Урок по алгебре на тему "Линейные уравнения с параметрами"

Тема:Линейные уравнения с параметрами.

Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой.

Уравнение с параметром – это краткая запись бесконечного семейства уравнений. Каждое из уравнений семейства получается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но, тем не менее, каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств.

Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит и в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

При решении линейных уравнений с параметрами качественное изменение происходит при переходе коэффициента a через нуль. То есть контрольными значениями будут те значения коэффициента при переменной x, при которых он обращается в нуль, так как при таких значениях невозможно деление на коэффициент при x (а при иных значениях параметра такое деление возможно); следовательно, меняется процедура решения уравнения, в этом и состоит качественное изменениеуравнения.

Рассмотрим следующие примеры.

Решить уравнение: (a2-1)x = a2-3a+2.

Решение. Это уравнение является линейным относительно переменной x, значит, здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в 0. То есть рассмотрим случаи a2-1=0 и a2-10 (удобнее разложить обе части уравнения на множители, привести к виду (a-1)(a+1)x = (a-1)(a-2))

При a = 1 заданное уравнение принимает вид 0*x=0, значит x-любое действительное число.

При а = -1 заданное уравнение принимает вид 0*х=6, значит корней нет.

При а 1 можно разделить обе части уравнения на а2-10:

х =

х =

Ответ: при а = 1, х – любое действительное число; при а = -1 нет корней; при а 1, х = 

Рассмотрим некоторые уравнения, приводимые к линейным уравнениям. Увидеть при первом взгляде на уравнение, что его можно привести к линейному уравнению, нельзя. После преобразований появляется уравнение, которое не имеет переменных в степенях выше первой.

Решите уравнение: 

Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b-1)(x+3)0, то есть b1, x-3.

Умножив обе чести уравнения на (b-1)(x+3)0, получаем уравнение:

3bx-5+(3b-11)(x+3) = (2x+7)(b-1),

(4b – 9)x = 31-2b.

Это уравнение является линейным относительно переменной х.

При 4b-9=0, то есть b=2,25 уравнение принимает вид:0*х = 26,5.

При 4b-90, то есть b2,25 корень уравнения х =

Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение x равно -3.

Таким образом, при b1, b2,25, b-0,4 уравнение имеет единственный корень x =

Ответ: при b1, b2,25, b-0,4 х =; при b = 2,25, b = -0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Домашняя работа № 1

Решить уравнения с параметром:

1.  -  = ;

2. m + 2 + ;

3. 

4. ;

5.