Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок повторения "Методы решения уравнений"

Урок повторения "Методы решения уравнений"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок повторения в 11 классе:

«Методы решения уравнений».

Продолжительность 25 минут.


На доске справа и слева заранее написаны сути каждого метода, а на обратной стороне доски записаны способы разложения на множители на случай, если ученики будут затрудняться с ответами.


Всю школьную программу алгебры 7-11 классов пронизывают общие идеи, общие методы решения уравнений. Эти методы надо постоянно держать в поле своего внимания.


Цель: сегодня мы рассмотрим 2 метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

1. Метод разложения на множители.

Слово учителя: суть этого метода в следующем: пусть надо решить уравнение f(х) = 0 и пусть f(х) = f1(х)∙f2(х) ∙…fn(х). Тогда уравнение f(х) = 0 можно заменить совокупностью более простых уравнений: f1(х) =0

f2(х) = 0

……..

fn(х) = 0

Найдя корни уравнений и отобрав из них те, которые принадлежат области определения уравнения f(х) = 0, мы получим корни исходного уравнения.

Этот метод особенно активно используется для двух классов уравнений: рациональных и тригонометрических.

Пример 1. hello_html_25c7607a.gif– 3) (х2 - 2х + 1)  х = 0.

Решение: Задача сводится к решению совокупности уравнений: hello_html_1e71d392.gif

Область определения уравнения задаётся условием х + 2 ≥ 0 или х ≥ - 2. Найденные значения х удовлетворяют этому условию.

Ответ: 0; 1; 7.


Слово учителя: в этом примере разложение на множители уже произведено, но чаще встречаются такие уравнения, когда дано уравнение f(х) = 0 и надо преобразовать выражение f(х) к виду f1(х)∙f2(х)∙ …fn(х) и решить более простые уравнения. Поэтому вспомним способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, формулы сокращённого умножения, разложение на множители квадратного трёхчлена.

Искусственные приёмы: представление одного из слагаемых в виде суммы, прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей группировки, деление многочлена на многочлен.


Пример 2. х3 + 2х2 – 5х + 2 = 0.

Решение. Делители свободного члена 1; -1; 2; -2. Корнем является 1.

Делим на выражение (х – 1), получаем (х – 1) (х2 + 3х – 2) = 0.

Корни: 1 и hello_html_1b1cedf8.gif; hello_html_m71219e14.gif.


Ответ: 1; hello_html_1b1cedf8.gif; hello_html_m71219e14.gif.



2. Метод введения новых переменных.

Слово учителя: суть метода очень проста: уравнение f(х) = 0 надо преобразовать к виду h(g(х)) = 0 и ввести новую переменную g(х) = у и решить уравнение h(y) = 0, потом вернуться к «старой» переменной х, решив g1(х) = у1,

g2(х) = у2

………

gn(х) = уn.

у1, у2, …уп – корни уравнения h(х) = 0.


Пример 3. hello_html_m5e2177bd.gif + 2 + hello_html_m5e2177bd.gif+ 7 = hello_html_m6e99189d.gif+ 21

Решение. Заменим х2 – х = у, тогда hello_html_m1792f6c3.gif + 2 + hello_html_m1792f6c3.gif + 7 = hello_html_m759d8c5a.gif + 21. Находим у1 = 2, у2 = -11.

Далее: х1 = -1, х2 = 2, уравнение х2 – х = -11 не имеет корней.

Ответ: -1; 2.



Пример 4. х2 + hello_html_m47f54dd6.gif = 40.

Решение. Левая часть уравнения имеет структуру а2 + в2, дополним её до полного квадрата, добавив и отняв 2ав = 2хhello_html_m8f8af0a.gif. Теперь появляется новая переменная у = hello_html_m1aaebb7b.gif

Получим квадратное уравнение относительно у: у2 + 18у – 40 = 0 с корнями у1 = 2, у2 = -20. Возвращаемся к исходной переменной hello_html_m546a1418.gif= 2, х1 = 1 + hello_html_m6884b6d.gif;

х2 = 1 - hello_html_16356928.gif

Уравнение hello_html_m546a1418.gif= -20 не имеет корней.


Ответ: 1 + hello_html_m6884b6d.gif; 1 - hello_html_16356928.gif


Итог урока.

Итак, повторяя два метода решения уравнений, мы вспомнили несколько интересных искусственных приёмов, которые позволяют успешно решать уравнения.


По желанию учителя можно дать несколько уравнений в качестве домашнего задания.




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров139
Номер материала ДВ-033594
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх