Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики : Функции, их свойства и графики

Урок математики : Функции, их свойства и графики



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок № 1, 2


Тема урока: Функции, их свойства и графики


Цели урока.

  1. Обобщить и систематизировать материал вышеуказанной темы; совершенствовать умения учащихся определять свойства функции по ее графику; совершенствовать умения и навыки учащихся строить графики функций; развивать графическую культуру учащихся.

  2. Продолжить работу над формированием математической речи, логического мышления, развития творческих способностей учащихся.

  3. Воспитывать уважительное отношение к общечеловеческим ценностям. Продолжить работу над формированием гуманных отношений на уроке.


Наглядные пособия: мультимедийная доска.


Ход урока

I Организационный момент.


II Проверка домашнего задания.


На доске изображено решение номеров, заданных на дом. Учитель комментирует это решение. Учащиеся проверяют выполнение домашних упражнений.

В-3 № 14 ( 1 – 4 )

Найдите область значения функции.

1) hello_html_5ae6ed74.gif

Составим уравнение hello_html_6d9a9c0.gif.

Оно равносильно уравнению hello_html_5c67f0cc.gif , которое имеет решение, если a9 ≥ 0, т.е. при a9 . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 9 ; +∞ ) .

2). hello_html_m3ea4abd4.gif

Составим уравнение x² + 3 = a .

Оно равносильно уравнению x² + 3 = a , которое имеет решения, если
a3 ≥ 0 , т.е. при a ≥ 3 . . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 3 ; +∞ ) .

3hello_html_1cfc9cbc.gifhello_html_353dff75.gif). hello_html_m673d5e27.gif


Построим график функции hello_html_m673d5e27.gif

Пhello_html_mc3190c4.gifо графику видно, что
E (g) = (−∞ ; 7 ]




4) φ (x)= 3 + 4 x + x²

Составим уравнение 3 + 4 x + x² = a .

Оно равносильно уравнению x² + 4 x + ( 3 – a ) = 0 которое имеет решение при D ≥ 0 .

D = 4² −- 4 · 1 · ( 3 – a ) = 16 – 12 + 4 a = 4 + 4 a ;

4 + 4 a ≥ 0 ; 4 a ≥ -4 ; a ≥ −1 .

Значит, E (φ) = [ −1 ; +∞).


В - 3 24 ( 1 – 5 ; 8 )

Является ли четной или нечетной функция?

1). hello_html_m35122496.gif

D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m4baf337b.gif

Значит, f ( x ) – четная функция.

2).hello_html_m4e401286.gif

D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ) .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

hello_html_3e7fbbff.gif

f ( −-x ) f ( x ) ; f ( x ) ≠ −- f ( x ) .

значит, f ( x ) не является ни четной, ни нечетной функцией.

3).hello_html_m4aad72c4.gif

x² − 16 ≠ 0 ; |x|hello_html_m53d4ecad.gif4 ; x1 ≠ −4 ; x24 .

hello_html_m3fb77ae0.gif

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

hello_html_6082bf85.gif

Значит, f (x ) четная функция.

4). hello_html_m3e0e0dc4.gif

3 − |x| ≥ 0 ; |x| ≤ 3 ; −3 ≤ x ≤ 3 .

Следовательно, D ( f ) = [−3 ; 3] .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

hello_html_71bf36cf.gif

Значит, f (x ) четная функция.


5).hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4a2a6cf8.gif

D ( f ) = (−∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

hello_html_m14478a5a.gif

Значит, f (x ) нечетная функция.

8). hello_html_582885.gif

hello_html_m34020c28.gif

f ( x ) = 16x ; D ( f ) = (−∞ ;+∞).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

f (−x ) = 16 ∙ (−x ) = −16x = −f ( x ) .

Значит, f (x ) нечетная функция.


Вhello_html_44d21501.gif-3 № 16 ( 7 )

hello_html_m47de326f.gif





hello_html_m528fe6b3.gif







На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , определенной на промежутке [−5 ; 4 ]. Пользуясь графиком, найдите количество корней уравнения f ( x ) = a в зависимости от значения a.

Решение

а) При а = −3 ; hello_html_23f5ccb2.gif уравнение имеет один корень.

б) При a = 1,5 ; hello_html_bb347e9.gif уравнение имеет два корня.

в) При hello_html_5512d478.gif уравнение имеет три корня.

г) При hello_html_m3a1126b8.gif уравнение корней не имеет.


III Мотивация учебной деятельности учащихся.

Учитель напоминает учащимся, что с понятием функции и свойствами функции они познакомились в курсе алгебры. Эта тема является важной и в курсе начал анализа. На уроках в 10 классе учащиеся расширили и углубили знания о функциях. Сегодня на уроках учащимся предстоит обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Функции, их свойства и графики»; подготовиться к контрольной работе.

Учитель предлагает каждому из учащихся, соответственно с целью уроков, поставить свои цели, над достижением которых они будут трудиться.


IV Обобщение и систематизация знаний.

Разминка. Учитель разбивает класс на три команды: I ряд – первая команда; II ряд – вторая команда; III ряд – третья команда. Представители команд, поочередно, задают другим командам вопросы по теории, подготовленные заранее.


V Обобщение и систематизация умений и навыков.

1. На доске изображены задания теста-диагностики. Учащиеся в тетради записывают ответы. Затем на доске появляются правильные ответы. Учащиеся выполняют проверку.

Тест

1). Укажите значение функции y = −x2 + 2 , если x = 2.

А) 8 Б) 5 В) −5 Г) −2 Д) 7

2). Функция задана формулой f ( x )x2 + 4 x .

Найдите все значения x , для которых f ( x ) = 5 .

А) 0 Б) −5; 1 В) −1 Г) 1 Д) −5

3). Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел?

А) hello_html_36488d6d.gif Б)hello_html_2bde7911.gif В)hello_html_m4b608880.gif Г) hello_html_14c69d54.gif

4). У какой из приведенных функций область определения совпадает с множеством значений?

А) y = x2 Б) hello_html_70f2fcd4.gif В) hello_html_m75c7f99e.gif Г) hello_html_6fc3ca67.gif

5). Укажите функцию, график которой проходит через точку A (2 ; 1)

А) y = x + 1 Б) y = x2 В) y = x37 Г) y = 4x2 Д) hello_html_m52d9d169.gif

6). Укажите эскиз графика функции y = x2 + a x + b ,
если a24 b > 0 .

hello_html_m21d59023.gifhello_html_2dd92384.gifhello_html_2dd92384.gifhello_html_7bab7c92.gifhello_html_7bab7c92.gifhello_html_50013bc5.gif

hello_html_m6633e4a8.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_2dd92384.gifhello_html_2dd92384.gifhello_html_m1f0de6d7.gif

7) Какая из приведенных функций является строго убывающей в своей области определения?

А) y = π2 x Б) y = x2 + 2 x В) hello_html_2a01261.gif

Г) hello_html_bf7f634.gifД) y = π + 2 x

8) Известно, что y = f ( x ) возрастает на множестве действительных чисел. Укажите верное неравенство.

А) f (5) > f ( 5 ) Б) f ( −5 )f ( 5 )

В) hello_html_6ebf1eac.gif Г) hello_html_m2e682e2e.gif

9) Найдите нули функции y = −3 x + 2

А) 0,5 Б) В) 1,5 Г) −2 Д) 0

10) На каком из рисунков изображен график четной функции?

hello_html_m7887ad2f.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_m7b583458.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_m610bd9f1.gifhello_html_13e58604.gif

hello_html_7b531562.gifhello_html_m742a8b0e.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_6820dc64.gifhello_html_m2b5f10d0.gifhello_html_6c07d99a.gif

11) На каком из рисунков изображен график нечетной функции?

hello_html_m1f1d8dab.gifhello_html_m765472eb.gifhello_html_mb4d1220.gifhello_html_m197f947e.gifhello_html_719310dd.gifhello_html_91d9180.gif

hello_html_m6348518a.gifhello_html_3692012b.gifhello_html_2830b575.gifhello_html_m765472eb.gifhello_html_m9087f22.gifhello_html_8b68e17.gif

12) На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , определенный на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, найдите множество решений неравенства f ( x ) > 0 .


Аhello_html_m5e8f64ea.gif) (−1 ; 3 )

Бhello_html_m765472eb.gif) (−3 ; 2 )

В) hello_html_56b61a45.gif

Г) hello_html_m392cfbdd.gif

hello_html_mbc0c8b8.gif






Ответы к тестовым заданиям

1) Г 5) В 9) Б

2) Б 6) В 10) Б

3) А 7) А 11) В

4) Г 8) В 12) Г


2) Работа в группах

Учитель объединяет учащихся в группы: I группа – парты 1, 3, 5; II группа – парты 2, 4, 6. I группа – «художники»; II группа – «аналитики». Группы получают задания.



Задание для «художников»

Начертите эскиз графика функции, используя следующие сведения об этой функции: f ( x )нечетная функция; нули функции x = −6 ; x = 0; x = …; наименьшее значение функции равное2 достигается при x =−3. При x = 3 достигается наибольшее значение, равное Функция убывает на промежутках [ −8 ; −3 ] и …; возрастает на промежутке [ −3 ;…].
f (8 ) = 1. Область определения функции: hello_html_m3407125f.gif
Множество значений функции:
hello_html_mf85fc00.gif .


Задание для «аналитиков»

По графику функции, представленному на рисунке, полностью опишите ее свойства.

hello_html_5b38efb2.gifhello_html_m765472eb.gifhello_html_m755e4426.gif


Во время работы групп учитель консультирует учеников, отвечает на вопросы, которые у них возникают.

Группы выделяют представителей для презентации решения заданий у доски.

Учащиеся записывают в тетрадях оба задания.


Решение задания «художников»

hello_html_34932a65.gifhello_html_m22f94a9.gifhello_html_75e9e092.gif


Решение задания «аналитиков»

Область определения функции: D ( f ) = [−6 ; 6 ].

Множество значений функции: E ( f ) = [−2 ; 4 ].

Функция является четной, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат. Нули функции: hello_html_m5c8ea368.gif .

Функция возрастает на промежутке [ −4 ; −2 ] ; [ 0 ; 2 ] ; [ 4 ; 6 ].

Функция убывает на промежутке [ −6 ; −4 ] ; [−2 ; 0 ] ; [ 2 ; 4 ] .

Промежутки знакопостоянства: y > 0 при

hello_html_2185c160.gif; y < 0 при

hello_html_4e2e4ac8.gif.

Наибольшее значение функции равно 4 при x = −6 и x = 6.

Наименьшее значение функции равно −2 при x = −4 x = 4.


В то время, как представители команд у доски готовятся к ответу, учитель предлагает учащимся класса устные упражнения.


3) Решение устных упражнений на геометрическое преобразование графиков функций

  1. График какой функции изображен на рисунке?

А) y = x2 + 3

Б) y = x23

В) y = −x2 + 3

Г) y = −x23

hello_html_m5573cca9.gifhello_html_4e32efb6.gifhello_html_m3dc929a4.gif

  1. График какой функции изображен на рисунке?

hello_html_392d8f09.gifhello_html_4e32efb6.gifhello_html_m700d1775.gif

А) hello_html_m433c42f.gif

Б) hello_html_3689fcc3.gif

В) hello_html_m18e28e27.gif

Г) hello_html_m70dabd79.gif


3) Как надо перенести параллельно график функции hello_html_7e4434d2.gif , чтобы получить график функции hello_html_27285790.gif ?

А) на 4 единицы вверх;

Б) на 4 единицы вниз;

В) на 4 единицы вправо;

Г) на 4 единицы влево.

4) График функции y = x2 отобразили симметрично относительно оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. График какой функции получили?

А) y = −( x2 + 2 ) В) y = (x − 2 )2

Б) y = −x2 + 2 Г) y = −( x2 )2


5) На рисунке изображен эскиз графика функции y = f ( x ) .Укажите эскиз функции графика y = f ( x + 2 ) .

hello_html_77559e1a.gifhello_html_m4d631219.gif


hello_html_m3489aaec.gifhello_html_m266774d2.gifhello_html_m48f47270.gifhello_html_6a5f56ec.gif


hello_html_m4a8a8d0.gifhello_html_m771f0426.gifhello_html_m48f47270.gifhello_html_m3cea54fb.gif


  1. Среди приведенных графиков определите график функции

y = −( x − 1 )2

hello_html_m1edc5d17.gifhello_html_35c6291.gifhello_html_35c6291.gifhello_html_670ce796.gifhello_html_670ce796.gifhello_html_74433b44.gif

hello_html_3a2ca391.gifhello_html_35c6291.gifhello_html_35c6291.gifhello_html_670ce796.gifhello_html_670ce796.gifhello_html_m59859fb2.gif

7) График функции hello_html_1779223b.gif параллельно перенесли на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. График какой функции получили?


А) hello_html_m5ef2ba12.gif В) hello_html_m3c6b8c0a.gif

Б) hello_html_4a6407cb.gif Г) hello_html_28fd31d3.gif


Ответы к устным упражнениям

1) В 2) Б 3) В 4) Б

5) А 6) Б 7) А


4) Решение письменных упражнений

Дидактический материал: А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонский; Е.М.Рабинович; М.С. Якир «Алгебра и начала анализа 10. сборник задач и контрольных работ»; Харьков; «Гимназия»; 2010: В – 1 № 19 ( 2 ) ; № 20 ( 2 ).

В – 1 № 19 ( 2 )

Постройте график функции; укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции:

hello_html_m5ce49847.gif

Решение

1) f ( x ) =−2 x3 ; x ≤ −4

x

-5

-4

f(x)

7

5


2) f ( x ) = x2 + 2 x −3 ; −4 < x < 2

x

-3

-2

-1

0

1

f(x)

0

-3

-4

-3

0


3) f (x ) = 5 ; x2

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m689f4151.gifhello_html_b2fcc0c.gif hello_html_m63caa819.gif

Функция f ( x ) убывает на промежутке hello_html_m5ff7da6a.gif .

Функция f ( x ) возрастает на промежутке hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_35291299.gif .

В – 1 № 20 (2 )

Найдите область определения функции и постройте ее график:

hello_html_737d7a1e.gif

Решение

hello_html_737d7a1e.gif

x25 x ≠ 0 ; x ( x5 )0 ; x0 ; x5

hello_html_m734f1c79.gif

hello_html_12fab783.gif

Значит, надо построить график функции hello_html_61d916c9.gif на области определения hello_html_m1afccc9f.gif

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f( x )

-1

-1

-2

-4

4

2

1⅓

1


hello_html_m55daeb9.gifhello_html_m12edb01.gifhello_html_41b6db29.gif


5. «Мозговой штурм»

После оглашения условия задания, которое необходимо решить, учитель предлагает всем высказать свои идеи, комментарии, пути решения. Все предложения записываются на доске в порядке их оглашения без комментариев или вопросов. После обговариваются и оцениваются предложенные идеи. Учащиеся записывают в тетрадях решение задания.

Задание На рисунке изображен график функции y = a x2 + bx + c.

Определите знаки параметров a , b , c .


hello_html_7d191ad1.gifhello_html_m2c915b91.gifhello_html_249a21f5.gif

Решение

Так как ветви параболы направлены вниз, то a < 0 . Поскольку
y (0 ) = c , то из рисунка видно, что с > 0 . Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле: hello_html_m3e2f17af.gif ; b > 0 ; b < 0 .

Значит, a < 0 , b < 0 , c > 0 .

Ответ: a < 0 , b < 0 , c > 0 .

6. Дополнительное задание

При каком наименьшем целом значении m функция
y = 7m x + 6 20 x является возрастающей?

Решение

y = 7m x + 620 x ;

hello_html_m53d4ecad.gify = (7m20) x + 6 это линейная функция. Она будет строго возрастающей в своей области определения, если 7m20 > 0 ;

7 m > 20 ; hello_html_40bd730.gif ; hello_html_m1be8a672.gif .

Значит, m = 3 − наименьшее целое значение, при котором данная функция является возрастающей.

Ответ: при m = 3 .


VI Итог уроков

Учитель задает классу вопросы.

  1. Понравилась ли вам форма проведения урока?

  2. Была ли ваша работа на уроке продуктивной?

  3. Удалось ли вам заполнить пробелы в знаниях?

  4. Достигнута ли цель урока?

  5. На какие моменты нужно обратить внимание при подготовке к контрольной работе?


VII Домашнее задание

По сборнику из В–3 № 13 ( 16 ; 17 ; 19 ) ; 15 ( 3 ; 4 ) ; 19 ( 2 ) ;

20 ( 2 ) .


hello_html_m53d4ecad.gif




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров360
Номер материала ДВ-066210
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх