Урок повторения "Методы решения уравнений"

Урок повторения в 11 классе:

«Методы решения уравнений».

Продолжительность 25 минут.

   На доске справа и слева заранее написаны сути каждого метода, а на обратной стороне  доски записаны способы разложения на множители на случай, если ученики будут затрудняться с ответами.

   Всю школьную программу алгебры 7-11 классов пронизывают общие идеи, общие методы решения уравнений. Эти методы надо постоянно держать в поле своего внимания.

Цель: сегодня мы рассмотрим 2 метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

1. Метод разложения на множители.

Слово учителя: суть этого метода в следующем: пусть надо решить уравнение f(х) = 0 и пусть f(х) = f₁(х)∙f₂(х) ∙…f_n(х).  Тогда уравнение f(х) = 0 можно заменить совокупностью более простых уравнений:  f₁(х) =0

                                               f₂(х) = 0

                                                ……..

                                               f_n(х) = 0

      Найдя корни уравнений и отобрав из них те,  которые принадлежат области определения уравнения  f(х) = 0, мы получим корни исходного уравнения.

Этот метод особенно активно используется для двух классов уравнений: рациональных и тригонометрических.

Пример 1. – 3) (х² - 2х + 1) × х = 0.

Решение: Задача сводится к решению совокупности уравнений:  

Область  определения уравнения задаётся условием х + 2 ≥ 0 или х ≥ - 2. Найденные значения х удовлетворяют этому условию.

Ответ: 0; 1; 7.

Слово учителя: в этом примере разложение на множители уже произведено, но чаще встречаются такие уравнения, когда дано уравнение f(х) = 0 и надо преобразовать выражение f(х) к виду f₁(х)∙f₂(х)∙ …f_n(х) и решить более простые уравнения. Поэтому вспомним способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, формулы сокращённого умножения, разложение на множители квадратного трёхчлена.

Искусственные приёмы: представление одного из слагаемых в виде суммы, прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей группировки, деление многочлена на многочлен.

Пример 2.      х³ + 2х² – 5х + 2 = 0.

Решение. Делители свободного члена 1; -1; 2; -2. Корнем является 1.

Делим на выражение  (х – 1), получаем  (х – 1) (х² + 3х – 2) = 0.

 Корни: 1 и  ;   .

Ответ: 1;   ;   .

2. Метод введения новых переменных.

Слово учителя: суть метода очень проста: уравнение f(х) = 0 надо преобразовать к виду h(g(х)) = 0 и ввести новую переменную g(х) = у и решить уравнение h(y) = 0, потом вернуться к «старой» переменной х, решив                g₁(х) = у₁,

                                                                                           g₂(х) = у₂

                                                                                                         ………

                                                                                           g_n(х) = у_n.

у₁, у₂, …у_п – корни уравнения    h(х) = 0.

Пример 3.   + 2 + + 7 = + 21

Решение. Заменим  х² – х = у, тогда  + 2 +  + 7 =  + 21. Находим у₁ = 2, у₂ = -11.

Далее: х₁ = -1, х₂ = 2, уравнение  х² – х = -11 не имеет корней.

Ответ:  -1; 2.

Пример 4.   х² +  = 40.

Решение. Левая часть уравнения имеет структуру а² + в², дополним её до полного квадрата, добавив и отняв  2ав = 2х.   Теперь появляется  новая переменная у =

Получим квадратное уравнение относительно у:  у² + 18у – 40 = 0 с корнями у₁ = 2, у₂ = -20. Возвращаемся к исходной переменной    = 2,   х₁ = 1 + ; 

х₂ = 1 -  

Уравнение  = -20 не имеет корней.

Ответ: 1 + ;   1 -

Итог урока.

Итак, повторяя два метода решения уравнений, мы вспомнили несколько интересных искусственных приёмов, которые позволяют успешно решать уравнения.

По желанию учителя можно дать несколько уравнений в качестве домашнего задания.