Урок по математике на тему «Математический бой на тему: Производная. Геометрический и физический смысл производной»

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ

Тема: «Математический бой на тему: Производная.
Геометрический и физический смысл производной»

Тип урока: урок - КВН.

Класс: 11 класс.

Продолжительность урока: 40 минут.

Цели урока:

1)      выяснение степени усвоения понятия производной функции, правил вычисления производных, таблицы производных элементарных функций;

2)      рассмотреть задачи на геометрические и механические приложения производной;

3)      воспитание интереса к математике.

Оборудование:

1)      интерактивная доска с проектором;

2)      карточки с заданиями,

3)      таблицы по теме «Производная»,

Ход урока:

I.                   Вступительное слово учителя: объявление темы и целей урока. Знакомство учащихся с порядком проведения урока – КВН – соревнования между командами и между учащимися за личное первенство.

II.                Домашнее задание: № 535,537

III.             Конкурс «Читать мысли учителя». Проверка усвоения теоретического материала. Правильный ответ +1 балл, неправильный –1 балл.

1)      определение производной,

2)      определение возрастающей функции,

3)      признак точки максимума,

4)      производная постоянного числа,

5)      тангенс угла наклона,

6)      признак убывающей функции,

7)      определение экстремумов функции.

IV.             Конкурс «Разминка». Решение устных и письменных примеров – вычисление производных функций, на нахождение промежутков монотонности, точек экстремума и экстремумов функции. Правильный ответ +1 балл, неправильный –1 балл.

1)      чтение графика функции (устно) по слайдам

2)      тестовые задания (письменно):

V.                Конкурс «Блицтурнир». Решение устных заданий типа «Что бы это значило?», «Найди ошибку». Ответы по желанию команд. Вопросы на обратной стороне доски.

1). «Что бы это значило?»

                         

		1	(1;5)
	+	0	–
	?	4	?
		?

            За правильный ответ +1 балл.

2). «Найди ошибку».

            За правильный ответ с объяснением +5 баллов.

VI.             Конкурс художников. «Портрет незнакомки».Геометрическое приложение производной.Задание. По свойствам функций нарисовать их графики.

VII.          Подведение итогов: по командам, личному первенству. Выставление оценок.

VIII.       Конкурс любознательных. Исторический материал о происхождении терминов и обозначений по теме «Производная».

Сведения из истории

Термин «производная» является  буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж (1736 – 1813); он же ввел современные обозначения у’, f ’. Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму  функцию – флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как .

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».

• 1 слайд

  «Математический бой на тему:
  Производная.
  Геометрический и физический смысл производной»
  

• 2 слайд

  Определение производной с двумя ошибками
  
  Производной функции y = f(x0) в точке x0 называется предел произведения приращения y функции в точке x0 к приращению x аргумента при стремлении приращения аргумента бесконечности.
  
  

• 3 слайд

  Определение производной
  Производной функции y = f(x0) в точке x0 называется предел отношения приращения y функции в точке x0 к приращению x аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю x  0.
  
  

• 4 слайд

  Первый конкурс
  На слайде представлено 4 правила дифференцирования, причем 3 из них имеют ошибки, задача каждой команды как можно быстрее выявить из них верное и назвать данное правило.
  

• 5 слайд

  Производная суммы (разности)
  Правила дифференцирования
  1)
  
  2)
  
  3)
  
  4)
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  Производная произведения
  Правила дифференцирования
  1)
  
  2)
  
  3)
  
  4)
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Производная частного
  Правила дифференцирования
  
  1)
  
  
  2)
  
  
  3)
  
  
  4)
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  Правила на практике
  

• 9 слайд

  Найдите производные функций:
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  

• 10 слайд

  Найдите производные функций:
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  

• 11 слайд

  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Правильный
  ответ
  Найдите производные функций:
  

• 12 слайд

  Геометрический смысл производной
  

• 13 слайд

  Геометрический смысл
  производной
  

• 14 слайд

  у
  х
  0
  1
  1
  а
  b
  Определите по графику функции у = f (x):
  Чему равен угловой
  коэффициент касательной
  в точке М?
  М
  подсказка
  135о
  2. Чему равна производная
  в точке М ?
  М
  -1
  -1
  0
  0
  М
  3/4
  3/4
  

• 15 слайд

  Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  0
  1
  1
  а
  b
  К графику функции провели все касательные,
  параллельные прямой y = 3 + x (или совпадающие с ней).
  Найдите количество точек графика функции,
  в которых проведены эти касательные.
  решение
  У всех прямых, параллельных прямой y = 3 + x, угловой коэффициент равен 1.
  
  Поэтому найдём, сколько раз производная принимает значение, равное 1.
  Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = 1
  Таких точек ровно 5.
  Ответ: 5
  у
  х
  у = 1
  

• 16 слайд

  решение
  Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  Найдите количество точек графика функции в которых касательные наклонены под углом 135о к положительному направлению оси абсцисс.
  Ответ: 5
  Найдем угловой коэффициент k = tg a:
  tg 135o = -1. Найдём, сколько раз производная принимает значение, равное -1.
  Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = -1
  Таких точек ровно 5.
  у
  х
  0
  1
  1
  а
  b
  у = -1
  

• 17 слайд

  Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  решение
  у
  х
  0
  1
  1
  а
  b
  К графику функции провели все касательные, параллельные прямой у = 4 - 2х (или совпадающие с ней). Найдите наибольшую из точек абсцисс, в которых проведены эти касательные.
  
  
  Ответ: 4
  У всех прямых, параллельных прямой y = 4 -2x, угловой коэффициент равен -2.
  Найдём, в каких абсциссах производная принимает значение, равное -2.
  Для этого найдём точки пересечения графика производной с прямой y = -2
  и выберем точку с наибольшей абсциссой. Это х=4.
  4
  у = -2
  

• 18 слайд

  Физический (механический)
  смысл производной
  

• 19 слайд

  Физический (механический)
  смысл производной
  

• 20 слайд

  Задача
  Материальная точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна
  
  
  Найдите ускорение точки в момент времени t = 3.
  Решение
  Ответ:
  

• 21 слайд

  Признаки возрастания и убывания функции
  

• 22 слайд

  Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  у
  х
  0
  1
  1
  1. Укажите промежутки
  убывания функции.
  2. Укажите промежутки
  возрастания функции.
  5
  3. Определите длину промежутка возрастания функции.
  а
  b
  

• 23 слайд

  Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  у
  х
  0
  1
  1
  b
  а
  1. Укажите промежутки
  убывания функции.
  2. Укажите промежутки
  возрастания функции.
  3. Определите длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой коэффициент?
  6
  

• 24 слайд

  Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  у
  х
  0
  1
  1
  1. Укажите промежутки
  убывания функции.
  2. Укажите промежутки
  возрастания функции.
  3. Определите длину наибольшего промежутка, на котором касательная к графику функции имеет положительный угловой коэффициент?
  
  3
  а
  b
  

• 25 слайд

  Экстремумы функции
  

• 26 слайд

  Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
  на рисунке изображен график ее производной.
  у
  х
  0
  1
  1
  b
  а
  Назовите точки
  максимума функции.
  2. Назовите точки
  минимума функции.
  х = 0
  х = -3; х = 2
  

• 27 слайд

  Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b],
  на рисунке изображен график ее производной.
  у
  х
  0
  1
  1
  b
  а
  Назовите точки
  максимума функции.
  2. Назовите точки
  минимума функции.
  х = -3, х = 2
  х = 1, х = 3
  

• 28 слайд

  Х
  Y
  0
  незнакомки
  

• 29 слайд

  Х
  Y
  0
  1. D(y) = [- 3 ; 4]
  2. E(y) = [- 3 ; 5]
  3. ymin = - 2 при x = 2
  4. ymax = 2 при x = 0
  6. y(-2) = - 2
  -3
  4
  -3
  5
  5. x =- 1, x = 1, x = 3 нули функции
  7. Функция возрастает при
  x[- 3 ; 0] и на [2 ; 4]
  

• 30 слайд

  Х
  Y
  0
  1. D(y) = (-  ; 4)
  2. E(y) = [- 2 ; )
  4. ymax = -1
  при x = 0
  6. y(3) = 5
  4
  -2
  7. Функция положительна
  при x(2 ; 4)
  3. ymin = - 2 при x = 1
  5. x = 2 нуль функции
  ////////////////
  +
  

• 31 слайд

  Х
  Y
  0
  1. D(y) = R
  2. E(y) = (-∞ ; 3]
  4. y(3) = 0
  6. функция четная
  -2
  3
  5. x =- 2 – точка максимума функции
  3
  3. ymin = 2 при x = 0
  7. Функция убывает при
  x[- 2 ; 0] и на[2 ; ∞)
  

• 32 слайд

  «Перестрелка»
  

• 33 слайд

  Поздравляем победителей!
  

• 34 слайд

  Итог урока
  Продолжите фразу:
  
  Сегодня на уроке я повторил…
  
  Сегодня на уроке я закрепил…
  
  Мне предстоит повторить…
  

Найти экстремумы функции.

 1 команде

1) y = x³ + 6x² - 15x - 3

2) y = 2х - x²

3) y = x/4 + 9/x

4) y = x/4 + 4/x

5) y = x – х⁴/4     

6) y = x³ - 6x² - 15x + 7

7) у = х³-6х²

хmax=1	хmax=-6 хmin= 6	хmax=-1 хmin= 5	хmax=0 хmin= 4	хmax=-5 хmin= 1	хmax=-4 хmin= 4
А	Г	Н	Ж	Л	Р

2 команде

1) y = x³ + 6x² - 15x - 3

2) y = 2х - x²

3) y = x/4 + 9/x

4) y = x/4 + 4/x

5) y = 8x – х⁴/4

6) y = x³ - 6x² - 15x + 7

7) у = х³-6х²

хmax=1	хmax=-6 хmin= 6	хmax=-1 хmin= 5	хmax=0 хmin= 4	хmax=-5 хmin= 1	хmax=-4 хmin= 4	хmax=2
Е	Й	И	Ц	Л	Б	Н

Слайд 12.

                                              Жозеф Луи Лагранж

(1736-1813) французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской АН (1776).

                                                           

Готфрид Вильгельм Лейбниц

(1646-1716), немецкий философ, математик, физик, языковед

З а д а н и я  1 команде: №1,№3     2 команде: №2, №4

  Для функции у = f(х) найдите:

1) область определения;

 2) производную;

3) критические точки;

4) промежутки монотонности и экстремумы.

 По результатам исследования постройте график.

Вариант	Функция  у = f(х)	х
1	f(х)=6х3-2х+1	2
2	f(х) =х 3-12х-1	0
3	f(х)= х4 -4х2 +2	3
4	f(х)=х4 - 6х2 +3	2

Слайд 14

В ответе укажите номер формулы и букву, под которой расположен соответствующий график функции.

1. Укажите пары: «функция – график производной этой функции»

График                      производной f(x)	y   x   а	б	в	г	д
1.
2.
3.
4.

Уровень В:  1. - а, 2. - в, 3. - г, 4. - д;

«Перестрелка» по таблице как игра в «Морской бой»

	1	2	3	4	5
А	Найти значение производной функции f(x) =  в точке х0= 2	Найти значение производной функции f(x) = 2 sin 3x  в точке х0= 0	Найти значение производной функции f(x) = +2  в точке х0= 1	Найти значение производной функции f(x) = sin x = cos x  в точке х0=p/2	Найти значение производной функции f(x) = cos x +2x  в точке х0= 0
Б	Определить монотонность функции и ее точки экстремумов, если f ,:  -         +       -            ·          ·    -9         -1	Определить монотонность функции и ее точки экстремумов, если f ,: +         -         -            ·          ·    -6          4	Определить монотонность функции и ее точки экстремумов, если f ,: +        -         +            ·          ·    -4           2	Определить монотонность функции и ее точки экстремумов, если f ,:  -         +       -            ·          ·     0           3	Определить монотонность функции и ее точки экстремумов, если f ,:  -     +      -     +        ·    ·      ·    -1     5      9
В	По графику производной определить монотонность функции:        -1  -2   ·          · -2	По графику производной определить монотонность функции:             1        -1	По графику производной определить монотонность функции:            1                 2	По графику производной определить монотонность функции:           1     -1            1	По графику производной определить монотонность функции:             1        2
Г	Найти производную функции: f(x) = x4-2x	Найти производную функции: f(x) = x8-x2+8	Найти производную функции: f(x) =2cos x2	Найти производную функции: f(x) =2cos2x	Найти производную функции: f(x) = cos(2x+3)
Д	По графику функции определить критические точки функции:         2 -2     -1	По графику функции определить критические точки функции:         3                 2	По графику функции определить критические точки функции:         4        2,5     -1           2    3      4	По графику функции определить критические точки функции:         2     -2        1         3       4	По графику функции определить критические точки функции:          1               1  2                              3

Е	Определить промежутки возрастания функции по ее графику:            0	Определить промежутки возрастания функции по ее графику:            0	Определить промежутки возрастания функции по ее графику:               0	Определить промежутки возрастания функции по ее графику:                1       -1	Определить промежутки возрастания функции по ее графику:        -1                -1
Ж	Указать область определения функции: f(x)=	Указать область определения функции: f(x)=	Указать область определения функции: f(x)=	Указать область определения функции: f(x)=	Указать область определения функции: f(x)=
З	Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у= х2  в точке х0=1	Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у= х2 в точке х0= -1,2	Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у= х3  в точке х0= -1	Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у= х3  в точке х0= 3	Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  у= sin x  в точке х0=p/2
И	Существуют ли точки экстремумов у функции, заданной данным графиком? Если «да», то какие это точки? (Максимума или минимума)           -2      1	Существуют ли точки экстремумов у функции, заданной данным графиком? Если «да», то какие это точки? (Максимума или минимума)   -1,5   -1                  0	Существуют ли точки экстремумов у функции, заданной данным графиком? Если «да», то какие это точки? (Максимума или минимума)    -5    -3           3      5	Существуют ли точки экстремумов у функции, заданной данным графиком? Если «да», то какие это точки? (Максимума или минимума)       -2    0                               3	Существуют ли точки экстремумов у функции, заданной данным графиком? Если «да», то какие это точки? (Максимума или минимума)   -3  -2    -1   0      2
К	Острый или тупой угол образует касательная  к графику функции У=х2 в точке х0=1?	Острый или тупой угол образует касательная  к графику функции У=2х2 в точке х0=0?	Острый или тупой угол образует касательная  к графику функции У=х2 +2х в точке х0=3?	Острый или тупой угол образует касательная  к графику функции У=х4 – 2 в точке х0= -1?	Острый или тупой угол образует касательная  к графику функции У=х3 – 3х в точке х0=2?