диаметр CD равен 12 см. Найдите длину окружности.

9. Если рассчитать длину экватора
Земли с использованием числа π с точностью до девятого знака, ошибка в расчетах составит около 6 мм.

9.Заключение

Удивительное рядом. Можно с уверенностью сказать, что история изучения числа Пи не закончена и исходя, из природы этого числа не будет закончена никогда. Число Пи можно вычислять бесконечно, и у него бесконечно много знаков. В настоящее время значение числа Пи известно с точностью до 1.24 триллиона знаков Человечество ждет многие научные открытия, связанные с этим числом. Изучение числа пи развивает способность человека получать, оценивать и использовать информацию. Данная работа имеет практическую значимость как пособие для студентов , которое позволит всесторонне изучить число Пи, познакомиться с его тайнами и значением в жизни человека.

10.Литература

Википедия: https://ru.wikipedia.org

Сайт: π-Club или Клуб фанатиков числа π: http://arbuz.uz/z_piclub.html

Я.И. Перельман «Занимательная геометрия» - M.:ACT.Астрель.

Райк А.Е. Очерки по истории математики древности.

Жуков А. В. О числе π. — М.: МЦМНО, 2002. — 32 с. — ISBN 5-94057-030-5.

Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.

Наварро, Хоакин. Секреты числа $\pi.$ Почему неразрешима задача о квадратуре круга. — М.: Де Агостини, 2014. — 143 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 7). —ISBN 978-5-9774-0629-1.

Перельман Я. И. Квадратура круга. — Л.: Дом занимательной науки, 1941.. Переиздание: ЁЁ Медиа, ISBN 978-5-458-62773-3.

Скачать материал

Скачать материал "Удивительное число ПИ (Статья к презентации)"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 664 525 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Симметрия в алгебре (Статья к презентации)

23.09.2016
2650
10

docx

Сценарий интеллектуально- познавательной игры "Самый умный" по математике,физике,информатике

23.09.2016
356
0

pptx

Удивительное число ПИ (Презентация)

23.09.2016
1061
0

pptx

Симметрия в алгебре (Презентация)

Рейтинг: 1 из 5

23.09.2016
1932
17

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 23.09.2016 2308
- DOCX 236.5 кбайт
- 11 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Низикова Зоя Константиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Низикова Зоя Константиновна
- На сайте: 7 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 8565
- Всего материалов: 5