Урок по теме "Применение определенного интеграла"

• 1 слайд

  Применение
  определенного интеграла
  

• 2 слайд

  Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам.
  
  Морделл Луис Джоэл
  

• 3 слайд

• 4 слайд

  1.1. Применение интеграла в геометрии: нахождение площади фигуры.
  
  

• 5 слайд

  1.2. Применение интеграла в геометрии: нахождение объема тела вращения.
  
  Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0
  Криволинейная трапеция
  ox-ось вращения
  Доказать: V= 1/3 Sh
  Объем тел вращения
  
  V= ƒ²(x)
  
  Доказательство: y=kx ; R=tg r/h…
  
  a
  

• 6 слайд

  2. Применение интеграла в физике.
  
  Тело двигается прямолинейно со скоростью, которая изменяется по закону . Найти расстояние, пройденное телом за интервал времени от t1=1с до t2=3с.
  
  Решение:
  
  
  

• 7 слайд

  3. Применение интеграла в экономике.
  
  

• 8 слайд

  Красный – радость успеха,
  
  зеленый – получил определенную сумму знаний,
  
  желтый – не доволен собой.
  
  

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Луганской Народной Республики

«Краснолучский колледж технологии строительства и прикладного искусства»

Методическая разработка урока

по теме: «Применение определенного интеграла»

         по предмету: «Алгебра и начала анализа»

Разработал:

преподаватель математики

Бородина Елена Анатольевна  

г. Красный Луч

2015

Аннотация

Разработка урока-игры по алгебре и началам анализа по теме: «Применение определенного интеграла» с медиапрезентацией, цель которого – способствовать формированию и развитию интеллектуальных и творческих способностей в процессе изучения материала; формировать понимание значимости предмета математики в других отраслях знаний; приблизить учебную ситуацию к профессиональной.

Для учащихся 11 классов и учащихся учреждений СПО по профессии экономической направленности.

ТЕМА УРОКА:	Применение определенного интеграла
ТИП:	Урок обобщения и систематизации знаний (бизнес-игра)
ЦЕЛИ:	Обучающие: · обобщение знаний по теме «Определённый интеграл »; ·реализация  деятельностного подхода в обучении; ·установление межпредметных связей   Развивающие: ·развитие  интеллектуальных способностей  учащихся; ·воспитание стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний   Воспитательные: ·формирование ответственности и последовательности в выполнении своих действий; ·формирование умения работать в группе; · формирование понимания значимости предмета математики в других отраслях знаний.
МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ:	Коллективная робота
ОБОРУДОВАНИЕ:	Мультимедийный проектор, компьютер, бланки, «дерево компетентностей»
ПРИЛОЖЕНИЯ:	Видеоролики, мультимедийная презентация

ПЛАН  УРОКА:

I.       Организационный момент (4 мин)

1.      Объявление темы и цели  заседания.

II.      Актуализация опорных знаний (8 мин)

III.       Основная часть (20 мин)

1.     Применение интеграла в геометрии.

2.     Применение интеграла в физике.

3.     Применение интеграла в экономике.

IV.      Контроль и самопроверка знаний (10 мин)

V.   Подведение итогов (3 мин)

ХОД УРОКА.

I.                  Организационный момент

Приветствие. Группа учащихся делится на конкурирующие  фирмы (по 4-6 уч-ся) и аудиторов (2 уч-ся). Каждую фирму возглавляет президент.

 Цели делового заседания:

a)    Показать значимость   интегрального    исчисления   в развитии  различных     областей  наук;

b)    Реализовать деятельностный подход в обучении.

Девиз урока: «Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам». Морделл Луис Джоэл.

II.      Актуализация опорных знаний

Прежде чем приступить к работе заседающих, предлагаю возобновить в памяти данные об интеграле. После просмотра видеоролика ответьте на вопросы:

1)    Кем был введен символ интеграла? Готфридом Лейбницем в 1675 г.

2)    Как называется множество всех первообразных для функции f(x)?  Неопределенный интеграл

3)    По свойству неопределенного интеграла чему равен интеграл суммы функций?  Сумме интегралов от каждой из функций

4)    В каком случае определенный интеграл равен 0.  Если верхний и нижний пределы совпадают.

Чтобы тщательно изучить приложения определенного интеграла, необходимо знать формулы вычисления первообразных.

Президенты самостоятельно распределяют в фирме карточки с заданиями на соответствие. Карточки двух уровней: желтые -1 уровня сложности:

Установите соответствие между данными функциями (1-4) и их первообразной (А-Д).

А Б В Г Д 1 2 3 4

А) Б) В) Г) Д)

1.

2.

3.

4.

зеленые -2 уровня сложности:

Установите соответствие между интегралами (1-4) и их числовыми значениями (А-Д).

А Б В Г Д 1 2 3 4

А) Б) В) 0,75 Г) 20 Д) 1120,4

1.                                

2.

3.

4.

Результаты оценивают аудиторы.

III.    Основная часть

1.1. Применение интеграла в геометрии: нахождение площади фигуры.

Не секрет, что с помощью определенного интеграла можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Фирма, которая выбыла из борьбы, прислала вам видео-задачу. Внимание на экран…

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х²-у=0, х²+у-2=0.

Решение:

.

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение , , , .

.

Ответ: .

1.2. Применение интеграла в геометрии: нахождение объема  тела вращения.

Предлагаю совместно рассмотреть, как можно найти объем конуса, применяя определенный интеграл.

Объем конуса:

Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0 Криволинейная трапеция           ox-ось вращения Доказать:          V= 1/3Sh V= 𠃲(x) Доказательство: y=kx ; R=tga∙ r/h V = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | =     r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh

2.     Применение интеграла в физике.

В физике интеграл применяется для вычисления работы переменной силы, вычисления массы неоднородного стержня и для вычисления расстояния по известному закону изменения скорости. Рассмотрим задачу последнего типа.

Тело двигается прямолинейно со скоростью, которая изменяется по закону . Найти расстояние, пройденное телом за интервал времени от t₁=1с до t₂=3с.

Решение:

.

3.     Применение интеграла в экономике.

Интеграл широко применяют при решении экономических задач. Например,

Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

IV.  Контроль и самопроверка знаний

Предлагаю каждой из фирм решить задачу экономического характера и представить её аудитории. А приглашенные аудиторы оценят работы.

Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в грн.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Решение.

Задача 2.  Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой       V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

V.      Подведение итогов.

 В завершении нашей встречи хочется отметить, что при выполнении заданий «шагая», пусть не всегда уверенно, но осознавая куда, зачем и как, вы, уважаемые учащиеся, получили  ни с чем не сравнимый свой собственный драгоценный опыт!

 На основании которого можно сделать вывод:

* Определенный интеграл   - это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад  в решение задач практического содержания.

* Тема «Интеграл» ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией,  техникой и экономикой.

* Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла.  В связи с этим, начинать  его изучение необходимо в рамках средней общеобразовательной школы!

Итак, урок окончен. Пользуясь «деревом компетентности» оцените свой уровень полученных знаний. Красный – радость успеха, зеленый – получил определенную сумму знаний, желтый – не доволен собой.

Стихотворение Петра Долженкова

«Определенный интеграл»

Определенный интеграл,

Ты мне ночами начал сниться,

Когда тебя впервые брал,

Я ощутил твои границы.

И ограниченность твоя

Мне придавала больше силы.

С тобой бороться должен я,

Но должен победить красиво!

Какое счастие познал

Я в выборе первообрАзной,

Как долго я ее искал,

Как мне далась она не сразу.

Замен и подстановок ряд

Привел к решению задачи.

Ты побежден! Ты мною взят!

Да и могло ли быть иначе…