Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Цели и задачи урока:

1. Сформировать  у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор, слайды,  карточки, тетради, чистые листы для самостоятельной работы, копировальная бумага, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Этап проверки домашнего задания.

1. Проверка домашнего задания у доски. Трое учащихся решают у доски три уравнения (задание выдано на карточках):

√3tg2x + 1 = 0              2cos (π/3 + 3x)- √3 = 0             3cos² – sinx – 1 = 0

( Решение смотри в приложении № 1)

2. Всему классу представляется устный диктант (на слайдах в презентации):

№1

- что называется  arcsin a?

- что называется arccos a?

- чему равен arcsin (-a)?

- назовите формулу нахождения корней уравнения  вида sinx = a?

- чему равен arcos (-a)?

- назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.

         Следить за правильностью ответов, активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.

№2. Вычислите устно:

1) arcsin ½

2) arcos 1/2

3) arccos √3/2

4) arcsin √2/2

№3. Решить уравнения (в тетради, затем устная проверка ответов):

Варианта I	Вариант II
sin x = cos x = -	cos x = sin x = -
sin ( x -  ) = -1	sin ( x +  ) = 1

(Решение смотри в приложении № 2)

Проверка работы, выполненной на доске.  Каждый учащийся комментирует свой решенный пример. Выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили.

3. Самостоятельная работа через проектор на три варианта

(копируется на листочек, который сдается на проверку)

Варианта I 1) 2sinx cosx = 1 2) cos2x – 5 cosx + 1 = 0

Вариант II 1) cos2x – sin 2x = 1 2) 2sin2x – 3sinx – 2 = 0

Вариант III 1) √3tg(6x + 300) +1 = 0 2) 6cos2x – 5sin x – 5 = 0

(Решение смотри в приложении №3.)

III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.

Обращаю внимание на доску (экран), где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагаю учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом можно решить.

cos (4x – 2) = ½;

cos²x – 2cos x = 0;

cos²x – sin²x = 1;

3sin²x – 5sin x – 2 = 0;

2sin x – 3cos x = 0;

(tgx- √3)(2sin x/2 + 1) = 0;

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

Учащиеся внимательно смотрят на доску. Затем поднимают руку, называют уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, карточка с записью названного уравнения убирается с доски. В результате на доске остаются карточки с уравнениями:

2sin x – 3cos x = 0;

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

IV. Этап усвоения новых знаний.

Зачади: дать учащимся понятие однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.

         Называется вид уравнений, оставшихся на доске и предлагается записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений». Включатся проектор, через него проектируется на экран определение однородных  тригонометрических уравнений вида

1)    a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0.

При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a  ≠ 0, b≠  0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.

 Решается уравнение  2sin x – 3cos x = 0, подробно объясняется ход действия.

(Решение смотри в приложении № 4)

         Записывается на доске следующее уравнение:

3sin²x+sinx  cos x=2cos²x

  И с помощью вопросов подключаются учащиеся к активной работе.  Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем если в этом уравнении одночлен аsin²x, если есть, то делим уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству).

2) asin²x + bsinx cosx + c cos²x = 0 где  а0, b0, с0.

Предлагается учащимся по желанию решить у доски это уравнение.

(Решение смотри в приложении № 4).       

3.) Если в однородном уравнении второй степени а = 0 :

 b sin x cos x + c cos² x = 0 (т.е. в уравнении нет одночлена a sin² x), то уравнение решается путем разложения на множители.

b sin x cos x + c cos² x = 0

cos x (b sin x + c cos x) = 0

cos x = 0      или     b sin x + c cos x = 0 |   : cos x0,   x+

x= +     или      b tg x + c = 0

                                   tg x = -

                                       x = -arctg +

Ответ:  +,   arctg = - +

V  Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Задача:  установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида уравнений.

Включается проектор, на экране уравнения.

Определите вид уравнения и укажите способ его решения

а) sin x = 2 cos x                                 г) 1+ 7cos² x + 3 sin²x =0

б) sin x + cos x = 0                        д) sin 3x – cos 3x = 0

в) 4cos 3x + 5 sin 3x =0                     е)  sin x cos x + cos² x = 0

Учащиеся включаются в работу. Называют вид уравнения и объясняют, как его можно решить.

VI Этап  закрепление нового материала

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.

Предлагается учащимся решить на доске уравнения:

а)  sin 3x – cos 3x =0,

      -  = 0,

     tg3x =1,  

      tg3x = ,

      3x = ,

      x= + .

Ответ:  + .

б) 2sin x + cosx = 2,

(Уравнение решается с объяснением)

22sincos + cos² - sin² = 2 sin²+2 cos^2,

4sincos - cos² - 3sin² = 0   |  : cos²   0

4 tg - 1 -3tg²  =0,

3tg²  - 4 tg +1 =0 ,            tg = t    

3t² – 4t + 1 = 0,

Д = 16 - 12 =4 ,        t_1,2 =  ,   

                        

Ответ:   2arctg

VII Этап информации учащихся о домашнем задании

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Еще раз повторяем способы решения однородных тригонометрических уравнений.

1.   Упр № 169(в,г) № 170 (в,г) выполнить всем

2. Подготовить сообщение об истории развития тригонометрии (2 учащихся )

3. Прикладная направленность тригонометрии (подготовить задачи геометрические и физические и решить их) 2 учащихся

VIII Этап всесторонней проверки знаний

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.

Учащимся предлагается выполнить письменную работу ( записана на доске)

Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку.

Вариант I                               Вариант II                           Вариант III

cos2x +sin 2x =0              1+7cos²x = 3 sin²x               4sin² - 3 =2sincos

( Решение смотри в приложении № 5)

По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся. Затем решения выкладываются на стол и учащиеся могут убедиться в правильности или в неправильности своего решения.

IX Подведение итога урока.

Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных тригонометрических уравнений.

1) Вопросы:

- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?

- Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?

- Как решаются эти уравнения?

- Как решаются однородные уравнения второй степени, если в нем нет одночлена  sin²x?

2) Затем отмечается хорошая работа одних, недостаточная работа (активность) других учащихся, выставляются оценки за работу у доски, за устные ответы.

После урока проверяются листочки, на которых решались уравнения, и листочки, на которых проверялись решения однородных уравнений и делаются соответствующие выводы.