Урок "Разложение многочлена на множители" 7 класс

Урок математики в 7   классе  

Важнейшая задача цивилизации – научить человека мыслить

Тема: «Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов»

Цель: создать условия для формирования и углубления знаний и умений учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители; организовать деятельность по  закреплению навыков и умений в применении способов разложения многочлена на множители; создать условия для повышения познавательного интереса учащихся с помощью решения текстовых задач.

Тип урока: урок комплексного применения знаний

Оборудование: мел, доска, раздаточный материал

Структура урока:

1 этап. Мотивационно-ориентировачный

Задача: создание психологического настроя; постановка целей; определение критериев оценки

2 этап. Актуализация знаний учащихся:

Задача: всесторонняя проверка знаний и умений учащихся: выполнение теста;

3 этап. Закрепление знаний.

Задача: закрепление навыков и умений разложения многочлена на множители путем решения примеров по теме;

 Физкультминутка

Задача: снять напряжение; настроиться на восприятие текстовых  задач

4 этап. Решение текстовых задач (применение знаний на практике)

Задача: отработка восприятия на слух математической речи; создание условий для  повышения познавательного интереса учащихся путем выполнения текстовых задач;

5 этап. Заключительный

Задача: информирование о домашнем задании; рефлексия.

Ход урока

1.                 Организационный момент: приветствие, создание психологического настроя

Постановка целей для учителя и учащегося

Цель учителя: научить применять различные способы при разложении многочлена на множители

Цель на языке учащегося: научиться разложению многочлена на множители с помощью комбинации способов разложения

Ключевой вопрос: Не все многочлены можно разложить на множители, но те, что приведены в упражнениях учебника – можно. Как это сделать быстро и с наименьшими  усилиями?

Критерии оценки (НаШтоБуЗУ):

1.    Знать способы разложения многочлена на множители

2.    Уметь  разложить многочлен на множители в случаях, когда коэффициенты у слагаемых- натуральные числа;
3. Уметь разложить многочлен на множители в случаях, когда слагаемые одночлены;
4. Уметь разложить многочлен на множители в случаях, когда слагаемые многочлены.
2.Проверка домашнего задания. Тест альтернативного выбора на 2 варианта на самопроверку . Результаты теста – на доске (с учетом обратной связи). Проверка д/з в тетрадях( выборочно)

Тест проверки домашнего задания

Вариант 1.	Вариант 2.
1.         Разложите на множители многочлен 18х2у4-6ху3, вынося за скобки (-2ху3).  А. -2ху3(-9ху-3); Б.-2ху3(9ху+6);  В.-2ху3(-9ху+3); Г.-2ху3(6-9ху) 2.         Представьте в виде произведения выражение 2c(b-a)-d(a-b) А.  (a-b)(2c-d)      Б. (b-a)(2c+d)   В. (b-a)(2c-d)      Г. (a-b)(2c+d) 3.         Представьте в виде произведения многочлен 9x2+12cх+4с2 А.   (9x-4c)2    Б. (5x-2)2   В. (3x-2c)2 Г. (3x+2c)2 4.         Разложите на множители многочлен  -18mn-27m2-3n2 А. -3n(3m-n)2    Б.-3(3m+n)2    В. 3(3m-n)2   Г. 3n(6n-9m)2 5.         Решите уравнение 8y2-32y=0 А.  0; 4 ;      Б. 2; -2        В. -4; 4                Г. 2. Дополнительно: вычислить	1.         Разложите на множители многочлен 15a3b-3a2b2, вынося за скобки (-3a2b). А. -3a2b(b-5a)     Б. -3a2b(-5a-b)  В. -3a2b(5a-b)    Г. -3a2b(-5a+3b) 2.         Представьте в виде произведения выражение ax-аy -2by+2bx А. (x-y)(a-2b)      Б. (y-x)(a-2b)     В.  (x-y)(a+2b)  Г. (y-x)(a+2b) 3.         Представьте в виде произведения многочлен 4n2 -12an+9а2 А. (4n-3a)2   Б. (3a+4n)2  В. (3a+2n)2 Г. (2n-3a)2 4.         Разложите на множители многочлен  2m2-12mn+18n2 А.2(m-3)2n2    Б.  2(m-3n)2    В.   2m(m-3n)2  Г. -2 (m-3n)2 5.  Решите уравнение 4x2-100x=0 А. 5          Б. 25 ; 0         В.10; -10       Г.  -5; 5 Дополнительно: вычислить
Ответы: Вариант1.  1-В   2-Б  3-Г  4-Б  5–А  Доп:   2	Ответы: Вариант 2. 1-А  2-В  3-Г  4-Б  5-Б   Доп :  30
Обратная связь: если допущена ошибка в выполнении задания – повторите указанный пункт 1- п.5.1;   2-п.5.2    3-п.5.4    4 – п.5.4   5– п.5.3   Доп -п.5.5

3.Разложение многочленов на множители. Учащиеся выполняют задания по разложению на множители и определяют использованные при этом  способы. Разрешено пользоваться «шпаргалкой»

«Шпаргалка» для учащихся Методы разложения многочленов на множители (шпаргалка) 1.Метод вынесения общего множителя Пример: 10х2у4с5-25х3у2с4+5ху2с3=5ху2с3(2ху2с2-5х2с+1) 2. Метод группировки Пример: ах+вх-ау-ву=(ах+вх)-(ау+ву)=х(а+в)-у(а+в)=(а+в)(х-у) 3. Метод разложения на множители по формулам сокращенного  умножения а2-в2=(а-в)(а+в)                  Пример: х2+2ху+у2-9= (х+у)2-9=(х+у)2-32=(х+у-3)(х+у+3) a2-2ab+b2 =(a-b)2 a2+2ab+b2 = (a+b)2 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) а3+3а2в+3ав2+в3=(а+в)3 а3-3а2в+3ав2-в3=(а-в)3 4. Метод выделения полного квадрата Пример: х2+4х-12=х2+2·2·х+22-4 -12=( х2+2·2·х+22)-16=(х+2)2-42=(х+2-4)(х+2+4)=(х-2)(х+6) 5. Метод введения вспомогательных членов Пример: х4+4=(х2)2+22=(х2)2+22+4х2-4х2=((х2)2+4х2+22)-(2х)2=(х2+2)2-(2х)2= =(х2+2+2х)(х2+2-2х)=(х2+2х+2)(х2-2х+2)

Работа с учебником

№ 5.68 (1,3,5) 

1)      mn²-m-n³+n=( mn² -n³) –(m-n)=n²(m-n)-(m-n)=(m-n)(n²-1);

3)      mn²+3m²-n³-3n²=( mn²-n³)+(3m²-3n²)=n²(m-n)+3(m²-n²)= n²(m-n)+3(m-n)(m+n)=

=(m-n)(n²+3(m-n))= (m-n)(n²+3m-3n);

5)      a³-5в²+5а²-ав²= (a³+5а²)-(ав²+5в²)=а²(а+5)-в²(а+5)=(а+5)(а²-в²)=(а+5)(а-в)(а+в).

№ 5.71 (1,3) 

1)  (m-n)²+2(m²-n²)+(m+n)²=(m-n)²+2(m-n)(m+n)+(m+n)²=((m-n)+(m+n))²=(m-n+m+n)²=

=(2m)²=4m²;

3)      (а-в)(а²+ав+в²)-3ав(а-в)=(а-в)(а²+ав+в²-3ав)=(а-в)(а²-2ав+в²)=(а-в)(а-в)²=(а-в)³.

№ 5.77(1,5) (по образцу учебника)

1)     а⁴+а²в²+в⁴= а⁴+2а²в²+в⁴-а²в²=(а²+в²)²-(ав)²=(а²+в²+ав)( а²+в²-ав); 

 5)  256+16в⁴+в⁸=16²+2·16в⁴+в⁸-16в⁴=(16+в⁴)²-(4в²)²=(16+в⁴-4в²)(16+в⁴+4в²).

№5.78(2) (дополнительно)

2)      в⁴+64= в⁴+8²+16в²-16в²=(в²+8)²-(4в)²=(в²-4в+8)(в²+4в+8).

 № 5.58(1,2) (дополнительно)

1)      125m³n³-8t⁶=(5mn-2t²)(25m²n²+4t⁴+10t²mn);

2)      1000m⁶n³+64t³=(10m²n+4t)(100m⁴n²+16t²-40m²nt).

 Физкультминутка

4.Решение  текстовых задач

Повторение формул сокращенного умножения (выполнение задания-теста перекрестного выбора на отработку понимания на слух математической речи – учитель читает вопросы в левой части, учащиеся выбирают формулу из правой ).При правильном выполнении можно прочитать имя древнего математика ЕВКЛИД

Устная работа ( по карточкам)

1. Квадрат суммы двух выражений. 2. Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности. 3. Разность квадратов двух выражений. 4. Разность кубов двух выражений. 5.Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. 6. Произведение разности двух выражений и их суммы.	(a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3	В
	a2-2ab+b2 =(a-b)2	И
	(a-b)(a+b)=a2-b2	Д
	a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)	Л
	(a+b)2=a2+2ab+b2	Е
	a2-b2=(a-b)(a+b)	К

Решение задач (по карточкам)

1)      Даны квадрат и прямоугольник. Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 5 см, а длина этого же прямоугольника на 5 см больше стороны данного квадрата. У какого четырехугольника площадь больше и на сколько?

Решение: пусть  а – сторона квадрата. Тогда его площадь S=а² (см²). Площадь прямоугольника равна S=(а-5)(а+5)=(а²-25)( см²). Значит, площадь квадрата на 25 см² больше, чем площадь прямоугольника.

Ответ: площадь квадрата на 25 см² больше

2)      Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 17. Найти эти числа.

Решение: пусть а и в –последовательные натуральные числа. тогда а²-в²=17;  (а-в)(а+в)=17.  Число 17 – простое и 17=1·17. Значит возможны два варианта: либо а-в=1, а а+в=17; либо а-в=17, а  а+в=1. Так как числа аи в по условию, натуральные, то а-в=1, а а+в=17. Можно простым подбором найти а=9, а в =8.(на факультативных занятиях такого плана системы рассматривались неоднократно)

Ответ: 8 и 9

3)                  Докажите, что разность квадратов двух последовательных целых положительных нечетных чисел равна удвоенной сумме этих чисел

Доказательство: пусть х – первое, у- второе число. Составим равенство х²-у²=2(х+у).

(х-у)(х+у)=2(х+у). Так как х+у≠0 (целые положительные числа), то разделив правую и левую часть равенства на х+у≠0,  получим х-у=2. Так  как речь шла о нечетных числах, то разность двух последовательных целых положительных нечетных чисел равна 2.  

Ответ: утверждение  доказано

Индивидуальное задание:  Числа а,  в  и с удовлетворяют условию Найдите все значения, которые может принимать выражение    . Подсказка: вычесть из выражения   выражение    . Ответ: 2015

5. Домашнее задание:  п.5.6.№ 5.68 (2,4,6)  №5.77(2,4) № 5.78 (4) + индивидуально на карточках (приложение 6- задания олимпиадного характера)

Индивидуальное домашнее задание Найдите наименьшее натурально число А такое, что А+15 делится на 22, а А+22 делится на 15. Решение: числа 15 и 22 – взаимно простые, НОК=330. А+15+22=330; а=293 Ответ:293

Рефлексия: Какая цель поставлена? Чему научились на данном уроке?( по критериям оценки работы)

            Вниманию педагогов предлагается урок по теме «Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов». Урок построен с учетом стратегии Активной Оценки» и элементов технологии, предполагающей построение образовательного процесса на диалоговой основе. Мотивационная сфера и образовательный компонент урока основываются на таких педагогических приемах как: цель на языке учащегося, критерии оценки результативности учебного взаимодействия, тест альтернативного выбора, шпаргалка, зашифрованное слово, обратная связь. Использование словесных, наглядных и практических методов в сочетании с индивидуальной и фронтальной формами организации учебной деятельности учащихся способствовало закреплению и углублению знаний и умений по теме. Текстовые задачи, подобранные к теме урока, имеют практическую направленность и способствуют повышению познавательного интереса учащихся.

            Организационный момент урока начинается с такой формы, как с эпиграф, что должно настроить учащихся на умственную работу. Можно на начало урока применить и  создание проблемной ситуации, и высказывание великого человека, можно начать с пословицы или поговорки, а можно использовать и театрализацию, что вполне уместно для данного возраста учащихся.

На первом этапе урока формулируется цель на языке учителя и языке учащегося. Цель на языке учителя должна быть краткой и понятной для учащегося. Формулируя цель на урок для себя,  учащийся тем самым берет на себя ответственность за ее достижение, и он постарается приложить максимум усилий на уроке. Критический вопрос также стимулирует развитие познавательного  интереса, как и «цель на языке учащегося». Само наличие критического  вопроса, на который нужен ответ в конце урока – это прием отсроченной отгадки.  Такие вопросы побуждают учащихся к более активному участию в процессе обучения

             На данном уроке на этапе мотивации применен   подводящий диалог, так как необходимо выделить критерии оценки работы. Можно так же использовать «ленту времени», ведь на уроке используются все изученные способы группировки, можно домысливание или группировку.

На этапе актуализации знаний учащимся предлагается тест альтернативного вида на два варианта. Тест задается на самопроверку. Результаты выполнения можно оценить по подготовленным вариантам ответов. Целесообразно указать в данном случае обратную связь. Можно также на данном этапе предложить учащимся интеллектуальную разминку, опрос. Положительно влияет на развитие познавательного интереса такой прием, как «найди ошибку».   Обсуждение домашнего задания, как форма работы на этапе актуализации, не приносит много пользы в настоящее время – «благодаря» свободному доступу к «решебникам» и сети интернет (особенно если задание задано по учебнику). Можно применить такие приемы, как словесная логическая цепочка понятий, дискуссия, математический диктант, карточки-домино для определения понятий, информационное лото и т.п.

На основном  этапе урока можно добавить использование  опорных схем, карточек-шпаргалок - они уменьшают нагрузку на память, помогают преодолеть страх перед необходимостью самостоятельно выполнить работу, а значит, мотивируют на успех. Очень актуально применять не «сухие» алгебраические примеры, а использовать на уроке текстовые задачи. Подбирать нужно такие текстовые задачи, которые не оторваны от современности – к их выполнению учащиеся всегда приступают с интересом, всегда стараются их «дорешать» до конца.  Это могут быть задачи, связанные со смежными дисциплинами. Они иллюстрируют прикладную направленность математики в технике, быту, смежных школьных предметах (биология, география, химия и др.).  Задачи должны следовать за изучением теоретических сведений.  Текстовые задачи эффективны и при формировании умений. Это должны быть задачи, при решении которых учащиеся приучаются оперировать вновь изученным, применять в конкретной ситуации. Такие задачи не должны быть сложными, в них должно отчетливо проявляться вновь изучаемое, лишь постепенно в задачи могут вводиться усложнения, так чтобы вновь формулируемое умение включалось в уже имеющуюся систему математических умений и навыков учащихся. Первые задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения, с подробными записями на доске. Очень полезно учить детей самим составлять задачи или применять такой прием, как «твой вопрос к задаче». Текстовые задачи, грамотно подобранные к теме урока, имеют практическую направленность и способствуют повышению познавательного интереса учащихся.

На уроках  очень продуктивна работа в парах. Можно использовать и микрогруппы, и фронтальную работу. Задания  нужно дифференцировать, продумать их так, чтобы и слабоуспевающий учащийся  смог справиться хотя бы с некоторой их частью. Любая удача  мотивирует учащегося, как и положительная оценка педагога. Не следует забывать и об индивидуальном подходе. Ведь  основная работа с высокомотивированными учащимися происходит именно на уроке.

При организации  контроля за уровнем усвоения  математических знаний по изученной теме, я подбираю  задания, решаемые фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске. Для повышения интереса к предмету подбираются так называемые «задания на реставрацию». Предназначаются они и для выяснения затруднений учащихся, пробелов в их знаниях, степени усвоения новых теоретических знаний, прочности, стойкости и гибкости ранее приобретенных знаний, умений и навыков. Такое же предназначение имеется и у самостоятельно решаемых заданий. В самостоятельных и контрольных работах главным назначением решаемых задач является итоговый контроль за тем, насколько верно учитель учил, а ученики обучались по тем или иным разделам математики. Необходимо практиковать и домашние самостоятельные работы, домашние мини-проекты или исследования.

При подведении итогов урока  так же можно использовать и логическую цепочку,  и домино. Учащимся нравится  такой прием как неоконченное предложение  «Сравни с…»,  «Примени (где)…»,  «Опиши…» и т.п. На уроках математики для повышения познавательной активности актуальнее проводить интеллектуальную рефлексию, творческая может быть не всегда уместна.

            Так как в  математике основным средством развития познавательного интереса учащегося  является решение текстовой задачи, при этом основной целью должно являться не получение решения задачи (в смысле ответа), а само решение как метод, как процесс, как совокупность логических шагов, приводящих к получению ответа. Применение текстовых задач на различных этапах урока, а также контекстный характер и прикладная направленность их содержания позволяет привлечь внимание учащихся к предмету,  тем самым повышая познавательный интерес к обучению в целом. Важно научить учащегося   осознанно   применять известные эвристические приемы.  Большой  эффект дает решение задачи разными способами, а также составление новых задач как констатация факта полного овладения методом решения не только этой задачи, но и класса таких задач, получаемых из исходной путем трансформации условия. Главная цель обучения - приобретение обобщающих стратегий. Надо учить ребенка учиться.