Урок по геометрии на тему "Конус" (11 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия № 7 города Буденновска

Буденновского района»

Урок  по геометрии

 «Конус»

11б класс

19 октября 2015 года

Подготовила

учитель математики

Бородина Нина Петровна

2015 год

Цель: формирование  навыков решения практических задач по теме

Задачи:

Образовательная: сформировать  понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов; формировать навыки решения задач на нахождение элементов конуса, навыки  использования  формул вычисления боковой и полной поверхности конуса, навыки решения прикладных задач; показать связь теории с практикой

Развивающая: способствовать  развитию логического мышления учащихся и расширению кругозора; развивать пространственное воображение учащихся, умение применять формулы планиметрии  при решении стереометрических задач; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации; развивать грамотную математическую речь, навыки самоконтроля.

Воспитательная: воспитывать аккуратность при оформлении работ в тетрадях, ответственность за результат своего труда; формировать навыки и умения  коммуникативного общения.

Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор, экран, аудиоколонки, классная доска, учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян,  рабочая тетрадь, чертёжные инструменты, ресурсы Интерната, USB-модем

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, диалог, работа с материалами слайда, учебника; самостоятельная  и исследовательская работа.

Методы: наглядный, словесный, условно-символический, исследовательский.

Приложение: слайдовая презентация в программе PowerPoint

Девиз урока:      «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Цитаты урока:   «Изучение геометрии без должной связи с жизнью,                       

                               без наглядности   мешает   развитию   логического

                              мышления;  снижает   уровень математической

                              подготовки  учащихся».

                                                                                                                   А.И.Маркушевич

Ожидаемые результаты:

должны знать:

·         основные понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов,

·         формулы и методы для нахождения основных компонентов конуса,

·         формулы  площади боковой и полной поверхности  конуса;

должны уметь:

·         строить чертежи по условию задачи,

·         решать практические задачи на нахождение элементов конуса,

·         видеть фигуры вращения.

·          

1 этап: Организационный.

2 этап: Повторение. Подготовка учащихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ. Устное решение задач В3 из материалов типовых тестовых заданий.

(Закрепление  навыков нахождения площадей геометрических фигур.

С целью организации самопроверки на слайдах приводятся решения заданий)

1. Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Ответ: 9)(см. слайд 2)

Решение:  Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно

2. Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Ответ: 7,5)(см. слайд 3)

Решение:  Разобьем данный  ΔABC на два треугольника ABDи BDC. Их общая сторона BD = 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь ΔABD равна 1,5, а площадь ΔBDC равна 6. Площадь ΔABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5

3. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты   (1, 1),   (4, 4),   (5, 1). (Ответ: 6)       (см. слайд 4)

Решение: из вершины B ΔABC опустим высоту BH= 3. Сторона AC= 4. Следовательно, площадь треугольника равна 6

3 этап: Определение темы урока. Постановка задач

Учитель: Назовите тему урока, разгадав ребус.

                                                                            (см. слайды 5-6)

4 этап: Теоретический опрос.

По материалам учебника «Понятие конуса» и «Площадь поверхности конуса»

(с целью проверки усвоения теоретических понятий)

Учитель: Ребята, а вы знаете, что латинское слово «conus» заимствовано из греческого языка (konos -  втулка, сосновая шишка)… С конусом люди знакомы с глубокой древности.  В книге Архимеда (287 – 212гг. до н.э. «О методе» приводятся решения практических  задач, связанных с конусом.

            А исследование свойств конуса принадлежит  школе Платона (428 – 348 гг. до н.э.), над входом которой было написано: «Пусть сюда  не входит  никто,  не знающий геометрии».    (см. слайд 7)

Подробнее о конусе из видеоролика  (лекция «Конус»: что называется конусом; что такое коническая поверхность; пример конической поверхности,  и что называется  круговым конусом). (Просмотр видеоролика- 2минуты 26 секунд)

Учитель:

Ребята, ответьте, пожалуйста, на вопросы из слайда :

1. Что называется конусом?

2. Что такое образующая?

3. Что называется радиусом конуса?

4. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?

5.  Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?

6. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания?

7. Что является развёрткой конуса?

8. Чему равна площадь боковой поверхности конуса? (см. слайд 8-9)

(На слайдах приводится наглядная интерпретация, с целью развития навыков самоконтроля и формирования пространственных представлений учащихся)

9. Почему цилиндр и конус называют телами вращения? (см. слайд 10)

Учитель:

Познакомится  с алгоритмом  построения, рассмотреть трехмерное изображение  конуса можно на страницах Интернета

http://www.youtube.com/watch?v=DGn6fXsHQx0 (просмотр 1 минута 16 сек)

Или пройдя по ссылке  http://www.youtube.com/watch?v=aY1uVp4EoRI

http://www.youtube.com/watch?v=o1LGLUcU5O0 (см. слайд 11)

5 этап:   Знакомство   с практическим применением.

Учитель:

Конус можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой.

В детстве многие ваши игрушки, или их составляющие  имели форму конуса… А как часто его  можно встретить в природе. (см. слайды 12-19)

«Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги,

треугольники и иные геометрические  фигуры»           

                                                            Г. Гильберт

Учитель:

Это формы деревьев, рельеф земной поверхности: горы и холмы. Их можно найти и на дне океана.  «Конусами» называется семейство морских моллюсков. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

 Формы конуса могут принимать и  природные явления, и космические объекты.                                                                                               (см. слайды 20-24)

А без конусов архитектурные сооружения не были бы так привлекательны и великолепны!                                                                                        (см лайды 25-30)

6 этап:   Выполнение среза (самостоятельной) работы.

(с целью проверки усвоения теоретических понятий)

Учитель: Проверим ваши знания. Ответьте, пожалуйста, письменно в тетрадях  на вопросы:

1. Какое из изображённых тел является конусом?

2.Ответы запишите в столбик. Из первых букв составьте слово:

·         Фигура, полученная при поперечном сечении конуса?

·         Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания?

·         Имеет ли конус центр симметрии?

·         Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию?

·         Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?(см слайды31-32)

Учитель: Теперь попрошу вас обменяться тетрадями и проверить работу друга по слайду. Каковы результаты?                                                                (см.слайд 33)

7 этап:   Решение задач по готовым чертежам.

(с целью формирования навыков решения задач на нахождение элементов конуса, используя знания и навыки решения прямоугольных и равнобедренных треугольников)

Задача №1.Найти радиус и высоту конуса, если его образующая равна а, а угол при вершине составляет 90°.   

Решение:  По свойству равнобедренного треугольника высота является  медианой и биссектрисой. Зная, что диагональ квадрата           , а также гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна             находим катеты.    Ответ:R=3, h=3.  (см. слайд 34)

Задача №2.Найти высоту и диаметр основания конуса, если его образующая равна 6, а угол при вершине составляет 120°.   

Решение:  Находим величины острых углов прямоугольного треугольника. По второму свойству прямоугольного треугольника и по Теореме Пифагора находим катеты. Определяем диаметр основания конуса.

Ответ:h=3,  d=                                                                                (см.слайд 35)

8 этап:  Решение практических задач.

Учитель: Понятие «Освещённость» как физическая величина, численно равная световому потоку, падающему на единицу поверхности, известна вам из курса физики. Освещённость прямо пропорциональна силе света источника света. А мы сегодня будем   вычислять площадь освещаемой поверхности.

Задача № 3.  Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°. Определите, какую поверхность освещает фонарь.

Решение:

Освещаемая поверхность – круг, основание конуса. Лампа фонаря – вершина конуса.  Лучи направленные на окружность основания – образующие конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Опустим высоту. Она поделит данный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с острыми углами в 30° и 60°.

Из FOC по второму свойству прямоугольного треугольника находим FC=16 м. По определению тангенса (или по теореме Пифагора) вычисляем ОС=.

   Площадь освещаемой поверхности равна площади основания (круга).

S = πR² = 192π ≈ 603(м²).       Ответ: S= 603 м².            (см. слайд 36)

Задача № 4. Вычислите, сколько  метров гирлянды   понадобится   для украшения  ёлки?   Гирлянды будут висеть под углом 30⁰ при вершине,  высота  елки – 12 м,  а  длина  еловой  ветви  при основании - 5 м.

Решение: Форму елки примем за конус с высотой 12м и радиусом основания – 5 м.

Нити гирлянд закреплены на макушке елки и распределены по боковой поверхности конуса через 30°.

Сколько нитей гирлянд на елке?   360°:30° = 12 (нитей). Как найти длину одной нити?

Она равна образующей конуса.  

Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Из прямоугольного  НВС находим  ВС= 13 см.

Чтобы найти длину всей гирлянды, длину нити умножаем на количество нитей. Длина гирлянды 12·13 =156 (м)    Ответ: 156 м.            (см. слайд 37)

Учитель:

А сейчас представьте туристические палатки. Они могут быть разнообразных форм. Мы сегодня будем решать задачу о палатке-конусе. Решаем её с комментированием.(см. слайд 38)

Задача № 5. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров? 

На подгиб и швы  необходимо добавить 5%.(см. слайд 39)

Дано: конус, h=4 м,  d_осн=6 м

Найти: S_бок=?

Решение: Палатка имеет форму конуса, следовательно, нам необходимо вычислить площадь поверхности конуса. Мы знаем, что S_пол =  S_осн  +  S_бок ,гдеS_бок = πRℓ и S_осн = πR²

            R=d:2 = 6:2 = 3(м)

Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту (медиану) ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника.  Из ВНС по теореме Пифагора найдем образующую,  ВС = 5м.

S_бок=πRℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м²),                                           (см.слайд 40)

S_осн = πR²= 9π ≈ 28,26(м²), 

S_пол =  S_осн  +  S_бок = 75,36 ≈ 75,4(м²)  брезента

Найдем  5% от S_пол,что составит 3,8 м².   Значит S= S_пол+ 3,8 =79,2(м²) 

Ответ: 79,2м²  брезента потребуется для палатки.

Учитель:

Молнии, атмосферные разряды – постоянный и практически повсеместный источник угрозы для человека и его имущества. Это одно из самых разрушительных и устрашающих природных явлений, с которыми повсеместно сталкивается человек. Последствия, в тех случаях, когда в доме нет надежной системы молниезащиты (грозозащиты) – унесенные жизни, разрушенные здания, пожары, выход из строя электропроводки, оборудования и приборов. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000000 жителей.

Молниеотвод («громоотвод») — устройство, устанавливаемое на зданиях и сооружениях и служащее для защиты от удара молнии.  (см слайд 41)

Первый молниеотвод был изобретён Бенджамином Франклином в 1752 году.

    Я предлагаю вам самостоятельно решить следующую задачу. Решите! Сверим ответы.(см.слайды 42-43)

Задача № 5.Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного" круга 15 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60 º

Решение: Поток света от фонаря можно сравнить с конусом. Тогда наша задача сведется к нахождению высоты конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту  ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника.  Из ВНС по определения тангенса имеем tg60°= .    

    Значит ВН = = =≈ 8,5 (м).

Ответ: высота молниеотвода должна быть  не менее 8,5 метров

8 этап:   Подведение итогов.

Учитель: Все вы хорошо поработали. Я попрошу каждого закончить предложение: «Сегодня на уроке  МЫ……»

(Выставление оценок, запись домашнего задания

Д/З п.55-57 № 562,565. )(см.слайд 44)

А урок хочется закончить словами Татьяничевой Л:

Да,  путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше чем разгадок

И поискам предела нет.