Урок "Степень с целым показателем"

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Теляковская средняя общеобразовательная школа»

Ясногорского района Тульской области

Урок по теме

«Свойства степени с целым показателем»

8 класс

Учитель математики

первой квалификационной категории

Кучабо Ю.Б.

2015 г.

Свойства степени с целым показателем

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

 Цель: организовать деятельность обучающихся по изучению свойств степени с целым показателем и применению их при вычислениях и преобразованиях.

Задачи:   -    формировать     потребность     приобретения     новых     знаний,     развивать           

             познавательные   процессы,  мышление, память, воображение, самостоятельность;  

             создать    ситуацию     успеха      для     каждого     с     помощью     разноуровневой

             самостоятельной работы;

             - развивать навыки самоконтроля и самооценки;

             -   воспитывать    уважение    друг    к    другу,    уверенность    в   себе,   честность,   

             корректировать самооценку; развивать математическую речь.

                                                   Структура урока:

1) Мотивационная беседа, самоопределение к деятельности.

2) Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

3) Постановка учебной задачи. Практическая работа с доказательством свойств степени с целым показателем.

4) Первичное закрепление. Эстафета.

5) Диагностика усвоения. (Разноуровневая самостоятельная работа).

6) Домашнее задание.

7)  Итог. Рефлексия

Ход урока:

1)      Мотивационная беседа. Самоопределение к деятельности. (2 минуты)

        Здравствуйте. Сегодня на уроке мы изучаем тему «Свойства степени с целым показателем». Подумайте, что нужно знать для ее изучения? Что необходимо вспомнить, повторить, к чему мы должны прийти в конце урока, каких целей достичь? Правильно. Итак, цель нашего урока: изучить свойства степени с целым показателем и научиться применять эти свойства. Для этого мы должны выполнить следующие задачи: вы вспомните свойства степени с натуральным показателем и докажите справедливость этих свойств для степени с целым показателем. Вы призовете на помощь свое воображение, внимание, сообразительность и станете еще умнее.  В ходе урока вы ведете листки «Самоконтроля» и, как обычно, отмечаете степень своего участия в общей деятельности. На прошлом уроке мы познакомились с определением степени с целым показателем. Давайте вспомним теорию. Ответьте на вопросы:

1). Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.

2). Каким числом (положительным или отрицательным) является:

    - степень положительного числа? (положительным)

    - степень отрицательного числа с четным показателем? (положительным)

    - степень отрицательного числа с нечетным показателем? (отрицательным)       

 3).  Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем. Определение. Если a ≠ 0 и n – целое отрицательное число, то .

2)      Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности. (5 минут)

       Теперь вспомните, пожалуйста, свойства степени с натуральным показателем. Чтобы вы быстрее вспомнили, смотрите на доску и работайте по подсказкам.

1) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

1 свойство:             (на доске)               

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

2) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

2 свойство:             (на доске)

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание  оставляют  тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

3) Сформулируйте правило возведения степени в степень.

3 свойство:                (на доске)

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

4) Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

4  свойство:            (на доске)

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

5) Сформулируйте правило возведения в степень дроби.

5  свойство:     ,        где в ≠ 0.              (на доске)

При возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель и записывают в виде дроби.

6) Чему равна степень с нулевым показателем?

6 свойство:                а⁰=1,          где а  ≠ 0.                    (на доске)

Степень числа а, не равного нулю,  с нулевым показателем равна единице.

Вычислительные задания.

           1. Вычислить: -3+2; -7-3; -8-(-4); 3∙(-6); -2∙(-8)       

           2. Упростить выражения:

               а) 3 ² · 3;   б) 2¹⁰ : 2⁶ ;  в) (2²)³ ;  г) (5а²)²

    Не забывайте оценивать свою деятельность в листах самооценки.

3) Постановка учебной задачи. Практическая работа с доказательством свойств степени с целым показателем (5 минут)

          Объяснение нового материала.

          Мы повторили понятие степени с натуральным показателем, а теперь давайте докажем что рассмотренные свойства справедливы и для степени с любым целым показателем, нужно только предполагать что основание степени не равно нулю.

Итак, для любого  ≠0 и любых целых   m   и  n   

                   ∙  =                 (1)

                    :  =                (2)

                   =                      (3)

И  для любых ≠0 и ≠0    и целого m

                                 (4)

                                               (5)

       Эти свойства можно доказать исходя из определения степени с отрицательным  показателем, и свойства степени с натуральным показателем. Докажем справедливость свойства (1)  (основного свойства степени).  

        , где ≠0 ,  k и  p   - натуральные числа.

.

       Сейчас проведем небольшую практическую работу. Доказательство свойства (4) проведите сами, заменяя степени дробями, воспользовавшись определением степени с целым отрицательным показателем. Затем проверьте правильность практической работы, сверившись с доской, и оцените свою деятельность.

4)      Первичное закрепление. (10 минут)

       а) Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целым показателем выполняются по тем же правилам, что и  действия над степенями с натуральным показателем.

        Рассмотрим примеры. Решите их сами, сверьтесь с доской, исправьте ошибки (если они есть) и оцените свою деятельность.

1).  5а ^-15 · 0,4а ²³

2). 7,5 с ⁷ : 3 с ^-5

3).  (3а²с^-3) ^-2

4).  16 ²: (2³)²

       Если у многих учащихся есть ошибки, учитель разъясняет материал еще раз на других аналогичных примерах (возможно, из учебника).

      б) Эстафета. Обучающиеся выполняют первое задание, его ответ – одновременно номер следующего примера, и т.д. Ответ последнего задания сообщается учителю. Затем следует проверка.

1). ·  

2). ·  

3).  : 16

4). ·

5).  :  

Решение:

1). ·  =  = 5

5).  :  =  = 2

2). ·  =  = 3

3).  : 16 =  = 4

4). ·= ==1

Физ. минутка.

        Если вы устали, чувствуете упадок сил, не выспались надо подзарядиться энергией. Сядьте прямо, не горбитесь, сомкните вместе колени и ступни ног, замкните руки в замок, закройте глаза и дышите носом глубоко и равномерно. Сосредоточьтесь на звуке биения своего сердца – ощутите эту вибрацию во всем теле. Вскоре вы почувствуете, что ритм вашего дыхания почти совпадает с ритмом биения сердца. Наслаждайтесь этой вибрацией, дышите глубоко и спокойно, слушайте мелодию, которую поют ваше сердце и дыхание. Теперь откройте глаза, встаньте, распрямите плечи и глубоко вдохните. Чувствуете? Все тело налилось такой силой, что сегодня никакие препятствия не смогут стать помехой в ваших делах! Вы полны энергии и здоровья!

5) Диагностика усвоения. (15 минут)

       Помним важное правило обучения. Люди  сохраняют в памяти:

•      10% того, что читали;

•      20% того, что слышали;

•      30%, того, что видели;

•      50% того, что слышали и видели;

•      70% того, что слышали, видели и обсуждали;

•      80% того, что говорили сами;

•      90% того, что делали сами.

      Поэтому, используя изученные свойства степени, выполняем самостоятельную работу. Работаем по вариантам с последующей взаимопроверкой и самопроверкой. Юля выполняет задания I варианта, затем закрывает свою тетрадь и смотрит на решение этих заданий на доске.  Запоминает правильное решение, открывает тетрадь, исправляет свои возможные ошибки и оценивает свою деятельность. (Правильное решение на доске уже закрыто).  Кристина, Сережа и Валера решают II вариант. Затем обмениваются тетрадями, проверяют работы друг друга и выставляют оценки карандашом в тетради и ручкой в листки самоконтроля. Кристина проверяет работу Валеры, Валера – Сережи, Сережа – Кристины.

        I вариант                                                                                    II вариант

№ 1     Вычислите:                                                                   № 1     Вычислите:

а)  5 ^-15 · 5 ¹²                                                                        а)  3 ^-4 · 3 ⁶

б)  9 ^-5 · 27 ³                                                                             б)  10 ⁸ · 10 ^-5

в) 10 ⁰ : 10 ^-5                                                                        в)  4 ^-8 :  4 ^-9

г)  8 ^-2 : 4 ^-4                                                                          г)  6 ^-3 : 6 ^-3

д)  (3 ²) ^-3 · 27 ²                                                                   д) (5 ²) ^-2 · 5 ³

       № 2    Упростите выражение:                                          № 2    Упростите выражение:

а)  (0,5х ^-4 у ^-3) ²· 4 х ^-2 у ³                                                  а)  1,5 ас^-3 · 4 а ^-2 с

б)  (5а³с²) ^-2· 10 а⁵ с^-3                                                          б)  0,6 х ^-2у⁴ · 0,5 х³у ^-2   

в)  (х^-7 у²) ^-2 · (х²у^-3)^-3                                                         в)  (0,5х ^-4 у ^-3) ²· 4 х ^-2 у ³

г)                                                                                  г) 

д)                                                                         д)    

6) Домашнее задание. (4 минуты)

         Сдайте, пожалуйста, самостоятельную работу и  листки самоконтроля. Откройте учебники на стр. 118. Еще раз прочитайте свойства степени с целым показателем и примеры их применения в тексте пункта 40. Теперь запишите домашнее задание: п. 40, № 986, № 999. Посмотрите на № 986. Как вы будете его выполнять? Какие свойства степени примените? А при выполнении № 999? Внимательно посмотрите, если что-то непонятно, задавайте вопросы.

 7) Рефлексия. Итог урока. (4 минуты)

         Подумайте, что нового вы узнали на уроке? Достигли ли цели урока? Каковы причины затруднений и ошибок? Какую цель поставим себе на следующий урок?

         Всем спасибо за работу на уроке, вы сегодня молодцы. Урок окончен, до свидания.

Необходимый материал к уроку:

 – презентация,

 – карточки с заданиями для самостоятельной работы,

 – листки самоконтроля.

Пример листка самоконтроля.

         Инструкция:  в ходе урока отмечайте степень вашего участия в деятельности по шкале 1) – списал, но не понял (слушал, но не отвечал) – 2  балла, 2) – списал и разобрался – 3 балла, 3) – решал сам, но ошибся (ответил на устный вопрос)  – 4 балла, 4) – решил сам без ошибок – 5 баллов. Самостоятельная работа оценивается так: из 10 заданий правильно выполнены 9 или 10 – отметка 5, 7 или 8 – 4, 5 или 6 – 3, меньше 5 – 2 балла.

Виды деятельности	Баллы
Ответы на устные вопросы
Практическая работа
Закрепление
Самостоятельная работа
Итог урока

           Решение (для презентации)

Вычислительные задания.

1.      Вычислить: -3+2; -7-3; -8-(-4); 3∙(-6); -2∙(-8).

           2. Упростить выражения:

               а) 3 ² · 3;   б) 2¹⁰ : 2⁶ ;  в) (2²)³ ;  г) (5а²)²

Решение:  а) 3 ² · 3 = 3³=27;  б) 2¹⁰ : 2⁶ = 2 ⁴ = 16;  в) (2²)³= 2⁶= 64 ;  г) (5а²)² = 5²а^2·2 =25а⁴

Первичное закрепление:

1).  5а ^-15 · 0,4а ²³ = 2а ^-15+23= 2а ⁸

2).  7,5с ⁷ : 3с ^-5 = 2,5с ^7-(-5) =2,5 с ¹²

3).  (3а²с^-3) ^-2 = 3 ^-2 · (а²) ^-2· (с^-3) ^-2 =  а ^-4 с ⁶

4).  16 ²: (2³)² = (2⁴)² : 2 ^3·2 = 2 ⁸ : 2 ⁶ = 2 ² = 4

Эстафета:

1). ·  

2). ·  

3).  : 16

4). ·

5).  :  

Решение:

1). ·  =  = 5

5).  :  =  = 2

2). ·  =  = 3

3).  : 16 =  = 4

4). ·= ==1

Самостоятельная работа:

        I вариант                                                                                    

№ 1     Вычислите:                                                                 

а)  5 ^-15 · 5 ¹²  = 5 ^-3=

б)  9 ^-5 · 27 ³ = (3²) ^-5 · (3³) ³= 3 ^-10 · 3 ⁹=3 ^-1 =                                                                      

в) 10 ⁰ : 10 ^-5= 10 ⁵ = 100000                                                                       

г)  8 ^-2 : 4 ^-4 =(2³) ^-2 : (2²) ^-4 = 2 ^-6 : 2 ^-8 = 2 ²= 4                                                                       

д)  (3 ²) ^-3 · 27 ² = 3 ^-6 · (3³)²= 3 ^-6 · 3⁶ = 3⁰ =1

          № 2    Упростите выражение:                                         

а)  (0,5х ^-4 у ^-3) ²· 4 х ^-2 у ³ = 0,25 х ^-8 у ^-6 · 4 х ^-2 у ³ =  х ^-10 у ^-3                                               

б)  (5а³с²) ^-2· 10 а⁵ с^-3 =  а ^-6 с ^-4 · 10 а⁵ с^-3 = 0,4 а ^-1 с ^-7                                                      

в)  (х^-7 у²) ^-2 · (х²у^-3)^-3 = х¹⁴у ^-4 · х ^-6 у ⁹ = х⁸у⁵                                                         

г)     = х

д)     =                  

            II вариант

№ 1     Вычислите:

а)  3 ^-4 · 3 ⁶ = 3 ² = 9

б)  10 ⁸ · 10 ^-5 = 10 ³ = 1000

в)  4 ^-8 :  4 ^-9 = 4 ¹ = 4

г)  6 ^-3 : 6 ^-3 = 6 ⁰ = 1

д) (5 ²) ^-2 · 5 ³ = 5 ^-4 · 5 ³ = 5 ^-1=

№ 2    Упростите выражение:

а)  1,5 ас^-3 · 4 а ^-2 с = 6 а ^-1 с ^-2

б)  0,6 х ^-2у⁴ · 0,5 х³у ^-2  = 0,3 х у²  

в)  (0,5х ^-4 у ^-3) ²· 4 х ^-2 у ³= 0,25 х^-8 у ^-6 · 4 х ^-2 у ³= х ^-10 у ^-3

г)   = 25 а ^-7

д)     =  с