Урок алгебры по теме "Решение неравенств методом интервалов"

8 класс

Алгебра

Самостоятельная работа

«Метод интервалов»

Вариант 1.

№1.

Решите методом интервалов неравенства:

а)

б)

№2.

Найдите область определения функции:

Вариант 2

№1.

Решите методом интервалов неравенства:

а)  

 б)

№2.

Найдите область определения функции:

Задания к уроку «Решение неравенств методом интервалов»

1.     Решить неравенство

2.     Решите неравенство

1 вариант:

2 вариант:

 3. Решить неравенство

     4. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

           а)   

            в)

      5. Решите неравенство:

          в)  

         г)

     6. Решите неравенство: 

                    

   7. Решите неравенство: 

                   

* 8.                         

• 1 слайд

  Решение неравенств методом интервалов.
  
  Урок алгебры в 8 классе
  
  Учитель математики высшей категории
  КГУ «Майская средняя школа отдела образования акимата Тарановского района»
  Соколова В. А.
  

• 2 слайд

  Найти ОДЗ
  Разложить многочлен на простые множители;
  найти корни многочлена; (нули функции)
  отметить их на числовой прямой;
  определить знаки на полученных интервалах;
  выбрать промежутки нужного знака; (если неравенство со знаком >, то выбираем интервалы со знаком «+», если со знаком <, то выбираем интервалы со знаком «-»)
  С учётом ОДЗ записать ответ (В виде промежутков или в виде неравенств)
  Алгоритм применения метода интервалов
  

• 3 слайд

  №1. Решите методом интервалов неравенства:
  б)
  №2. Найдите область определения функции:
  Вариант 1.
  а)
  Вариант 2.
  б)
  а)
  Самостоятельная работа
  !
  

• 4 слайд

  Проверь своё решение
  №1. Решите методом интервалов неравенства:
  Вариант 1.
  Вариант 2.
  а)
  а)
  x
  x
  2,5
  0,4
  -3
  -4
  Ответ:
  Ответ:
  +
  +
  –
  +
  +
  –
  б)
  б)
  x
  1/2
  -3/2
  +
  +
  –
  Ответ:
  x
  1/3
  -2/3
  +
  +
  –
  Ответ:
  

• 5 слайд

  Проверь своё решение
  Вариант 1.
  Вариант 2.
  №2. Найдите область определения функции:
  x
  6
  0
  –
  –
  +
  Ответ:
  x
  7
  0
  –
  –
  +
  Ответ:
  Решение.
  Решение.
  

• 6 слайд

  Оценка самостоятельной работы
  За каждый верно выполненный пример – поставьте 1 балл.
  1 балл – «3».
  2 балла – «4».
  3 балла – «5».
  0 баллов – «2».
  

• 7 слайд

  Решим неравенство
  Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - х0 корень многочлена кратности k.
  1) Данный многочлен имеет корни:
  x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1;
  x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5.
  2) Нанесем эти корни на числовую ось.
  3) Определим знак многочлена на каждом интервале.
  +
  +
  –
  –
  –
  –
  4) Запишем ответ:
  5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности.
  М
  Н
  Н
  М
  М
  1
  

• 8 слайд

  Решите неравенство
  1 вариант:
  2 вариант:
  Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.
  

• 9 слайд

  Выводы:
  При четном k многочлен справа и слева от х0 имеет один и тот же знак
  (знак многочлена не меняется).
  2
  При нечетном k многочлен справа и слева от х0 имеет противоположные знаки
  (знак многочлена изменяется).
  3
  Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.
  1
  

• 10 слайд

  Решение рациональных неравенств
  Заменяем на неравенство , равносильное данному неравенству, которое решаем методом интервалов.
  Решение рациональных неравенств равносильно решению системы:
  Так как правила знаков при умножении и делении одинаковые,
  

• 11 слайд

  +
  –
  +
  –
  –
  +
  –
  М
  Н
  М
  М
  М
  М
  Решим неравенство
  1) Найдем область определения неравенства:
  откуда
  2) Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому, умножив неравенство на квадрат знаменателя:
  3) Находим корни многочлена и определяем их кратность:
  х =1 (четная кратность), корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетная кратность).
  4) Определим знак многочлена при х = 10, и расставим остальные знаки с учетом кратности корней.
  x
  -2
  0
  3
  -1
  1
  5
  5) Запишем ответ:
  

• 12 слайд

  Решить неравенства
  

Разработка урока по алгебре  в 8 классе

учителя математики высшей категории

 КГУ «Майская средняя школа отдела образования акимата Тарановского района»

Соколовой Виктории Анатольевны.       

Тип урока: комбинированный.

Применяемые технологии:

       развивающего обучения; информационно- коммуникативные технологии..

Тақырып / Тема:  Решение неравенств методом интервалов.      

Мақсат / Цель:

Образовательная цель:  

·        рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств,содержащих многочлен кратности к и для решения рациональных неравенств

_______________________________       

Развивающая цель:

·        Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации.

·        Развивать  математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения).

·        Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.

_______________________________________________________________________

Воспитательная цель:

·        воспитывать добросовестное отношение к учебе, интерес к предмету

__________________________________________________________________________

Оборудование : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

Сабақ барысы / Ход урока:

1.     Сообщение темы и цели урока.

2.     Повторение и закрепление пройденного материала.

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор задач, вызвавших затруднения).

2) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств (слайд 2).

3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). (Слайд 3).

Вариант 1.

 Решите методом интервалов неравенства:

а)   б)

№2. Найдите область определения функции:

Вариант 2.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а)   б)

№2. Найдите область определения функции:

Самопроверка самостоятельной работы (слайды 4-5), с оцениванием (слайд 6).

3.     Изучение нового материала.

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1. Решим неравенство

Решение (слайд 7):

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что  - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни:  кратности 6;  кратности 3;  кратности 1;  кратности 2;  кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

Решите неравенство (слайд 8).

1 вариант:

2 вариант:

(Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 9):

·        Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

·        При четном k многочлен справа и слева от  имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

·        При нечетном k многочлен справа и слева от  имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим  способы решения рациональных неравенств  методом интервалов (слайд 10). 

·        Так как правила знаков при умножении и делении одинаковые, заменяем на равносильное неравенство

 , эквивалентное данному неравенству.

Итак:  эквивалентно системе неравенств  которая далее решается методом интервалов.

Пример 2.  (слайд 11) Решим неравенство

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

 откуда

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение – квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется). Получаем:

. Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

Ответ: .

4.     (слайд 12) Задание на уроке (первичное закрепление материала).

Фронтальная работа с классом

№1 Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а)                     в)

№ 2 Решите неравенство:

в)                      г)

№3. Решите неравенство:  а)

№4. Решите неравенство:  а)

* №5

·       

5.     Задание на дом (слайд 13).

№298 (1, 2),

№ 299 (1, 2),

№304(1),

№305(1).

6.     Подведение итогов урока, рефлексия.

1.      Что вы ожидали от работы  на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты.

2.      Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным?

3.      Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно?

4.      Перечислите в порядке убывания основные трудности, которые вы испытывали во время учебы. Как вы их преодолевали?