Урок по математике для 10 класса "Преобразование тригонометрических выражений (1 часть)"

Дата проведения урока: 28 октября 2015 год.

Тема: Преобразования тригонометрических выражений (1 часть).    КЛАСС 10

Цели урока: разобрать с учащимися методы решения задач на преобразования тригонометрических выражений с помощью тригонометрических формул.

Методы обучения:

1.   Беседа;

2.   Логико-алгоритмический;

3.   Проблемно-поисковый.

Форма урока: урок-практикум

План урока:

1. Организационный момент.
2. Дискуссия.
3. Введение структуры темы на примере базовых задач.
4. Подведение итогов.

Ход урока:

Учитель: Добрый день. Тема сегодняшнего урока «Преобразование тригонометрических выражений». Это первый из уроков-практикумов на эту тему.

Чтобы понять, о чем будет идти речь, давайте попробуем определить понятия, входящие в название темы: преобразования и тригонометрические выражения. Нам предстоит вспомнить всё, что мы уже знаем по понятиям преобразования и тригонометрические выражения, включая формулы и их вывод. Итак, что же такое преобразование в математике?

Ученик: Преобразование - это замена одного выражения другим, тождественно равным. Здесь реакция по ситуации, если говорят, просто замена, то спросить: любым ли способом? Если говорят правильно, то подчеркнуть, что в математике выполняются только тождественные преобразования.

Учитель:  Что такое тождество?

Ученик: дает определение.

Учитель: А как бы Вы определили тригонометрические выражения?

Ученик: отвечает. Учитель обобщает: действительно по аналогии с определениями числовых и буквенных выражений можно сказать, что тригонометрическими выражениями называются выражения, содержащие тригонометрические функции.

Учитель: А тогда, что значит, преобразовать тригонометрическое выражение?

Ученик: Заменить одно тригонометрическое выражение другим, используя тождества.

Учитель: Какие?

Ученик: Видимо, будут справедливы все тождества справедливые для числовых и алгебраических выражений и специальные для тригонометрических выражений.

Учитель: Верно, значит, сегодня будем вспоминать основные тригонометрические тождества, которые позволят нам выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Учитель: Ну а первым условием успешных преобразований будет?

Ученик: Знание основных тождеств.

Учитель: То есть их необходимо прежде всего выучить. А вторым важным условием успешности изучения данной темы будет умение их применять.

Необходимые инструменты - тригонометрические тождества (у Вас в раздаточном материале). Это вам для самостоятельного изучения. В механизмах их применения предлагаю разбираться совместно. Залог успешности - активная работа каждого по осмыслению способов использования указанных тождеств. По ходу урока буду рада ответить на ваши вопросы. Рефлексируйте: можете ли сделать предлагаемые задания уже самостоятельно?

Учитель: Читаем, что такое формулы приведения и правило их применения. (Ученики читают). Итак, для чего же используют формулы приведения?

Ученик: Для преобразования функций со сложным аргументом видаи т.д. или  и т.д., к функции с аргументом .

Учитель: Ну а правило их применения разберем на примерах. Итак, пример 1, слушаю Ваши предложения или вопросы:

1.1. Упростите выражения (при выполнении заданий обращайте внимание на порядок слагаемых внутри аргументов)

нельзя вычислить по формулам приведения

1.2. Вычислите.

а) sin135⁰ =

б) cos390⁰=

в) 1

Учитель: Следующая группа формул позволяет переходить между тригонометрическими функциями одного аргумента. Вспомним их доказательство. Напоминаю: достаточно вспомнить определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Вспомним вывод формул (обсуждают вместе).

Учитель: Скажите, пожалуйста, по данному чертежу, как может получиться 1 основная тригонометрическая формула?

Ученик: , по теореме Пифагора , значит .

Учитель: Посмотрите внимательно на 2 и 3 формулы, и предположите, как они могли получиться.

Ученик: Зная, что тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс наоборот – прилежащего к противолежащему катету, получим:

 (2)                     (3)

Учитель: Вспомним вывод следующего тождества :  

Ученик: перемножив эти равенства, и произведя необходимые сокращения  (4)

Учитель: А теперь вспомним вывод формул (5) и (6) (Учитель в случае необходимости напоминает: попробуем разделить основное тригонометрическое тождество (1) на , что получим?)

Ученик: формулу  (5).

Учитель: Каким же действием получилась последняя формула?

Ученик: делением (1) на ,  (6).

Учитель: Верно.

Учитель: Формулы суммы и разности аргументов имеют достаточно сложный вывод, желающие могут ознакомиться и разобраться с ним в п.24 учебника на стр. 216.

Посмотрите, пожалуйста, внимательно на следующую группу формул: Формулы двойного угла.

Учитель: Как вы думаете, каким образом их можно вывести, исходя уже из рассмотренных формул?

Если дети не догадываются, что это следствия из формул суммы, учитель даёт подсказку, что они получаются при замене угла : . Аналогично, можно получить остальные 2 формулы двойного угла.

Учитель: Посмотрим вывод одной из формул следующей группы, которая позволяет суммы или разности преобразовывать в произведения и наоборот.

Она поучена из формул синуса суммы и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Учитель: Сложим эти формулы, что получим?

Ученик: 2sinαcosβ. sin(α+β)+sin(α–β)=sinα cosβ+sinβ cosα+sinα cosβ–sinβ cosα=2sinαcosβ,

т.е. sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

Нашей задачей является распознавать и применять в каждой конкретной ситуации ту или иную формулу для задач на вычисления и упрощения выражений.

Рассмотрим их применение на примерах.

Учитель в беседе с учащимися разбирает на доске предложенные задачи, ученики активно включаются в деятельность по применению нового материала в конкретных практических задачах через диалог с преподавателем и задают вопросы.

2.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

1.    Упростите выражения:

а)    б)   в)

г)    д)   е)

2.    Вычислите:

а)    , если .

б)   , если .

, 

2.2. Формулы суммы и разности аргументов.

1.                      Вычислите:

а)                      

б)                     

в)                     

г)                      

д)                     

е)                      

2.3. Формулы двойных аргументов.

1.                       Упростите:

а)                      

б)                     

в)                     

2.                       Вычислите:

, если

Усложняем задачу: без подзаголовков названия формул определять и применять необходимую формулу в конкретной ситуации.

Например:

Учитель: Как упростить выражение

Ученик: данная задача не является простейшей, значит, разбиваем ее на этапы решения:

Учитель: Какой этап первый?

Ученик: Преобразуем все углы 35, 84, 145, 6, 21, 50, 40 и 111 через хотя бы 2 угла.

Учитель: Хорошо, давайте пробовать, работаем с числителем, что заметили?

Ученик: 35+145=180, 84+6=90

Учитель: Хорошо, к чему пришли?

Ученик: По формулам приведения сведём числитель только к углам 35⁰ и 84⁰.

Учитель: Как преобразовать знаменатель?

Ученик: По формулам приведения сведём знаменатель только к углам 21⁰ и 50⁰, т.к. 111-21=90 и 50+40=90.

Учитель: Следующий этап?

Ученик: Применить формулы косинус суммы в числителе и синус разности в знаменателе.

Учитель: В знаменателе это сделать можно сразу ,а вот в числителе формула не совсем нужного вида. Можно ли сразу в числителе её применить?

Ученик: Нет, сначала вынести минус за скобку, т.к. произведение синусов должно вычитаться из произведения косинусов.

Учитель: Хорошо, примените эти формулы. Что получилось и какие дальнейшие действия?

Ученик: В числителе снова формула приведения, т.к. 90+29=119.

Учитель: А знаменатель?

Ученик: Там по свойству нечётности функции синус минус выйдет вперёд.

Учитель: Хорошо, доведите решение до ответа.

Ответ:

Учитель: Итак, подведем итог сегодняшнего урока. Проводится беседа с учащимися, во время которой озвучиваются основные виды заданий и группы формул для выполнения тригонометрических преобразований.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся самим найти в задачнике номера, требующие многошагового применения различных тригонометрических формул, и решить их.

Раздаточный материал

Тригонометрические формулы для преобразования тригонометрических выражений.

1.         Формулы приведения:

Если в качестве аргумента тригонометрической функции выступают выражения видаи т.д. или  и т.д., то такие тригонометрические выражения можно привести к более простому виду с аргументом с помощью формул приведения:

1)             Определяем знак новой функции с аргументом  (для этого смотрим, какой знак имела бы преобразуемая функция сложного аргумента, предполагая, что );

2)             Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится аргумент (и т.д.), то название функции не меняется, если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится аргумент () то название функции меняется на кофункцию.

2.                      Основные тригонометрические формулы (1 часть).

2.1.                Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

2.2.                Формулы суммы и разности аргументов.

2.3.                Формулы двойных аргументов.