Урок-лекция "ПОДГОТОВКА К ГИА: Задачи с параметром"

Подготовка к ГИА: задачи с параметром.

Валеева В.Ф.

 учитель математики МКОУ Черская СОШ

Нижнеколымского района РС (Я)

Параметр -  величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы. «Словарь русского языка» С.И. Ожегова.   

Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. «Словарь иностранных слов»

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова.

В последние годы наблюдается настоящий «бум» на задачи с параметрами: они присутствуют во всех вариантах ЕГЭ, во многих ВУЗах на вступительных экзаменах, в текстах экзаменационных работ. Поэтому с решением задач с параметром учащихся надо знакомить как можно раньше, рассматривая самые простые уравнения с параметром, которые сводятся к решению линейного или квадратного уравнения: 

f (x, a) = 0,                  т.е. линейное уравнение ax = 0

f (x; a; b; c) = 0,         т.е. квадратное уравнение ax²  + bx + c.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские.

Задачи с параметрами традиционно и заслуженно считаются наиболее трудными:

   а)  нехватка времени на них в школьной программе;

   б)  они носят исследовательский характер;

   в) требуют умения решать классические задачи без параметра, умения всесторонне исследовать квадратный трехчлен.

 Даже запись ответа требует внимательности и сосредоточенности, чтобы не упустить ни одной из его частей, которые получены в ходе решения.

Основные типы задач для уравнений с параметром.

I. Решить уравнение f (x, a) = 0 при всех а

     а) найти все значения переменной а, при которых  уравнение имеет решение.

     б) найти эти решения при каждом таком а.

     в) в ответе указать, что при остальных значениях а, задача не имеет решений.

 II. Найти все значения а, при которых уравнение f (x,а) = 0 имеет решение.

Задача требует исследования, а не формального применения формул.

III. Найти все значения а, при которых уравнение f (x,а) = 0 имеет одно (единственное) решение, ровно два или сколько–нибудь еще.

 Решение линейных  уравнений с параметром.

Решить уравнение:

 b(b-1)x = b² + b-2                  х -неизвестное число,

                                               b- параметр, известное фиксированное число.

Придавая b различные значения, будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. В зависимости от значений параметра мы можем получить 3 разных случая:

   а) уравнение имеет единственный корень k ∙ x = b

   б) уравнение имеет множество корней  0 ∙ х = 0

   в) уравнение не имеет корней 0 ∙ x = b

Рассмотрим каждый случай отдельно:

    а) b(b-1) ≠ 0                 b ≠ 0; b≠1         

уравнение имеет единственный корень

                                  x =  

   б)     b(b-1) = 0             b= 0  b=1

           b² +b-2=0             b= -2  b=1   т.е. b=1    множество корней

   в) b(b-1)=0  b=0 и b=1   при b=0 получаем уравнение вида 0×x = b т.е. корней нет.

            b² +b-2≠0

Таким образом, для данного уравнения выявим различные значения параметра b, для каждого из которых определено соответствующее множество корней:

     Ответ:  при b≠ 0;  b≠1  х = ,

                   при b = 1  множество корней x - любое число

                   при b = 0  корней нет.

Решение квадратных уравнений с параметром.

При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта.

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то ах² + вх + с = а (х – х₁) (х – х₂)

3. Если D >0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного

                                                                       aх² + вх + с = а (х – х₁)²

4. Если уравнение приведенное то х₁ + х₂ = - р,   ах_{1 ∙} х₂  = q

5. Если а >0, D >0, то уравнение имеет два действительных различных корня

                        а) в < 0, с > 0  оба корня положительны

                        б) в > 0, с > 0  оба корня отрицательны

                        в) в < 0, c < 0 корни противоположны по знаку. Положителен

                        тот корень, который имеет больший модуль.

                        г) в > 0, c < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот

                        корень, который имеет больший модуль.

Пример  1.

            При каких значениях параметра а уравнение ах (ах + 3) + 6 = х (ах – 6) является

             а) квадратным

             б) неполным квадратным

             в) линейным?

            Преобразуем:    а²х² + 3 ах + 6 = ах² – 6х

                                        а²х² – ах² + 3 ах + 6х + 6 = 0

                                        а (а – 1)х² + 3 (а + 2)х + 6 =0

           а) уравнение квадратное, если старший коэффициент ≠ 0

                        а (а -1) ≠ 0

                        а = 0,  а ≠ 1

                 m. е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1

           б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с=0.

                        3 (а + 2) = 0                а = -2

           в) линейное, если коэффициент при х² равен 0    а (а- 2) = 0      а = 0; 2

          Ответ:  при а ≠ 0; 2 уравнение квадратное

                        при а = - 2 неполное квадратное

                        при а = 0,2 линейное.

Пример 2.

         Решить уравнение

                        х² – bх + 4 = 0

                        D = b² – 16.

     а) если  > 4, т.е. b < - 4 и b > 4 (b Î (-∞;4)U(4; +∞), то D >0 и уравнение имеет 2 корня

                                      x_1,2 =

     б) если = 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x =  

     в) если  < 4, т.е. - 4 < b < 4, то D <0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если b < - 4 и b > 4, то 2 корня 

                                                             x_1,2 =                            

                 если b = ± 4, то 1 корень x =

                 если – 4 < b < 4, то корней нет.

Дробно – рациональные уравнения с параметром.

            Особенностью решения таких уравнений является возможность появления посторонних корней.

Решить уравнение:

  

Преобразуем     

  (m – 2) x = 2m

   x (x – 2) ≠ 0     x ≠ 0, x ≠ 2

  (m – 2) x = 2m          х =

    Если m ≠ 2, то х = единственный корень

    Если m = 2, то уравнение корней не имеет.

Найдем значения m, при которых х = 0 и х = 2

    = 0   при m = 0

    = 2   2m = 2m - 4

Данное равенство не выполняется при любом значении m.

Ответ: если m ≠ 0,  m ≠ 2 – единственный корень х =

            если m = 0, m = 2, то уравнение корней не имеет.

Я считаю, что уже в 8-9 классах необходимо приступать к решению задач подобного типа. Это способствует выработке умений и навыков работать с нетрадиционными заданиями, стимулирует стремление к получению дополнительных знаний по предмету.