Урок по математике для 8 класса "Теорема Виета"

Урок по теме "Теорема Виета".

Цель урока: изучить теорему Виета и обратную ей, уметь применять при решении квадратных уравнений.

Тип урока: урок изучения нового.

Этапы урока:

1. Проблема.

 2. Исследование проблемы.

 3. Выводы.

 4. Применение новых знаний.

ХОД УРОКА

1. Устная работа

а) Сформулируйте определение квадратного уравнения.

б) Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?

в) 9х²– 14х + 5 = 0

     х²– 7х + 10 = 0

Укажи коэффициенты a, b, c

 Укажи коэффициенты p, q.

г) Не решая уравнения, попробуй подобрать его корни: х² – 2011х + 2010 = 0.

2. Двух сильных учеников приглашают работать у доски по карточкам.

   1 карточка. Дано: х² + px + q = 0, D> 0, где х₁ и х₂ его корни.

Доказать: х₁ • х₂ = q

2 карточка. Дано: х2 + px + q = 0, D> 0, где х₁ и х₂ его корни.

Доказать: х₁ + х₂ = p

3. Остальные ребята выполняют самостоятельную работу в четыре варианта.

Реши уравнения

Укажи значения p и q

Укажи корни х₁ и х₂

Найди произведение корней х₁ • х₂

Найди сумму корней: х₁ + х₂

I вариант	II вариант	III вариант	IV вариант
х2 – 7х + 12 = 0	х2 + 8х + 15 = 0	х2 + 6х – 7 = 0	х2 – 3х – 10 = 0

4. Результаты исследования заполняются в таблицу.

х2 + pх + q = 0	p	q	Корни х1 ; х2	х1 • х2	х1 + х2
х2 – 7х + 12 = 0	– 7	12	3 и 4	12	7
х2 + 8х + 15 = 0	8	15	– 3 и – 5	15	– 8
х2 + 6х – 7 = 0	6	– 7	1 и – 7	– 7	– 6
х2 – 3х – 10 = 0	– 3	– 10	– 2 и 5	– 10	3

5. Вопрос:

– Какова зависимость корней х₁ и х₂ приведенного квадратного уравнения и его коэффициентов p и q?

6. Вывод:

х₁ • х₂ = q

х₁ + х₂ = – p

Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни. И поможет нам в этом теорема Виета.

7. Сообщаются тема урока и цели урока

8. Формулируется теорема Виета

Если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения

х2 + px + q = 0, то х₁ • х₂ = q, а х₁ + х₂ = – p.        

9. Доказательство теоремы проводят ученики, которые работали по индивидуальным карточкам у доски.

Дано: х2 + px + q = 0, D> 0, где х₁ и х₂ его корни.

Доказать:

х₁ • х₂ = q

х₁ + х₂ = – p

Доказательство:

                                

10. Вывод записываем в тетрадь

х2 + px + q = 0          

aх2 + bx + c = 0        

11. Выполнить закрепление теоремы Виета

I. Выполнить устно

Найдите произведение и сумму корней приведенного квадратного уравнения:

1.      х2 + 41х – 371 = 0

2.      y2 – 37х + 27 = 0

3.      х2 – 210х = 0

4.      y2 – 19 = 0

5.      2х2 – 9х – 10 = 0

6.      5y2 + 12х + 7 = 0

7.      3y2 – 10 = 0  

II. Выполнить письменно

х2 + px + q = 0.

Составить приведенное квадратное уравнение, если х₁ и х₂ корни уравнения:

а) х₁ • х₂ = – 28

     х₁ + х₁ = 2

б) х₁ = 6, х₂ = – 3

    х₁ • х₂ =

    х₁ + х₂ =

в) х₁ = 2, х₁ = – 5

Решение проверить, используя обратную связь.

III. Выполнить устно:

Не решая уравнения, определите знаки корней в уравнениях:

х2 – 5х + 14 = 0

х2 + 5х + 14 = 0

х2 + 5х – 14 = 0

х2 – 5х – 14 = 0

12. Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета.

Если х₁ и х₂ таковы, что

х₁ • х₂ = q

х₁ + х₂ = – p

то х₁ и х₂ являются корнями уравнения х2 + px + q = 0.

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, прочитать дома.

13. Выполнить закрепление теоремы, обратной теореме Виета

I. Выполнить устно.

Подберите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

х2 – 17х – 18 = 0

х2 + 17х – 18 = 0

х2 + 11х + 18 = 0

х2 + 7х – 18 = 0

х2 + 9х + 18 = 0

II. Выполнить самостоятельно.

1. Подбором найти корни уравнения:

х2 – 13х + 36 = 0

х2 + 15х + 36 = 0

х2 – 16х – 36 = 0

2. Составить квадратное уравнение, если

х₁ = – 2, х₁ = 7

х₁ = – 3, х₂ = – 9

Решение проверить, используя обратную связь. Самопроверка, оценивается « + » или « – ».

5 + , оценка 5

 4 + , оценка 4

 3 + , оценка 3

 2 + , незачет.

14. Итого урока

– Сформулируйте теорему Виета.

 – Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

 – В каких случаях применяют указанные теоремы?

Для нахождения корней квадратного уравнения, если корни существуют.

Для определения знаков корней квадратного уравнения, если корни существуют.

Для проверки решения квадратного уравнения, зная его корни.

Для составления приведенного квадратного уравнения, если заданы корни.

15. Домашняя работа

№ 575 (a, в, д, е), № 577, № 586. Отвечать на контрольные вопросы 4, 5 (стр. 125).

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, прочитать.