Урок 2. Некоторые свойства числа фи, или Подражая древним грекам. Спецкурс "Математика Золотого Сечения"

2. Некоторые свойства числа φ, или

Подражая древним грекам

Определение 2. Уравнение φ² + φ – 1 = 0  называется золотым.

Из него следует:

φ² =1 – φ,                              (1)

1 - φ² = φ,                              (2)

φ + φ² = 1,                             (3)

,                              (4)

.                               (5)

Эти свойства имеют геометрические интерпретации.

1) Геометрическая формулировка задачи о золотом сечении отрезка по Евклиду такова: «Данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целым и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке» (рис. 3а и 3б).

Пусть дан отрезок АВ и на нем точка М, такая, что S_AMCD = S_BMNK,  где АМСD – прямоугольник, в котором АD =АВ, а ВМNК – квадрат.

S_AMCD = S_BMNK, то есть АМ·АD = ВМ², или . Так как АВ = АD, то . Точку М на отрезке АВ строим так, как предложено Птолемеем.

Заметим, что если АВ = 1, то ВМ = φ, АМ = 1 – φ, тогда получается, что φ² =1 – φ.

2) Рассмотрим геометрическую иллюстрацию свойства (2) числа φ: 1 - φ² = φ.

Пусть дан единичный отрезок XY, разделенный точкой M в золотом отношении. На нем как на стороне построим квадрат, его площадь равна 1 (рис. 4). Разобьем площадь квадрата на площади А, В и С, как показано на рисунке 4. A = φ², B + C = 1- φ²,  A + C = φ.  A = B (евклидова задача о золотом сечении, рис. 3б), отсюда следует, что A + C = B + C, то есть φ = 1 – φ².

3) φ + φ² = 1. Геометрическая иллюстрация этого свойства числа φ представлена на рисунке 5. На единичном отрезке АВ строим квадрат АВНК. Точка М делит АВ в золотом отношении. МВ = φ. Квадрат МВСТ имеет площадь φ². Площадь прямоугольника МВНР равна φ. По задаче Евклида площади квадрата МВСТ и прямоугольника АМРК равны, поэтому S_MBHP + S_MBCT = S_MBHP +S_AMPK = S_ABHK = 1, то есть φ + φ² = 1.

4) Свойства (4) и (5) числа φ, то есть то, что  или , покажем с помощью пропорциональных отрезков (рис.6).

Пусть ВМ = ВС = 1, АМ = φ и пусть MN ||AC, тогда точка N делит отрезок ВС в золотом отношении. Действительно, , а так как  и ВС = 1, то ВN = φ.

Итак, , или , откуда следует, что  или

Последнее означает, что отрезки длиной 1 и 1 + φ также находятся в золотом отношении.