Урок: Решение задач по комбинаторике

Задача 1. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр: 0,1,2,3,4,5, при условии, что в цифрах нет одинаковых цифр?

Решение. Число, кратное 5, должно оканчиваться либо на «0», либо на «5». Если последняя цифра – «0», то остальные 5 цифр можно располагать в любом порядке. Следовательно, шестизначных чисел, которые заканчиваются цифрой «0» столько, сколько можно сделать .

Задача 3. В седьмом классе изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на субботу, если в этот день должно быть 5 уроков разных?

Решение. 

Задача 4. 12 рабочих разбиты на три бригады по 4 человека в каждой. Сколько может быть различных составов бригад?

Решение.

Задача 6. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входило два числа?

Решение. Число дробей определяется числом размещением

Задача 10. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Для решения задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т. к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборе. Запишем формулу для сочетаний.

Задача 11. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если две определенные книги должны стоять рядом.

Решение. Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставит 6 книг по шести местам. Применяем формулу перестановок, получаем 

Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые посчитали за одну. А т. к. две книги по двум местам можно разместить только двумя способами () ,то получаем ()

Задача 14. «Проказница мартышка, осёл, козёл и косолапый мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь попавшихся под лапу музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколькими способов выбора есть у мишки?

Решение. По условию порядок выбора не важен, значит, нам надо найти количество всех выборок 8-ми элементов из 13-ти данных без учета порядка , 13-ти элементов по 8.

Ответ: 1287 способов.