Урок математики Урок № 1, 2 Тема урока: Функции, их свойства и графики

Урок № 1, 2

Тема урока: Функции, их свойства и графики

Цели урока.

1.     Обобщить и систематизировать материал вышеуказанной темы; совершенствовать умения учащихся определять свойства функции по ее графику; совершенствовать умения и навыки учащихся строить графики функций; развивать графическую культуру учащихся.

2.     Продолжить работу над формированием математической речи, логического мышления, развития творческих способностей учащихся.

3.     Воспитывать уважительное отношение к общечеловеческим ценностям. Продолжить работу над формированием гуманных отношений на уроке.

Наглядные пособия: мультимедийная доска.

Ход  урока

I  Организационный момент.

II  Проверка домашнего задания.

На доске изображено решение номеров, заданных на дом. Учитель комментирует это решение. Учащиеся проверяют выполнение домашних упражнений.

В-3    № 14 ( 1 – 4 )

Найдите область значения функции.

1)

Составим уравнение .

Оно равносильно уравнению   , которое имеет решение, если   a – 9 ≥ 0,   т.е. при   a ≥ 9 . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 9 ; +∞ ) .

2).

Составим уравнение   x² + 3 = a .

Оно равносильно уравнению  x² + 3 = a  , которое имеет решения, если   
a – 3 ≥ 0  , т.е. при  a ≥ 3 . . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 3 ; +∞ ) .

3).

Построим график функции               

По графику видно, что
 E (g) = (−∞ ; 7 ]

4) φ (x)= 3 + 4 x + x²

Составим уравнение   3 + 4 x + x² = a .

Оно равносильно уравнению  x² + 4 x + ( 3 – a ) = 0  которое имеет решение при  D ≥ 0 .

D = 4² −- 4 · 1 · ( 3 – a )  =  16 – 12 + 4 a  =  4 + 4 a ;

4 + 4 a ≥ 0  ;                  4 a ≥ -4  ;            a ≥ −1 .

Значит,    E (φ) = [ −1 ; +∞).

В - 3          №24 ( 1 – 5 ; 8 )

Является ли четной или нечетной функция?

1).   

D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

  

Значит,  f ( x )  – четная функция.

2). 

  D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ) .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

f ( −-x ) ≠ f ( x )  ;     f ( x ) ≠ −- f ( x ) .

значит,  f ( x )  не является ни четной, ни нечетной функцией.

3).  

x² − 16 ≠ 0  ;    |x| ≠ 4  ; x₁ ≠ −4  ;        x₂ ≠ 4  .

 

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

 

Значит,   f (x )  четная функция.

4).   

3 − |x| ≥ 0   ;             |x| ≤ 3  ;           −3 ≤ x ≤ 3 .

Следовательно, D ( f ) = [−3 ; 3] .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

 

Значит,  f (x )  четная функция.

5). 

D ( f ) = (−∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

Значит,  f (x ) нечетная функция.

8).     

 

  f ( x ) = 16x  ;         D ( f ) = (−∞ ;+∞).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

f (−x ) = 16 ∙ (−x ) = −16x = −f ( x ) .

Значит,  f (x ) нечетная функция.

В-3    № 16 ( 7 )

 

На рисунке изображен график функции  y = f ( x )  , определенной на промежутке  [−5 ; 4 ]. Пользуясь графиком, найдите количество корней уравнения  f ( x ) = a  в зависимости от значения  a.

Решение

а)  При  а = −3 ;            уравнение имеет один корень.

б)  При  a = 1,5 ;          уравнение имеет два корня.

в)  При   уравнение имеет три корня.

г)  При   уравнение корней не имеет.

III  Мотивация учебной деятельности учащихся.

Учитель напоминает учащимся, что с понятием функции и свойствами функции они познакомились в курсе алгебры. Эта тема является важной и в курсе начал анализа. На уроках в 10 классе учащиеся расширили и углубили знания о функциях. Сегодня на уроках учащимся предстоит обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Функции, их свойства и графики»; подготовиться к контрольной работе.

Учитель предлагает каждому из учащихся, соответственно с целью уроков, поставить свои цели, над достижением которых они будут трудиться.

IV  Обобщение и систематизация знаний.

Разминка.  Учитель разбивает класс на три команды: I ряд – первая команда; II ряд – вторая команда; III ряд – третья команда. Представители команд, поочередно, задают другим командам вопросы по теории, подготовленные заранее.

V  Обобщение и систематизация умений и навыков.

1. На доске изображены задания теста-диагностики. Учащиеся в тетради записывают ответы. Затем на доске появляются правильные ответы. Учащиеся выполняют проверку.

Тест

1). Укажите значение функции   y = −x² + 2  , если  x = 2.

А)  8            Б)  5                   В)  −5                 Г)  −2                 Д)  7

2). Функция задана формулой  f ( x ) – x² + 4 x  .

Найдите все значения  x , для которых  f ( x ) = 5  .

А)  0            Б)  −5; 1             В)  −1                 Г)  1                    Д)  −5

3). Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел?

А)    Б)  В)     Г)

4). У какой из приведенных функций область определения совпадает с множеством значений?

А)  y = x²              Б)     В)       Г)

5). Укажите функцию, график которой проходит через точку  A (2 ; 1) 

А)  y = x + 1                Б) y = x²                                       В)  y = x³ − 7   Г) y = 4 − x²           Д)  

6). Укажите эскиз графика функции  y = x² + a x + b ,
 если  a² − 4 b > 0 .

             

            

7) Какая из приведенных функций является строго убывающей в своей области определения?

А)  y = π − 2 x             Б)  y = x² + 2 x                 В)  

Г)                         Д)  y = π + 2 x  

8) Известно, что  y = f ( x )  возрастает на множестве действительных чисел. Укажите верное неравенство.

А)  f ( −5) > f ( 5 )                             Б)  f ( −5 ) ≤  f ( 5 )

В)                                Г)

9)  Найдите нули функции    y = −3 x + 2

А)  0,5         Б)  ⅔              В)  1,5             Г)  −2      Д)  0

10) На каком из рисунков изображен график четной функции?

  

 

11) На каком из рисунков изображен график нечетной функции?

 

12) На рисунке изображен график функции  y = f ( x ) , определенный на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, найдите множество решений неравенства   f ( x ) > 0 .

А)  (−1 ; 3 )

Б) (−3 ; 2 )

В)

Г)

 

Ответы к тестовым заданиям

1) Г                                   5) В                              9) Б

2) Б                                   6) В                              10) Б

3) А                                   7) А                              11) В

4) Г                                   8) В                              12) Г

2) Работа в группах

Учитель объединяет учащихся в группы: I группа – парты 1, 3, 5; II группа – парты 2, 4, 6. I группа – «художники»; II группа – «аналитики». Группы получают задания.

Задание для «художников»

Начертите эскиз графика функции, используя следующие сведения об этой функции:  f ( x ) – нечетная функция; нули функции  x = −6 ; x = 0;    x = …; наименьшее значение функции равное  −2  достигается при  x =−3. При  x = 3  достигается наибольшее значение, равное …  Функция убывает на промежутках   [ −8 ; −3 ]  и …; возрастает на промежутке  [ −3 ;…].  
f ( −8 ) = 1. Область определения функции:    
Множество значений функции:    .

Задание для «аналитиков»

По графику функции, представленному на рисунке, полностью опишите ее свойства.

Во время работы групп учитель консультирует учеников, отвечает на вопросы, которые у них возникают.

Группы выделяют представителей для презентации решения заданий у доски.

Учащиеся записывают в тетрадях оба задания.

Решение  задания  «художников»

Решение  задания  «аналитиков»

Область определения функции:  D ( f ) = [−6 ; 6 ].

Множество значений функции:  E ( f ) = [−2 ; 4 ].

Функция является четной, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат. Нули функции:   .

Функция возрастает на промежутке  [ −4 ; −2 ] ; [ 0 ; 2 ] ; [ 4 ; 6 ].

Функция убывает на промежутке  [ −6 ; −4 ] ; [−2 ; 0 ] ; [ 2 ; 4 ] .

Промежутки знакопостоянства:  y > 0  при

  ;   y < 0  при

  .

Наибольшее значение функции равно  4  при  x = −6  и  x = 6.

Наименьшее значение функции равно  −2  при  x = −4   x = 4.

В то время, как представители команд у доски готовятся к ответу, учитель предлагает учащимся класса устные упражнения.

3)  Решение устных упражнений на геометрическое преобразование графиков функций

1)   График какой функции изображен на рисунке? 

А)  y = x² + 3

Б)  y = x² – 3

В)  y = −x² + 3

Г)  y = −x² − 3

2)   График какой функции изображен на рисунке? 

А)    

Б)    

В)    

Г)    

3)  Как надо перенести параллельно график функции    , чтобы получить график функции     ?

А)   на 4 единицы вверх;

Б)   на 4  единицы вниз; 

В)  на 4 единицы вправо; 

Г)  на 4 единицы влево. 

4)  График функции  y = x²   отобразили симметрично относительно оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. График какой функции получили?

А)  y = −( x² + 2 )                        В)  y = (−x − 2 )²   

Б)  y = −x² + 2                              Г)  y = −( x − 2 )²    

5)   На рисунке изображен эскиз графика функции   y = f ( x )  .Укажите эскиз функции графика    y = f ( x + 2 ) .

6)     Среди приведенных графиков определите график функции 

y = −( x − 1 )² 

7)  График функции     параллельно перенесли на 4 единицы влево вдоль оси  абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. График какой функции получили?

А)                      В)    

Б)                      Г)    

Ответы к устным упражнениям

1) В                     2) Б                     3) В                     4) Б

5) А                     6) Б                     7) А

4)   Решение письменных упражнений

Дидактический материал: А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонский;  Е.М.Рабинович; М.С. Якир «Алгебра и начала анализа 10. сборник задач и контрольных работ»; Харьков; «Гимназия»; 2010: В – 1 № 19 ( 2 ) ; № 20 ( 2 ).

В – 1   № 19 ( 2 )

Постройте график функции; укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции:

 

Решение

1) f ( x ) =−2 x −3  ;                x ≤ −4 

x	-5	-4
f(x)	7	5

2) f ( x ) = x² + 2 x −3   ;          −4 < x < 2 

x	-3	-2	-1	0	1
f(x)	0	-3	-4	-3	0

3) f (x ) = 5  ;                            x ≥ 2 

 

Функция  f  ( x )  убывает на промежутке   .

Функция  f ( x )  возрастает на промежутке   .

В – 1   № 20 (2 )

Найдите область определения функции и постройте ее график:

 

Решение

x² −5 x ≠ 0 ;             x ( x −5 ) ≠ 0 ;        x ≠ 0 ;             x ≠ 5 

 

 

Значит, надо построить график функции      на области определения    

x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
f( x )	-1	-1⅓	-2	-4	4	2	1⅓	1

5.   «Мозговой штурм»

После оглашения условия задания, которое необходимо решить, учитель предлагает всем высказать свои идеи, комментарии, пути решения. Все предложения записываются на доске в порядке их оглашения без комментариев или вопросов. После обговариваются и оцениваются предложенные идеи. Учащиеся записывают в тетрадях решение задания.

Задание    На рисунке изображен график функции   y = a x² + bx + c.

Определите знаки параметров   a , b , c .

Решение

Так как ветви параболы направлены вниз, то   a < 0 . Поскольку 
y (0 ) = c  , то из рисунка видно, что   с > 0 . Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:    ;         −b > 0 ;            b < 0  .

Значит,   a < 0 ,     b < 0  ,    c > 0 .

Ответ:   a < 0 ,    b < 0 ,     c > 0 .

6.   Дополнительное   задание

При каком наименьшем целом значении  m  функция 
y = 7m x + 6 − 20 x  является возрастающей?

Решение

y = 7m x + 6 − 20 x ;

y = (7m − 20) x + 6   − это линейная функция. Она будет строго возрастающей в своей области определения, если   7m − 20 > 0 ;

7 m > 20 ;           ;                  .

Значит,  m = 3  − наименьшее целое значение, при котором данная функция является возрастающей.

Ответ:   при    m = 3 .

VI  Итог уроков

Учитель задает классу вопросы.

1.     Понравилась ли вам форма проведения урока?

2.     Была ли ваша работа на уроке продуктивной?

3.     Удалось ли вам заполнить пробелы в знаниях?

4.     Достигнута ли цель урока?

5.     На какие моменты нужно обратить внимание при подготовке к контрольной работе?

VII  Домашнее  задание

По сборнику из  В–3  № 13 ( 16 ; 17 ; 19 ) ; № 15 ( 3 ; 4 ) ; № 19 ( 2 ) ;  

№ 20 ( 2 ) .