Урок по математике на тему "Арксинус. Решение уравнения sin t=a"

Комитет по образованию администрации г. Барнаула

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №31»

Урок математики в 10 классе по теме

«Арксинус. Решение уравнения     sin t = а»

                                           Урок разработал:

                                                                     Прибытков Павел Дмитриевич

                                                                                      Учитель математики высшей категории

Барнаул 2013

Цел     1.Учить уч-ся решать простейшие тригонометрические уравнения

                    вида sin t=a;

                2.Прививать навыки самостоятельного решения тригонометрических

                  уравнений;

                3.Продолжить формирование у уч-ся умения оформлять решения

                  тригонометрических уравнений.

Оборудование: интерактивная доска (если есть), задания для программированного контроля, индивидуальные карточки,    карточки (или слайды) для проверки решения тригонометрических уравнений (частные решения).

                               Ход урока.

I.                   Оргмомент.

II.                Устный счёт-проверка знаний учащихся.

К доске приглашаются два ученика с заданиями на карточках (задания: решить уравнения). Остальные уч-ся работают с учителем (задания на слайде).

1.Вычислить:   a)  arcsin 0=                     д) arcsin (- ½)=

                          б) arccos  ½=                   е) arcsin  (-√2/2)=

                          в) arcsin √3¤2=                 ж) arcos  (-1)=

                          г) arccos  Ö2¤2=

2.Запишите правую часть формул

                а) arcsin (-a) =______________

               б) arcсos  (-a) =______________

3.Вставьте пропущенное:

 а) Если êaï£ 1,то уравнение cos t = a имеет решения: t =_____________

б) Уравнение sin t = a имеет решения: t =________________

в) Уравнение sin t = a не имеет решений, если _________________

4. Проверка решений уравнений (заданий по карточкам)

         1 карточка                                                    2. карточка       

sin t = 1        t=π/2+2π n, n Є z                           cos t = -1           t=π+2π n, n Є z                                                                                                                                                                                

sin t = 0             t=πn,n Є z                                       cos t =0             t= π/2+π n, n Є z                                                                                                                                                             sin t = -1           t= -π/2+2π n, n Є z                          cos t = 1            t=2πn, n Є z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       cos t = 1             t=2πn, n Є z                                    sin t = -1           t= -π/2+2π n, n Є z                                                                                                                                                                                                                                                                                         cos t =0              t= π/2+π n, n Є z                             sin t = 0            t=πn,n Є z

cos t =-1             t=π+2π n, n Є z                               sin t = 1            t=π/2+2π n, n Є z                                                                                                                                                                            

(Проверяют учащиеся вместе с учителем)

III.             Решение уравнений

1.Решить уравнения (с разбором)

а) sin t=Ö3¤2;                                                б) sin t = -Ö3¤2;

t =(-1)ⁿarcsin Ö3/2+πn, n Є z;                    t =(-1)ⁿarcsin (-√3/2)+πn, n Є z;

t =(-1)ⁿπ/3+π/n, n Є z .                               t =(-1)ⁿ+¹π/3+πn ,n Є z.                                      

Ответ: (-1)ⁿπ/3+π/n, n Є z.         Ответ: (-1)ⁿ+¹π/3+πn ,n Є z.

2.Решить уравнения (4 чл. у доски, проверка)     

в) sin t =√2/2;                                              г) sin t = 2/5;           

    t = (-1)ⁿarcsin√2/2+πn, n Є z;                    t =(-1)ⁿarcsin2/5+πn, n Є z.

    t =(-1)ⁿπ/4+ π n, n Є z.      

Ответ: (-1)ⁿπ/4+ π n, n Є z.                           Ответ: (-1)ⁿarcsin2/5+πn, n Є z.

д) sin t = -√2/2;                                            е) sin t = √3;

    t =(-1)ⁿarcsin(-√2/2)+πn, n Є z;                 нет решений, т.к. √3 >1.

 t =(-1)ⁿ +¹ π/4+πn, n Є z.                           

Ответ: (-1)ⁿ +¹ π/4+πn, n Є z.                       Ответ: нет решений.

3.Решить уравнения.

а)  2sin²t –5sin t+2=0;

Пусть sin t=x,

тогда  2x²-5x+2=0;

Д=25-16=9;

x=(5±3)/4 ;

é x=2,

ë x=1/2. 

sin t=2      или                              sin t=1/2;               

нет решений, т.к. 2>1.               t =(-1)ⁿarcsin 1/2 +πn, n Є z;

                                                    t =(-1)ⁿπ/6 +πn, n Є z.

Ответ: (-1)ⁿπ/6 +πn, n Є z.

б)   sin 2x =√3/2;

          2x =(-1)ⁿarcsin√3/2+πn, n Є z;

         2x =(-1)ⁿ·π/3+ π n,     n Є z;

          x = (-1)ⁿ·π/6+π n /2,      n Є z.

Ответ: (-1)ⁿ·π/6+π n /2,      n Є z.

в)   sin (x+π/2)=1;                                2 способ) sin(x+π/2) =1;

      x+π/2=π/2+2πR,  R Є z ;                              cos x =1;

      x =2πR,  R Є z.                    x= 2πR, R Є z.

Ответ: 2πR,  R Є z.                    Ответ: 2πR, R Є z.

г)  sin (x –π/6) =-√3/2;

     x-π/6=(-1)ⁿarcsin(-√3/2)+πn,  n Є z;

    x=π/6=(-1)ⁿ+¹ π/3+πn,  n Є z;

    x=π/6+(-1)ⁿ+¹π/3+πn,  n Є z.

Ответ: π/6+(-1)ⁿ+¹π/3+πn,  n Є z.

IV.Программированный контроль навыков решения простейших       

    тригонометрических  уравнений (задания раздаются на карточках, выполняются на  листочках).

а)

Задание		Ответ      (n Є Z)
Вар 1	Вар 2	1	2	3	4
sinx=-1/2	sinx=1/2	(-1)ⁿπ/6+πn	(-1)ⁿπ/6+2πn	(-1)ⁿ+¹ π/6+πn	π/6+2πn
sin2x=√2/2	sin2x=-√2/2	(-1)ⁿπ/8+π n /2	(-1)ⁿ+¹π/8+π n /2	π/8+π n /2	-π/8+π n /2
sin(x-π/3)=-1	sin(x-π/3)=1	-5π/6+2πn	-π/6+2πn	-π/6+πn	5π/6+2πn

 Дополнительная часть:                                                        

б)  2cos x-3 sin x cos x =0;

в) 3cos²x =7 ( sin x+1).

(Листочки собираются, на слайде показываются  ответы)

Ответы:    а)Вариант 1- 312   

                   Вариант 2 - 124

б)   2cos x- 3 sin x cos x =0;

       cos x(2 – 3sin )=0;

       cos x = 0         или              2- 3 sin x = 0;

       cos x = 0;                             sin x =2/3;

        x=π/2+πn, n Є z .                  x=(-1)ⁿarcsin2/3+πn,   n Є z .    

         Ответ: π/2+πn, (-1)ⁿarcsin2/3+πn,   n Є z.

  в) 3cos² x =7 (sin x +1);

      3(1-sin²x)-7sin x-7=0;

      3sin²x-3+7sin x+7=0;   

      3sin²x+7sin x+4=0;

         sin x = t;

         3t²+7t+4=0;

         Д=49-48=1;

          t= (-7±1)/6

           é t=-1,

           ë t=-4/3.

            sin x = -1                          или       sin x = -4/3;

            x =-π/2+2πn, n Є z.                        нет решения,т.к.-4/3<-1.

Ответ: -π/2+2πn, n Є z.

V. Итог урока.

VI. Задание на дом:

                                       1.§16 (повторить);

                                 2.№16.17, №16.19(а), 16.14;

                                 3.№16.19(дополнительно).