Урок на тему "Физический смысл производной"

Тема занятия: Физический смысл производной.

Преподаватель: Борисова Елена Владимировна

Тип занятия: знакомство с новой информацией

Цели (образовательные): Узнать физический смысл производной. Научиться решать практические задачи

Цели (развивающие): Развитие познавательных умений.

Цели (воспитательные): Развитие интереса к науке.

Ход занятия:

1.       Повторение: определение производной, методы вычисления. (в форме диалога со студентами)

2.       Теоретическая часть: Понятие мгновенной скорости. Вывод физического смысла производной первого и второго порядка.

3.       Самостоятельное решение задач.

4.       Проверка решенных примеров. (в малых группах)

5.       Подведение итогов. (заполняем таблицу)

6.       Домашнее задание.

Физический смысл производной.

Пусть функция s(t) описывает закон движения некоторой точки.  Зафиксируем время t=t₀. Тогда s(t₀) – путь, пройденный за время t₀.

Возьмем tǂt₀ , тогда s(t)-s(t₀)=Δs(t₀) – это путь пройденный за время t-t₀=Δt.

Определение 1. Средняя скорость – это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.    

Определение 2. Мгновенная скорость – это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени

  

Физический смысл производной. Производная функции, характеризующая закон движения точки, есть мгновенная скорость этого движения в указанный момент времени. v(t₀)=s’ (t₀)

Если точка движется неравномерно, скорость получает приращение  Δv.

Ускорение прямолинейного движения точки в данный момент времени есть вторая производная от функции, характеризующей закон движения точки.

№1. Точка движется по закону s(t)=2t³+t²-4. Найти значение скорости в момент t=4.

№2. Точка движется по закону s(t)=6t-t².

В какой момент времени скорость точки окажется равной 0?

№3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону s(t)=3t²+t+4. Найти кинетическую энергию тела через 4 секунды после начала движения.

№4. Точка движется по закону s(t)=3t²-2t+4. Найти скорость и ускорение в момент времени t₀=6 секунд.

№5. Точка массы m движется прямолинейно по закону s(t)=-sin 3t. Найти силу, под действием которой совершается это движение, в момент t =  .

№6. Тело движется по прямой так, что его координата х(t) изменяется по закону x(t)= - t²+10t+2 . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

№7. Закон движения точки по прямой, задается уравнением s(t)=2t²-5t+1. Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.

№8. Материальная точка движется по закону: x(t)= t³−4t²+19t−11

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

№9. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)=(3000+100 t² ) особей. Найти скорость роста популяции:
а) в произвольный момент t,   
б) в момент t = 1 c.

№10. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:    р(t) = t²/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Физика. Кинематика.	v=s’(t)	Скорость – производная от пути
Физика. Электродинамика.	I=q’(t)	Сила тока – производная от заряда
Физика. Электродинамика.	E=-Ф’(t)	Электродвижущая сила – производная магнитного потока
Физика. Термодинамика.	c=Q’(t)	Теплоёмкость – производная от теплоты
Химия.	v=c’(t)	Скорость химической реакции – производная количества вещества
Биология.	v=x’(t)	Скорость изменения численности популяции
Экономика.	П=v’(t)	Производительность труда – производная объёма продукции
География.	y’=ky	Рост численности населения