Урок с применением игровой технологии "Перпендикулярность прямых и плоскостей" (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №5

Разработка урока по геометрии по теме:

«Перпендикулярность прямых

и плоскостей».

10 класс.

Сивченкова Е.В.,

учитель математики

Школы №5.

Тверская область

г.Нелидово

2013 г.

Итоговый урок по теме:  Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Цель:  повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по темам: «Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой», «Теорема о трёх перпендикулярах и ей обратная», «Угол между прямой и плоскостью»,  «Двугранный и его линейный угол»;  развитие навыков решения геометрических задач; воспитание у учащихся вкуса к самостоятельной  активной творческой деятельности.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, цветные мелки, таблицы Брадиса, калькулятор, таблички с надписями «Прокурор», «Адвокат», «Судья» (устанавливаются на столы, где будут сидеть соответственно «прокурор», «адвокат» и «судья»).

        I.            Распределение ролей:

Судьяведущий всё заседание. Эту роль выполняет как учитель, так и ученик. Это главная роль, требующая умения, навыка и быстроты реакции на все возникающие вопросы и ситуации на уроке.

Государственный защитник или адвокат  стремится защитить, помочь при рассмотрении дела (т.е. при решении задачи). Он же готовит свидетелей в защиту дела.

Государственный обвинитель или прокурор  знакомит всех с сутью дела (с условием задачи) и требует его решения. Задача прокурора следить за законностью рассматриваемого дела.

Секретарь судебного заседания  готовит и ведет всю документацию дела (ведёт у доски запись решения задачи).

Свидетель им может быть любой ученик, если это связано с выяснением понятий, определений, теорем, используемых при решении задачи. Могут быть подготовленные свидетели. Это те учащиеся, кто заранее готовит доказательство необходимого факта или историческую справку, необходимую в ходе заседания суда.

Присяжные заседатели (обычно 12 человек) выбираются из числа учащихся, родителей, учителей математики, администрации школы.  Присяжные заседатели выносят приговор – итог математического заседания. Они оценивают ответы учащихся, обосновывая их, делают замечания по ходу расследования дела (решения задачи) и делают вывод: рассмотрено ли дело (т.е. решена ли задача).

Вводное слово учителя.  Сегодняшнее итоговое занятие  по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» мы проведём с вами в форме заседания математического суда. Это значит, что сегодня на уроке я буду выступать в роли судьи, у меня будут два помощника государственный обвинитель и государственный защитник или прокурор и адвокат, а в роли присяжных заседателей  будут присутствующие у нас гости (представляю). Сегодня они вынесут свой приговор по каждому рассмотренному в суде делу. Итак, уважаемые присяжные заседатели доставайте листочки, внимательно слушайте, оценивайте ответы – вам  выносить сегодня вердикт.  Остальные будут проходить свидетелями по двум делам. От вас я жду активности, точности и знания, доверьтесь своему адвокату и остерегайтесь прокурора, он будет ловить вас на каждой неточности.

Ход урока.

Судья.    Итак, начинается первое заседание математического суда. Представляю своих помощников: адвокат – Прудникова Наталья, она защищает данное дело и предоставляет свидетелей в его защиту; прокурор – Дмитренко Сергей, пытается докопаться до истины и следит за соблюдением математических законов. Окончательное решение по делу вынесут присяжные заседатели.

                         Для ведения протокола необходим секретарь. Есть ли в зале желающие? (Выбирается секретарь).  Прошу всех занять свои места, слово прокурору.

Прокурор.     Предоставляю на рассмотрение следующее дело.

              Дело №1.      Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны  18 см  и   32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

Секретарь записывает.

№1                                  М

К

                                               С       

О

                                      Р              К               D                                                           

                              В

                             N                        Н

                                 A

Судья.      Заслушаем адвоката по общему  ходу расследования дела.

Адвокат.  Ваша честь, для начала необходимо хорошо уяснить данные дела. Для этого:

1)      прошу дать разрешение рассмотреть первую улику защиты – модель дела, изготовленную свидетелем  Варламенковым, учащимся 10-Б класса;

2)      затем защита представит данные на чертеже;

3)      далее мы докажем, что в данную трапецию можно вписать окружность и вычислим радиус этой окружности;

4)      эти действия  приведут нас к справедливому решению данного дела.

Судья.      Хорошо, я согласна сходом ведения дела. Давайте рассмотрим модель.

Адвокат.  (Адвокат рассказывает и показывает условие задачи на модели, переходит к доске и выполняет чертёж.)Таким образом, прямые  МР, МК, МН и МN  перпендикулярны соответственно прямым  ВС, СD, AD  и АВ, а прямая МО перпендикулярна плоскости (АВСD).

 Прокурор.     Ваша честь, здесь встречаются какие-то расстояния от точки до прямой и от точки до  плоскости.  Я требую сформулировать точные определения. 

Судья.      Ваше требование законно, господин прокурор. Заслушаем свидетелей, которые удовлетворят любопытство прокурора.

Адвокат.  Защита вызывает 1-го свидетеля.  (Из числа учащихся вызывают того,  кто поднял руку.  Если желающих отвечать нет, то у адвоката должны быть подготовленные заранее свидетели на возможные вопросы прокурора. Если ответ не могут дать ученики, то спасает положение учитель.)

Свидетель №1.  Расстоянием от точки  А  до прямой  α  называется длина перпендикуляра, опущенного из точки  А  на данную прямую α.

                               Расстоянием от точки  А  до плоскости  α  называется длина перпендикуляра, опущенного из точки  А  на данную плоскость  α.      

Адвокат.  Продолжаем рассматривать дело.  Защита вызывает 2-го свидетеля.    

Свидетель №2.  Рассмотрим треугольники ∆   ∆ МОН  и  ∆МОN. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит,  равны и отрезки ОР, ОК, ОН  и  ОN.

Судья.      Свидетель ваш, господин прокурор.

Прокурор.     Ваша честь,  защита выдаёт желаемое за действительное. Откуда вообще взялись здесь эти прямоугольные треугольники?

Свидетель №2.  Поскольку мы уже выяснили, что расстоянием от точки М до плоскости  (АВСD) является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость трапеции АВСD, то целесообразно провести этот перпендикуляр. Обозначим его МО.  Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая МО перпендикулярна плоскости (АВСD), то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе и прямым ОР, ОК, ОН и ОN. Отсюда мы и получим прямоугольные треугольники  ∆   ∆ МОН  и  ∆МОN.

Прокурор.     Хорошо это вы объяснили.  Но, если вы пользуетесь признаком равенства треугольников, то вы должны, по крайней мере, сформулировать этот признак.

Свидетель №2.  Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника, соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Судья.      Господин прокурор,  у вас нет больше вопросов к свидетелю?  Тогда  мы возобновим  слушание. Каким образом, господин адвокат, равенство треугольников  ∆   ∆ МОН  и  ∆МОN  поможет  нам найти истину?

Адвокат.  Чтобы ответить на ваш вопрос, ваша честь,  защита вызывает 3-его свидетеля.

Свидетель №3.  Рассмотрим ближайший к нам треугольник  ∆МОN. МО перпендикуляр к плоскости (АВСD),  МN  наклонная к плоскости (АВСD),  а  ОN  её проекция на плоскость  (АВСD).  По условию задачи прямая АВ проведена в плоскости  (АВСD)  через основание наклонной  МN  перпендикулярно к ней, значит по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах прямая АВ будет перпендикулярна и проекции  этой наклонной на плоскость (АВСD), т. е. прямой ОМ. Совершенно аналогично мы докажем что прямые ВС, СD и АD будут перпендикулярны прямым ОР, ОК и ОН.  Теперь мы можем сделать вывод о том, что длины отрезков ОN, ОР, ОК и  ОН являются расстояниями от точки О до прямых АВ, ВС, СD и АD  соответственно и эти расстояния равны  согласно показаниям свидетеля №2.  Таким образом, точка О равноудалена от сторон трапеции АВСD и является центром вписанной в трапецию АВСD окружности.

Прокурор.     Позвольте, а что такое вписанная окружность?

Свидетель №3.  Окружность называется вписанной в данный многоугольник,  если она  касается каждой стороны этого многоугольника.

 Прокурор.     А где лежит центр вписанной в многоугольник окружности?

Свидетель №3.  Центр вписанной в многоугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис всех углов данного многоугольника, если такая точка существует.

Прокурор.     Ваша честь,  кажется в рассуждениях свидетеля теорема обратная теореме о трёх перпендикулярах. Я требую доказательства этой теоремы.

Адвокат.   Тогда защита вызывает 4-ого свидетеля.

Свидетель №4.     Теорема обратная теореме о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости  через основание наклонной перпендикулярно к ней, будет перпендикулярна и её проекции на эту плоскость.

                  А                                                                    Дано          АН        ,                     

АМ -  нная, А

                                                      n                                                НМ – проекция наклонной АМ     

                                                                                                   на плоскость  n      АМ.   

                                     Н                М                                              

                                                                                            Доказать:        n          НМ.  

           Свидетель доказывает теорему по готовому чертежу, который проецируется на экран через проектор.   

Прокурор.     В доказательстве теоремы использовался признак перпендикулярности прямой и плоскости. Но этот факт не доказан, я требую его доказательства.

Адвокат.   Протестую! Ваша честь, прокурор уводит нас от решения дела. Для доказательства теоремы обратной теореме о трёх перпендикулярах достаточно только сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если мы будем доказывать все второстепенные факты, не относящиеся прямо к делу, то разбор дела никогда не закончится.

Судья.      Протест принят. Основной факт доказан. Переходим к следующему этапу доказательства. Какие будут версии нахождения радиуса вписанной в трапецию окружности.

Адвокат.   Я вызываю следующего свидетеля  №5.

Свидетель №5.     Смею заметить, что если на плоскости прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Значит перпендикуляры ОР и ОН, проведённые к параллельным основаниям трапеции АD и ВС лежат на одной прямой РН, проходящей через точку О, в противном бы случае через точку О проходило бы  минимум две прямые ОР и ОН перпендикулярные, например прямой АD, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Итак, отрезок РН является высотой трапеции АВСD и диаметром вписанной в трапецию АВСD окружности. Следовательно,  радиус этой окружности равен половине высоты трапеции АВСD.    R =  РН.

Адвокат.   Ваша честь, чтобы найти высоту трапеции, разрешите приложить к делу вторую улику защиты.

Судья.      Если это необходимо для решения дела, у суда возражений нет.

Адвокат.   (Адвокат демонстрирует модель равнобедренной трапеции АВСD, у которой из вершин верхнего основания проведены две высоты ВВ₁ и  СС₁.)

                     Итак, вопрос заключается в том, чтобы найти высоту равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность. О дальнейшем ходе доказательства расскажет нам свидетель

№6.                                                

                                                                 В                                               С

 
                                    А                                                                                        D           D

                                                          В₁                                        С₁

Свидетель №6.    Так как  ВВ₁ и  СС₁ высоты трапеции АВСD, то треугольники ∆ АВВ₁ и  ∆ DСС₁ прямоугольные. Кроме того, эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету. Поэтому        А В₁ =  С₁D =  7 (см).

Адвокат.   Теперь необходимо найти боковую сторону  АВ  трапеции АВСD. Тогда, применив теорему Пифагора в треугольнике   ∆ АВВ₁, мы сможем наконец-то найти  высоту трапеции АВСD и радиус вписанной в неё окружности.

Судья.      У кого есть объяснения по этому поводу?

Адвокат.   Защита вызывает Свидетеля №7.

Свидетель №7.  Я хочу напомнить очень полезный факт из геометрии 8 класса о свойстве сторон описанного четырёхугольника. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Используем этот факт для решения нашей задачи.

АВ + СD = АD + ВС;

2 ·АВ =  32 + 18;

2 ·АВ  =  50

АВ = 25.

Итак,  сторона  АВ =25 см.  Теперь можно найти  высоту трапеции АВСD и радиус вписанной в неё окружности.

Прокурор.    Минуточку, минуточку! Господин адвокат, кажется, считает не очень-то значительным свойство описанного четырёхугольника  для успешного решения нашего дела? Иначе бы он не оставил сей факт без доказательства.

Судья.      Да, господин прокурор как всегда прав. Что будет предпринимать защита?

Адвокат.   Я рассчитывал рассмотреть доказательство свойства описанного четырёхугольника чуть позже, чтобы не разрушать цепочку математических выкладок. Однако, если господин прокурор настаивает, то мы поменяем порядок ведения дела и приведём доказательство  данного свойства прямо сейчас. Защита вызывает свидетеля №8.

Свидетель № 8.   Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

К

b

b

α

α

В

А

Дано: АВСD – описанный

Р

N

m

 четырёхугольник.

n

                                                                                                                 Доказать:  

                                                                                                                                          АВ +DС = АD + ВС                                  

  Доказательство.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Поэтому  АК = АР = α,  ВК = ВN = b, СN = СМ = n  и   DM = DР = m.

Тогда  получаем, что  АВ + DС = АК + ВК + DM + CM = α + b + m + n.

Аналогично      AD + ВС =  АР + РD + BN +  NC = α + m + b + n = α + b + m + n.

Таким образом,  АВ + DС = AD + ВС = α + b + m + n, то есть   АВ + DС = AD + ВС.

Что и требовалось доказать.

Адвокат.   А теперь нужно закончить  математические выкладки. Я вызываю свидетеля №9.

Свидетель № 9.   Вернёмся к прямоугольному треугольнику  ∆ АВВ₁  и по теореме Пифагора найдём катет ВВ₁ этого треугольника.

 ВВ₁=    =   =   =   =  24 (см).  Итак, высота трапеции  АВСD равна  24 см,  ВВ₁ = РН = 24 (см). Следовательно,  R =  РН = .

Теперь нам осталось рассмотреть  прямоугольный треугольник   ∆ МОN. По теореме Пифагора найдём катет МО  этого треугольника.   =   =   =  0.

То есть  точки М и О совпадают, значит, точка М лежит а плоскости трапеции АВСD  и  расстояние от неё до плоскости трапеции равно нулю.

Судья.      Есть ли вопросы у господина прокурора? Желает ли что-нибудь добавить господин адвокат? Нет? Тогда думаю, вы удовлетворены ходом заседания. Все стороны дела рассмотрены. Слово присяжным заседателям.

Присяжные заседатели подводят итоги урока, а судья объявляет оценки.